常见数学最值问题归纳
最值问题是中学数学解题中碰到的最普遍，最重要的题型之一，并且表现的形式和解决的办法也是千变万化。近几年的数学高考试题都会出现各种各样的最值问题，所占的分值均在10～25分. 本文对常见的最值问题加以归纳总结，以便能碰到在最值问题时灵活选择合理的方法。
本文将最值问题分为两大类：显性的最值问题和隐性的最值问题。 （一） 显性的最值问题
顾名思义就是一看题目就知道这是需要求最值的。下文又作如下分类： （1） （2） （3） （4） （5） （6）
二次函数的最值 导数法求最值 均值不等式求最值 辅助角型三角函数最值 借助数形转化求最值 求“
A a +x
+
B b -x
”型最值
现举例说明如下
1. 二次函数的最值
二次函数的最值解一般是先配方，再借助于二次函数图像。数学中的其他很多最值问题最后总转化为一元二次函数的最值问题。
例1：(02年全国理1) 设a 为实数，f (x ) =x +|x -a |+1(x ∈R ) （1）讨论f (x ) 的奇偶性；（2）求f (x ) 的最小值．
思路分析：（1）略 (2)去绝对值后，函数即为二次函数，本题就是二次函数的最值问题。当对称轴与所给区间的相对位置关系不确定，则需分类讨论．
解：（2）当x ≤a 时，f (x ) =x -x +a +1=(x -
2
2
12
) +a +
2
34
，由二次函数图象及其性质知：若a ≤
2
12
，函
数f (x ) 在(-∞, a ]上单调递减，从而函数f (x ) 在(-∞, a ]在上的最小值为f (a ) =a +1；若a >
12
，函数
131f (x ) 在(-∞, a ]上的最小值为f () =a +，且f () ≤
242
122
当x ≥a 时，函数f (x ) =x +x -a +1=(x +) -a +
2
11
若a ≤-，函数f (x ) 在[a , +∞) 上的最小值为f (-) =
22
f (a ) ． 34
34
．
-a ，且f (-
12
) ≤f (a ) ；
若a >-
12
，函数f (x ) 在[a , +∞) 上单调递增，从而函数函数f (x ) 在[a , +∞) 上的最小值为f (a ) =a +1．
2
综上所述，当a ≤-
12
时，函数f (x ) 的最小值是
34
-a ；当-
12
12
时，函数f (x ) 的最小值为a +1；当
2
a >
12
时，函数f (x ) 的最小值是a +
34
．
2. 导数法求最值
用导数法来求函数的最值要比初等方法快捷简便，因此导数法求最值也是一种不可忽视方法： 在闭区间[a , b ]上连续的函数f (x ) 在[a , b ]上必有最大值与最小值。
设函数f (x ) 在[a , b ]上连续，在(a , b ) 上可导，求f (x ) 的最大值与最小值的步骤如下： 求f (x ) 在(a , b ) 内的极值；
将f (x ) 的各极值与f (a ), f (b ) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。 应注意：（1）f (x ) 的极值是局部概念，而最大(小) 是值则可看作整体概念。
（2）求函数的最值与求函数极值不同的是，在求可导函数的最值时，不需对各导数为0的点讨论其是极大值还是极小值，只需将导数为零的点和端点的函数值进行比较即可。
（3）可利用函数的单调性求f (x ) 在区间上的最值，若f (x ) 在[a , b ]上单调增加，则f (x ) 的最大值为f (b ) ，最小值为f (a ) ；若f (x ) 在[a , b ]上单调减少，则f (a ) 为函数最大值，f (b ) 为最小值。
5
3
例2：求函数y =2x -3x -x +1在[-2, 2]上的最大值与最小值。
解：由y =2x -3x -x +1得y =10x -9x -1=(10x +1)(x -1) 令y =0解得
5
3
'
4
2
2
2
'
x 1=1, x 2=-1, 列表讨论如下：
5
3
又因为当x =-1时y =2⨯(-1) -3⨯(-1) -(-1) +1=3 当x =1时y =2⨯1-3⨯1-1+1=-1
而函数在两个端点的函数值分别为-37，39，因此函数y 的最大值为39，最小值为-37 3. 均值不等式求最值
5
3
均值不等式：若a >0, b >
0，则a +b ≥利用均值不等式要注意一正二定三相等。
，当且仅当a =b 时，等式成立
例3已知a +4b =1，求
22
2ab |a |+2|b |
的最大值
思路分析：本题是关于二元二次条件的最值问题，不易消元，可以直接采用均值不等式求解
解：当ab
2ab |a |+2|b |
显然取不到最大值，故只需讨论ab >0的情况
a +4b =1, ab >0，a +4b ≥4ab ∴0
14
2222
从而
2ab |a |+2|b |
=
21|b |
+2|a |
≤≤
4
当a =
2
b =
4
或a =-
2
, b =-
4
时，等号成立
4. 辅助角型三角函数最值
y =a sin ωx +b cos ωx 可以转化为求y =A sin(ωx +φ) 的最值，再利用三角函数的有界性可求。
a sin ωx +b cos ωx =
ωx +φ) （其中φ
由cos φ=
和sin φ=
例5（05年全国卷一）当0
π
2
时，函数f (x ) =
1+cos 2x +8sin x
sin 2x
2
的最小值为（ ）
A.2 B.
思路分析：先对函数通过降幂化同角来化简
解：令y =f (x ) =
1+cos 2x +8sin x
sin 2x
2
=
5-3cos 2x sin 2x 3y
得y sin 2x +3cos 2x =5，
整理得sin(2x +φ) =
（其中tan φ=），由|sin(2x +φ) ≤1，可求得y ≥4
所以f (x ) 的最小值为4 5. 借助数形转换求最值
数形转换的思想可以使某些抽象的数学问题直观化，生动化，能够变抽象思维为形象思维，使逻辑思维与形象思维有机统一起来，其解题思路直观，简捷，优美 例5. 已知5x +12y =
60，则
思路分析：此题大多数学生想到用消元，转化成求一元函数的最值问题，但计算麻烦。
本题可以通过将题目条件转化用图形语言来表示，实现数与形的转化，化抽象为形象，问题迎韧而解。 解：点(x , y ) 表示直线5x +12y =
60表示点(x , y ) 到原点距离，
最小值即求直线上的点到原点的最小距离，即为原点到直线的距离
d =
=
6013
所以
的最小值为
A a +x
+
B b -x
A a +x
6013
6. 求“”型最值
我们常用到“y =+
B b -x
”最值，我们只要妙添“1”，然后将“1”变形为1=
(a +x ) +(b -x )
a +b
即可求出
这一类最值，程序如下：
y =
=1⋅(
A a +x
A a +x
++
B b -x B b -x
（
A a +x
>0，
B b -x
>0）
) ⋅(
A a +x
++
B b -x
)
]
==≥
(a +x ) +(b -x )
a +b 1a +b 1a +
b
⋅[A +B +(A +B +A (b -x ) a +x
B (a +x ) b -
x
=
+a +b
2
例6函数y =
x -5x +10-x +2x +8
2
2
(0
14-x
4x +2
思路分析：先将分式化为部分分式-1++
解：y =
x -5x +10-x +2x +8
22
2
=
-(-x +2x +8) -3x +18
-x +2x +8
14-x
4x +2
2
=-1+
(-4x +16) +x +2(4-x )(x +2)
=-1++=-1+
(4-x ) +(x +2)
6
16
(
1(4-x )
+
4x +2
)
=-1+
16
[5+
12
x +2(4-
x )
+
4(4-x ) x +2
]=≥-1+[5+=
12
故得最小值，当且仅当x =2时取得
（二） 隐性的最值问题
有些题目需要通过分析推理，转化为最值问题。常见的题型： （1） （2）
不等式的恒成立问题 含参数的存在性问题
1. 不等式的恒成立问题
此类问题转化为求函数最值问题。f (x ) >m 恒成立，即f (x ) m in >m ；f (x )
→
2
→→→
例7. 已知向量a =(x,x+1), b =(1-x,t) 若函数f(x)＝a ⋅b 在区间(－1，1) 上是增函数，求t 的取值范围。 思路分析：先通过求向量的数量积表示函数，再在题目中分离出参数，化为f (x ) >m 恒成立或f (x ) m 或f (x ) max
解：依题意，
f (x ) =x (1-x ) +(x +1) t =-x +x +tx +t
则f (x ) =-3x +2x +t
∵f (x ) 在(－1，1) 上是增函数，则在(－1，1) 上恒有f (x ) >0 即-3x +2x +t >0在x ∈(-1,1) 上恒成立
设g (x ) =-3x +2x +t ，即g (x ) min >0 而g (x ) 在(-1,
2
'
'
2
232
2
1
1
) 上是增函数，在(,1) 上是减函数， 33
g (-1) =-5+t
g (x ) m in >-5+t 所以-5+t ≥0，则t ≥5 （3）
含参数的存在性问题
2
3
2
例8已知两个函数f (x ) =8x +16x -k （其中k 是实数），g (x ) =2x +5x +4x 。 若∃x 0∈[-3, 3]，使得f (x 0) ≤g (x 0) ，求k 的取值范围
思路分析：构造函数h (x ) =f (x ) -g (x ) ，∃x 0∈[-3, 3]，使得f (x 0) ≤g (x 0) ，转化为问题使得
f (x 0) -g (x 0) ≤0，即求h (x ) m in ≤0
解：令h (x ) =f (x ) -g (x ) =
若∃x 0∈[-3, 3]，使得f (x 0) ≤g (x 0) ，即f (x 0) ≤g (x 0) 令h (x ) =f (x ) -g (x ) =-2x +3x +12x -k 即求h (x ) m in ≤0
3
2
h (x ) =-6x +6x +12
当h (x ) >0时，解得-12 所以h (x ) 在闭区间[-3，3]上的单调性为:
在[-3,-1]上为单调递减函数; 在[-1,2]上单调递增函数; 在[2,3]上为单调递减函数 而h (-1) =-7-k , h (3)=9-k 所以h (x ) min =-7-k ≤0 所以k ≥-7 总结
1. 最值问题举不胜举，二次函数的最值问题是其他很多最值问题的基础（如三角函数，数列，解析几何，应用性最值）例如求y =cos 2x +sin x +1的最值，可以通过换元转化为二次函数最值。 2. 用导数法来求函数的最值具有快捷简便的特点，因此导数法求最值不可忽视。 3.重视挖掘目标函数的几何意义，借助数形转化求最值，直观形象。
' '
' 2
4.对于不等式的恒成立问题和含参数的存在性问题，关键在于能够通过分析推理转化为最值问题。
参考文献
【1】 【2】
蒋荣清 最值、定值问题与高考走势 中学教研 2009.3 孙瑜蔓 添“1”法妙求”
A a +x
+
B b -x
”型最值
中学数学月刊 2008.2
【3】 阎锐 教会学生灵活运用转化思想解题中学数学月刊 2008.2