类比推理的教学设计
摘要：类比是根据两个对象或两类事物间存在着的一些相同或相
似的属性，猜测他们之间也可能具有的其他一些相同或相似的属性
的思维方法。类比联想可发现新的数学知识，类比推理可寻求解决
问题的方法和途径，可培养学生的发散思维和创造思维及合情推理
的能力。
关键词:类比推理；教学设计；数学教学
高考中常以类比思维为轴心，与数学思想、数学方法、数学基础
知识整合，形成开放性的题目，设计此文让大家对类比推理有更深
的了解。
1.由特殊向一般类比
由特殊向一般类比，培养学生的发散思维、理性思维、判断猜想
及探索能力。
例1、由a,b∈r+且a≠b,则 a3+b3＞a2b+ab2.。
由上式可类比若a,b∈r+且a≠b, 则 an+bn＞an-1b+abn-1，给出
证明。
证明：要证an+bn＞an-1b+abn-1成立，
只需证(an-1-bn-1)(a-b)＞0成立
若a＞b,则an-1-bn-1)＞0，(a-b)＞0，∴上式成立，
若a＜b,则an-1-bn-1)＜0，(a-b)＜0，∴上式成立，
∴an+bn＞an-1b+abn-1。
2.由抽象向具体类比
由抽象向具体问题类比，培养学生思维的灵活性，化归的思想，
合情的联想和理性思维。
例2、已知f(x)是定义在r上的不横为零的函数，且对于任意的
a,b∈r都满足：f(ab)=af(b)+bf(a).
（1）求f(1)、f(0)的值；
（2）判断f(x)的奇偶性，并证明结论；
（3）若f(2)=2,un=f(2-n) n,(n∈n*),求数列｛un｝的前n项和
sn.
解：(1)令a=0,b=0，则f(0)=0f(0)+0f(0), ∴f(0)=0.
令a=1,b=1,则f(1)=f(1)+f(1), ∴f(1)=0.
(2)函数f(x)的定义域为r,
令a=-1,b=-1，则f(1)=-f(-1)-f(-1),而f(0)=0,∴f(-1)=0,
令a=-1,b=x, 则f(-x)=-f(x)+xf(-1),∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)为奇函数。
(3)由f(ab)=af(b)+bf(a).得 f(ab)ab=f(b)b+f(a)a令
g(x)=f(x)x ,
则个g(ab)=g(a)+g(b),且f(x)=xg(x),由此式我们可以联想到对
数函数的性质：g(an)=ng(a)，∴
f(an)=ang(an)=nang(a)=nan-1f(a),
un=f(2-n)n=(12)n-1 f12又∵f(2)=2,
∴f(0)=f(1)=f(2×12)=2f(12 )+12 f(2)= 2f(12)+1
∴f(12 )=- ,∴un=(-12 )×(12 )n,∴sn=(12 )n-1.
评注：此题由抽象函数类比具体函数，培养了学生联想、类比、
化归等数学思想，以及分析问题和解决问题的能力。
3.由平面向空间类比
平面几何和立体几何中有许多问题可以由平面类比到空间，
例3.如图，图①有面积关系： sδpa1b1sδpab= pa1.pb1pa.pb
猜想图②有体积关系：vp-a1b1c1vp-abc，并予以证明。
猜想： sδpa1b1sδpab= pa1.pb1.pc1pa.pb.pc
证明：∵ sδpa1c1sδpac= pa1.pc1pa.pc ，
设b1o和bo1分别为三棱锥b1-pa1c1和三棱锥b-pac的高，
∴ b1obo1=pb1pb，而 vp-a1b1c1=vb1-pa1c1,=13sδpa1c1.b1o
vp-abc=vb-pac,=13sδpac.bo1 .
∴ vp-a1b1c1vp-abc=vb-pac=pa1.pb1.pc1pa.pb.pc
4.平行类比
例4、 若数列{an}(n∈n*) 为等差数列，则有bn=a1+a2+a+ann(n
∈n*) 也为等差数列， 类比上述性质，相应地，若数列 {cn}(n∈
n*)是等比数列，且cn>0 (n∈n*)
则有dn=c1+c2+...cnn也是等比数列。
在中学数学教学过程中,我们常常会有“似曾相识”的感觉,如果
把“似曾相识”的东西进行比较,加以联想的话,可能会出现许多意
想不到的结果和方法.这种“把类似进行比较、联想,由一个数学对
象已知的特殊性质迁移到另一个数学对象上去,从而获得另一个数
学对象的性质”的思维方法就是类比法. 发挥你的聪明才智，用好
类比法，去发现数学中的更多的奥妙。