点与圆位置关系

点与圆位置关系

点和圆的位置关系有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内，设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点在圆外d＞r．点在圆上d=r．点在圆内d＜r．

直线与圆的位置关系

直线和圆有三种位置关系，具体如下：

（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；

（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，

（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么： 直线l与⊙O相交dr； 切线的判定和性质 1、切线的判定定理

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2、切线的性质定理

圆的切线垂直于经过切点的半径。 切线长定理 1、切线长

在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。 2、切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

三角形的内切圆 1、三角形的内切圆

与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心

三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。

过三点的圆

不在同一直线上的三点确定一个圆、三角形的外接圆、

1. 若三角形的三边长是3、4、5，则其外接圆的半径是____________； 2. 经过三角形各顶点的圆叫做这个三角形的 圆；

3. 如图9，已知△ABC，AC=3，BC=4，∠C=90°，以点C为圆心作⊙C，半径为r.

(1)当r取什么值时，点A、B在⊙C外.

(2)当r在什么范围时，点A在⊙C内，点B在⊙C外.

AC

4. △ABC内接于⊙O，∠ACB＝36°，那么∠AOB的度数为（ ）

A．36° B．54° C．72° D．108°

5. 点A到圆O的最近点的距离为10厘米，点A到圆上最远点的距离为6厘米，则圆O的

半径是

（A）8厘米 （B）2厘米 （C）8厘米或2厘米 （D）以上答案都不对

6. ABC内接于⊙O，∠ACB＝36°，那么∠AOB的度数为（ ）

A．36° B．54° C．72° D．108°

直线与圆的位置关系：

(1)直线l和⊙O相交d>r (2)直线l与⊙O相切d=r (3)直线l和⊙O相离

d

切线和判定定理：

如图7-8，直线l经过⊙O上一点，且OA⊥l，则直线l是⊙O的切线。 切线的性质定理：如图7-8，直线l切⊙O于点A，则OA⊥l。 推论1：如图7-8，直线切⊙O于点A，直线l过圆心O，且l1⊥l，

则直线l过点A。

推论2：如图7-8，直线l切⊙O于点A，直线l1过点A，且l1⊥l，

则直线l1过圆心O。

切线长定理：如图7-9，PA切⊙O于A、B，则PA=PB， 7. 三角形的内心和外心

（1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．

（2）三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．

（3）三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心 1. 两个同心圆的半径分别为1cm和2cm，大圆的弦AB与小圆相切，那么AB=（ ） A．．2 3 C．3 D．4

2. 如图l－3－17，已知PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直

径，∠P=40°，则∠BAC度数是（ ） A．70° B．40° C．50° D．20°

3. 如图，PA、PB是O的切线，切点分别是A、B，如果∠P＝60°, 那么∠AOB等于（ ） A.60° B.90°

C.120°

D.150°

4. 如图4，在直角坐标系中，圆O的半径为1，则直线

yx

与圆O的位置关系是（ ）

Ａ．相离 Ｃ．相切

Ｂ．相交

Ｄ．以上三种情形都有可能

图4

5. 如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O与BC相切于点B， 则AC等于（）

A．．．2．23

6. 已知：如图，AB、AC分别切⊙O于B、C，D是⊙O上一点，∠D=400，

则∠A的度数等于 （ ）

（A）1400 （B）1200 （C） 1000 （D） 800

第3题

7. 如图1－3－42，PT切⊙O于点T，经过圆心O的割线PAB交

⊙O于点A 、B，已知PT=4，PA=2，则⊙O的直径A B等于（ ）

A．3 B．4 C．6 D．8

8. 图(四)为△ABC和一圆的重迭情形，此圆与直线BC相切于C点，

的度数为 且与AC交于另一点D。若A=70，B=60，则 (A) 50 (B) 60 (C) 100 (D) 120 。

图(四)

9. 如图2，在ΔABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，点P在AC上，AP＝2，若⊙O的圆

心在线段BP上，且⊙O与AB、AC都相切，则⊙O的半径是（ ）

B

P

A

A、 1 B、 5 C、 12

4

7

D、

94

10. 如图，⊙O的半径为2，点A的坐标为（2，23），直线AB为⊙O

B点的坐标为

38

, B．A．

25



3,1



, D．1,3 C．

55

49

11. 如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BOC＝（ A、130° B、100° C、50° D、65°

第9题

B

C

12. 如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，已知

∠A = 100°，∠C = 30°，则∠DFE的度数是（ ） A、55° B、60° C、65° D、70°

13. 如图，圆外切等腰梯形ABCD的中位线EF= 15 cm，那么等腰梯形ABCD的周长等于 （ ）

（A）15 cm （B）20 cm （C）30 cm （D）60 cm

相切于C，若PA＝2，PC=3，则⊙O的半径为（ ）

（A）

15. 如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为( )

A、 50 B、 52 C、54 D、 56

16. 如图，已知⊙O过正方形ABCD的顶点A、B，且与CD边相切，若正方形的边

长为2，则圆的半径为 A．

43

32

14. 如图，P是⊙O外一点，割线PO与⊙O相交于A、B，切线PC与⊙O

52

34

54

（B） （C） （D）

B．

54

C．

52

D．1

17. 如图，已知A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C的圆

心坐标为(－1，0)，半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是 A．2 B．1 C

．2

2

D

．2

二：填空题。

18. 在△ABC中，∠C=90°，AC=3，CB=6，若以C为圆心，以r为半径作圆，那么：

⑴ 当直线AB与⊙C相离时，r的取值范围是____；

⑵ 当直线AB与⊙C相切时，r的取值范围是____； ⑶ 当直线AB与⊙C相交时，r的取值范围是____.

19. 在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，CM是中线，以C为圆心，以3cm长为半径画

圆，则对A、B、C、M四点，在圆外的有_________，在圆上的有________，在圆内的有

________.

20. 如图，已知∠AOB＝30°，M为OB边上一点，以M为圆心、2cm为半径作M. 若点⊙M

在OB边上运动，则当OM＝ cm时，⊙M与OA相切.

B

A

21. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则Rt△ABC外接圆半径为 ，内切圆半

径为 。

22. 如图，在Rt△ABC中，∠C=900，AC=4，BC=3，E，D分别是AB，BC的中点，过E，D作

⊙O，且与AB相切于E，那么⊙O的半径OE的长__________.

23. 如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，C为切点．若两圆的

半径分别为3cm和5cm，则AB的长为__________ cm．

24. 如图，点C在⊙O上，将圆心角∠AOB绕点O按逆时针方向旋转到∠A’OB’，旋转角为

α(0°＜α＜180°)．若∠AOB＝30°，∠BCA’＝40°，则∠α＝__________°．

25. 如图,PA与⊙O相切于点A,PBC为割线,PA=4,PC=8,则PB= ；

26. 如图1，AF、AE、CB都是⊙O的切线，AF=4，则ΔABC的周长是 。

27. 如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切

点C在AB上，若PA长为2，则△PEF的周长是

28. 如图，圆外切等腰梯形ABCD的中位线EF= 5 cm，ＡＤ=４cm那么⊙O的半径= 。

29. 如图，ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，过点D的切线交BA的延长线于点

E，若∠ADE=25°，则∠C= 度．

第6题

30. 如图，已知正方形纸片ABCD的边长为8，⊙0的半径为2，圆心在正方形的中心上，将

纸片按图示方式折叠，使EA7恰好与6)0相切于点A ′(△EFA′与⊙0除切点外无重叠

部分)，延长FA′交CD边于点G，则A′G的长是

三、解答题

31. 如图1－3－26，△ABO中，OA= OB，以O为圆心的圆经过AB中点C，且分别交OA、OB于点E、F． （1）求证：AB是⊙O切线；

 （2）若△ABO腰上的高等于底边的一半，且3 ，求ECF的长

32. 如图1－3－18，已知两同心圆，大圆的弦AB切小圆于M，若环形的面积为9π，求AB

的长．

33. 如图l－3－19，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，∠APB=90°，OP=4，求⊙O的半径．

34. 如图l－3－20，⊙O半径为1，P为⊙O外一点，PA切⊙O于点 A，PA=1，AB是⊙O的

弦，且，求PB的长．

35. 已知：如图，同心圆O，大圆的弦AB=CD，且AB是小圆的切线，切点为E．求证：CD

是小圆的切线．

36. 如图9—1，一个圆球放置在V形架中.图9—2是它的平面示意图，CA和CB都是⊙O 的切线，切点分别是A，B.如果⊙O

的半径为，且AB=6cm，求∠ACB.

图9—1

图9—

2 37. 如图，AB是⊙O的直径，C为圆周上一点，ABC30，⊙O过点B的切线与CO

的延长线交于点D． 求证：（1）CABBOD；

（2）ABC≌ODB．

38. 如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是AE的中点，OM交AC于

点D，BOE60°，∠C=60，BC．

A

B

D

O

C

（1）求A的度数；

（2）求证：BC是⊙O的切线；

D的长度． （3）求M

B

39. 如图，在□ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝15㎝．已知⊙O的半径等于3㎝，AB，AD分

别与⊙O相切于点E，F．⊙O在□ABCD内沿AB方向滚动，与BC边相切时运动停止．试求⊙O滚过的路程．

A

40. 如图：△ABC的内切圆⊙O与AC、AB、BC分别切于点D、E、F，若AB=8，BC=10，AC=6，

求AE、BF、CD的长。

41. 如图,PA、PB是⊙O的两条切线,切点分别为A、B若直径AC=12cm, ∠P=600,求弦AB

的长.

_ C

_ B_ _ P

B

42. 如图7⊙0的半径为1，过点A(2，0)的直线切⊙0于点B，交y轴于点C. (1)求线段AB的长；

(2)求以直线AC为图象的一次函数的解析式．

43. 已知在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE=DC，以D

为圆心，DB的长为半径画⊙D。 （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）求证：AB+BE=AC。

44. 如图，MP切⊙O于点M，直线PO交⊙O于点A、B，弦AC∥MP， 求证：MO∥BC．

45. 如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C． (1) 求证：直线PB与⊙O相切；

(2) PO的延长线与⊙O交于点E．若⊙O的半径为3，PC=4．求弦CE的长．

46. 如图，以等腰△ABC的腰AB为⊙O的直径交底边BC于D，DE⊥AC于E。 求证：（1）DB=DC （2）DE为⊙O的切线

47. 如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点，BP的延长线交⊙O于Q，

过Q的⊙O的切线交OA的延长线于R。求证：RP＝RQ

48. 已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C

三点，DOC=2ACD=90。

(1) 求证：直线AC是圆O的切线；

(2) 如果ACB=75，圆O的半径为2，求BD的长。

Ｒ

Ｂ

49. 如图，AB是半圆的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD （1）判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由； （2）如果∠BDE = 60°，PD =3，求PA的长．

50. 如图，已知R t△ABC，∠ABC＝90°，以直角边AB为直径作O，交斜边AC于点D，连结BD．

（1）若AD＝3，BD＝4，求边BC的长；

（2）取BC的中点E，连结ED，试证明ED与⊙O相切．

51. 如图，PA与⊙O相切于A点，弦AB⊥OP，垂足为C，OP与⊙O相交于D点，已知OA=2，

OP=4。

（1）求∠POA的度数； （2）计算弦AB的长。

A

第14题图

第24题

第23题图

52. 如图，△ABC内接于⊙O，且∠B = 60．过点C作圆的切线l与直径AD的延长线交于

点E，AF⊥l，垂足为F，CG⊥AD，垂足为G． （1）求证：△ACF≌△ACG；

（2）若AF = 43，求图中阴影部分的面积．

53. 已知，如图，AB是⊙O的直径，AB = 6cm, P为AB延长线上一点，PD切⊙O于点C，BC

与AD的延长线相交于点E，且AD⊥PD， 求AE的长；

54. 如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是BC的中点，过点D作AC的延长线的垂线DP，垂足

为P.若PD＝12，PC＝8，求⊙O的半径R的长.

A

O



B

55. 已知：如图，四边形ABCD外切于⊙O,E为一个切点，AD‖BC, （1）求证：AO⊥BO

（2）若AO=6,BO=8，求OE的长

56. 已知：如图，CD是⊙O的切线，切点分别为B、D，CD的延长线与⊙O的直径BE的延长

线交于A点，连OC，ED． （1）探索OC与ED的位置关系，并加以证明；

（2）若OB＝4，CD=6，求OC的值．

57. 已知：如图，在△ABC中，BC=9，CA ＝12，BA=15，∠ABC的平分线BD交AC于点 D，

ED⊥DB交AB于点E．

（1）求证：△ADC是直角三角形；

（2）设⊙O是△BDE的外接圆，求证：AC是⊙O的切线．

58. 如图，点B在⊙O上，点P在⊙O外，PB与⊙O交于A点，PC为⊙O的切线，C为切点，

BD⊥PC于点D，交⊙O于点E，PA＝AO＝OB＝1. (1)求∠P的度数； (2)求DE的长.

59. 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=5，AB=12，圆心O在AB上，⊙O过点A，且与BC

相切于D，求⊙O的半径长.

60. 如图，以AB为直径的⊙O上有一点C，CD切⊙O于点C，AE⊥CD，D

为垂足，BC的延长线交AE于点E；求证：△ABE是等腰三角形.

A

C

A

23题

E24题

61. 如图在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE=DC，以D

为圆心，以DB的长为半径画圆。 求证：（1）AC是⊙D的切线；（2）AB+EB=AC。

62. 已知：如图，AB是⊙O的直径，以B为圆心的圆交OB于C，交⊙O于E、F，交AB的延

长线于D，连结EC并延长交⊙O于G． （1）求证：AE是⊙B的切线； （2）求证：EG平分∠AEF；

（3）若M为AO上一点，且GM∥BE，求证：GM等于⊙O的半径．

A M O B D

F

G

B

D

C

63. 如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC，以AD为直径的圆O交AB于点E，圆O的切线

EF交BC于点F。 求证：（1）∠DEF=∠B；

（2）EF⊥BC

64. 如图所示，AB是⊙O直径，OD⊥弦BC于点F，且

交⊙O于点E，若AECODB．

（1）判断直线BD和⊙O的位置关系，并给出证明； （2）当AB10，BC8时，求BD的长．

65. 如图，

内接于⊙

，I是

的内心，CI的延长线与AB交于D，与⊙ O

交于E，在CI的延长线上取EF＝EI，连结AF。求证：

是直角三角形。

66. 如图(12)已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，I为它的内心，BI的延长线交AC于D点；过A、B、D三点作⊙O，交BC于E点，求证：BC＝BD＋AD。

67. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，以AB为直径的⊙O，⊙O的切线AD,BC,CD切A,B,E.AE

交OD于点F, BE交OC于G,AD=4,BC=9。 求：（1）⊙O的半径长；

（2）AE的长,BE的长；

68. 已知，如图，BC是以线段AB为直径的⊙O的切线，AC交⊙O于点D，过点D作

弦DEAB，垂足为点F，连接BD、BE．． （1）仔细观察图形并写出四个不同的正确结论：①________，②________ ，③________，

④____________（不添加其它字母和辅助线，不必证明）； （2）A=30°，CD

=

3

，求⊙O的半径r．

69. 如图10，⊙O的弦AD∥BC,过点D的切线交BC的延长线于点E，AC∥DE交BD于点H，

DO及延长线分别交AC、BC于点G、F. (1)求证：DF垂直平分AC； （2）求证：FC＝CE；

（3）若弦AD＝5㎝，AC＝8㎝，求⊙O的半径。

70. 如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCO的面积为15,边OA比OC大2,E为BC的中点,以

OE为直径的⊙O′交X轴于D点,过点D作DFAE于点F. （1）求OA、OC的长； （2）求证：DF为⊙O′的切线；

71. 已知，如图1，∠ACG＝90°，AC＝2，点B为CG边上的一个动点，连结AB，将△ABC

沿AB边所在的直线翻折得到△ADB，过点D作DF⊥CG于点F. ⑴ 当BC

＝

3

时，判断直线FD与以AB为直径的⊙O的位置关系，并加以证明.

⑵ 如图2，点B在CG上向点C运动，直线FD与以AB为直径的⊙O交于D、H两点，

连结AH，当∠CAB＝∠BAD＝∠DAH时，求BC的长.

C

72. 如图，形如量角器的半圆O的直径DE=12cm，形如三角板的⊿ABC中，∠ACB=90°，

∠ABC=30°，BC=12cm。半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上。设运动时间为t (s)，当t=0s时，半圆O在⊿ABC的左侧，OC=8cm。 （1） 当t为何值时，⊿ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切？

（2） 当⊿ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直线DE围成的区域与⊿

ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积。

A

C

H O

A 图②

图①

73. 已知：如图，⊙A与y轴交于C、D两点，圆心A的坐标为（1，0），⊙A

，

过点C作⊙A的切线交x于点B（－4，0）。 （1）求切线BC的解析式；

（2）若点P是第一象限内⊙A上一点，过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G，且 ∠CGP=120°，求点G的坐标；

（3）向左移动⊙A（圆心A始终保持在x上），与直线BC交于E、F，在移动过程中是否存在点A，使得△AEF是直角三角形？若存在，求出点A 的坐标，若不存在，请说明理由。

74. 如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，若∠MAC=∠ABC ．

（1）求证：MN是半圆的切线；

（2）设D是弧AC的中点，连结BD交AC 于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．

求证：FD＝FG．

（3）若△DFG的面积为4.5，且DG=3，GC=4，试求△BCG的面积．

75. 如图8，矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F

,AE的长； （1）求EF

（2）

若AD5,直线MN分别交射线DA、DC于点M、N，DMN60°，

将直线MN沿射线DA方向平移，设点D到直线的距离为d，当时1d4，请判断直线

MN与⊙O的位置关系，并说明理由

上一点，弦DE交⊙O 于点E，交AB76. 如图，AB，BC分别是⊙O的直径和弦，点D为BC

于点F，交BC于点G，过点C的切线交ED的延长线于H，且HCHG，连接BH，

交⊙O于点M，连接MD，ME． 求证：（1）DEAB； （2）HMDMHEMEH．

77. 如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴交于A、B两点，

AC是⊙M的直径，过点C的直线交x轴于点D，连接BC，

已知点M的坐标为（0，），直线CD的函数解析式为y=－x＋5．

⑴求点D的坐标和BC的长； ⑵求点C的坐标和⊙M的半径； ⑶求证：CD是⊙M的切线．

78. 如图,P为正比例函数

标为(x , y ).

(1) 求⊙P与直线x=2相切时点P的坐标.

(2) 请直接写出⊙

P与直线x=2相交、相离时x的取值范围。

x

y

32

x

图像上的一个动点,⊙P的半径为3,设点P的坐

79. 如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动

点，且P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B。 （1）点P在运动时，线段AB的长度页在发生变化，请写出线段AB长度的最小值，并说明理由；

（2）在⊙O上是否存在一点Q，使得以Q、O、A、P为顶点的四边形时平行四边形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由。

80. 读材料：如图（一），△ABC的周长为l，内切圆O的半径为r，连结OA、OB、OC，

△ABC被划分为三个小三角形，用S△ABC表示△ABC的面积 ∵ S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OCA 又∵S△OAB=

1212

ABr，S△OBC=

12

1212

BCr，S△OCA =

12

12CAr

∴S△ABC=ABr+BCr+CAr=lr （可作为三角形内切圆半径公式）

（1）理解与应用：利用公式计算边长分为5、12、13的三角形内切圆半径；

（2）类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆，如图（二））且面积为S，各边长分别为a、b、c、d，试推导四边形的内切圆半径公式；

（3）拓展与延伸：若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a1、a2、a3、…、an，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）。

81. 在Rt△ABC中，BC＝3，AC＝4，AB＝5，

⑴如图①，D、E、F为切点，求△ABC内切圆⊙O的半径r1的值.

⑵如图②，在△ABC中放置两个互相外切的等圆⊙O1、⊙O2，⊙O1与AC、AB相切，⊙O2与BC、AB相切，求它们的半径r2时，小李同学是这样思考的：如果将⊙O2连同BC边向左平移2r2，使⊙O2与⊙O1重合、BC移到DE，则问题转化为第⑴问中的情况，于是可用同样的方法算出r2，你认为小李同学的想法对吗？请你求出r2的值（不限于上述小李同学的方法）.

⑶如图③，n个排成一排的等圆与AB边都相切，又依次外切，前后两圆分别与AC、BC边相切，求这些等圆的半径rn.

82. 如图①，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心的⊙O的半径为21，直线l：

yx

2与坐标轴分别交于A、C两点，点B的坐标为(4，1)，⊙B与x轴相切于

图②

图①

A

图③

B

点M。

（1）求点A的坐标及∠CAO的度数；

（2）⊙B以每秒1各单位长度的速度沿x轴负方向平移，同时，直线l绕点A顺时针

匀速旋转。当⊙B第一次与⊙O相切时，直线l也恰好与⊙B第一次相切。问：直

线AC绕点A每秒旋转多少度？

第25题图①

（3）如图②，过A、O、C三点作⊙O1，点E为劣弧AO

EC、EA、EO，当点

ECEAEO

E在劣弧AO(不与A、O两点重合)，

不变，求其值；如果变化，说明理由。

的值是否发生变化？如果

第25题图②

相似

83. 如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB． （1）求证：AD⊥DC；

（2）若AD＝2，AC＝5，求AB的长．

A

84. 如图，已知△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为

E，连结OE，CD=3，∠ACB=30°. （1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）分别求AB，OE的长；

（3）填空：如果以点E为圆心，r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为1，

则r的取值范围为 .

如图，BD是⊙O的直径，OA⊥OB，M是劣弧⌒AB上一点，过点M点作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点，MD与OA交于N点． （1）求证：PM＝PN；

3

（2）若BD＝4，PA＝ AO，过点B作BC∥MP交⊙O于C点，求BC的长．

2（1）证明： （2）解：

(8分)如图，Rt△BDE中，∠BDE=90°，BC平分∠DBE交DE于点C，AC⊥CB交BE于点A，△ABC的外接圆的半径为r. (1)求证：BCBDrED； (2)若BD=3，DE=4，求AE的长.

(2010．十堰)（本小题满分9分）如图，已知⊙O1与⊙O2都过点A，AO1是⊙O2的切

线，⊙O1交O1O2于点B，连结AB并延长交⊙O2于点C，连结O2C. （1）求证：O2C⊥O1O2；

（2）证明：AB·BC=2O2B·BO1；

（3）如果AB·BC=12，O2C=4，求AO1的长.