第二章 图表信息与方案设计专题
§2.1 图 表 信 息
解题模式 元；中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院，
付费12.6元．若该市出租车的收费标准是：不超
【题型特点】 过3公里计费为m 元，3公里后按n 元/公里计费．
1. 图表信息题是指部分已知条件或全部已知
光明中学市图书馆光明电影院
条件是通过图形、图象或图表提供的一类试题．
2. 图表信息题的呈现方式主要是：
(1)图形(图片、图象) 信息问题(为防止重复，
此章不涉及函数图象、统计图等)
(2)表格信息问题(为防止重复，此章不涉及统
计表)
【解题思路】解图表信息题的关键是“识图表”
和“用图表”. 解图表信息题的一般步骤是：
(1)观察图表，获取有效信息；
(2)对已获信息进行加工、整理，理清各变量
之间的关系；
(3)选择适当的数学工具，通过建模解决问题.
典题研究
【例1】(2015·吉林) 根据图中的信息，求梅
花鹿和长颈鹿现在的高度
.
【思路点拨】设梅花鹿的高度是xm ，长颈鹿的
高度是ym ，根据长颈鹿的高度比梅花鹿的3倍还多1和梅花鹿的高度加上4正好等于长颈鹿的高度，列出方程组，求解即可． 【完全解答】设梅花鹿的高度是xm ，长颈鹿
的高度是ym ，
根据题意得：， 解得：，
答：梅花鹿的高度是1.5m ，长颈鹿的高度是5.5m ．
【归纳交流】本题通过图片辅以文字的形式呈
现信息，与传统的文字信息题不同的是，它的形式
更新颖、直观，且省去了繁琐的语言叙述．抽去“形
式”，这类试题实质上仍是通过文字传递信息的．
【例2】(2015·江苏常州) 已知某市的光明中
学、市图书馆和光明电影院在同一直线上，它们之
间的距离如图所示．小张星期天上午带了75元现
金先从光明中学乘出租车去了市图书馆，付费9⑴求m ，n 的值，并直接写出车费y （元）与路
程x （公里）（x ＞3）之间的函数关系式；
⑵如果小张这天外出的消费还包括：中午吃饭
花费15元，在光明电影院看电影花费25元．问小
张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回
光明中学？为什么？
【思路点拨】（1）根据题意，不超过3公里计费为m 元，由图示可知光明中学和市图书馆相距2公里，可由此得出m ，由出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m 元，3公里后按n 元/公里计
费．当x ＞3时，由收费与路程之间的关系就可以
求出结论；
（2）分别计算小张所剩钱数和返程所需钱数，即可得出结论．
【完全解答】（1）∵由图示可知光明中学和市图书馆相距2公里，付费9元，
∴m=9，
∵从市图书馆乘出租车去光明电影院，路程5公里，付费12.6元，
∴（5﹣3）n+9=12.6， 解得：n=1.8． ∴车费y （元）与路程x （公里）（x ＞3）之间的函数关系式为：y=1.8（x ﹣3）+9=1.8x+3.6（x ＞3）．
（2）小张剩下坐车的钱数为：75﹣15﹣25﹣9﹣12.6=13.4（元）， 乘出租车从光明电影院返回光明中学的费用：
1.8×7+3.6=16.2（元）
∵13.4＜16.2，
故小张剩下的现金不够乘出租车从光明电影院返回光明中学．
【归纳交流】本题的部分已知信息是通过观察
图形获得的. 本题考查了分段函数，一次函数的解析式，由一次含数的解析式求自变量和函数值，解答时求出函数的解析式是关键. 【例3】（2015•湖北荆州）某渔业公司组织20辆汽车装运鲢鱼、草鱼、青鱼共120吨去外地销售，按计划20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种鱼，且必须装满，根据下表提供的信息，解答下
辆数为y 辆，求y 与x 之间的函数关系式.
（2）如果装运每种鱼的车辆数都不少于2辆，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出最大的利润.
【思路点拨】（1）设装运鲢鱼的车辆为x 辆，1. （2015•台湾）如图为某餐厅的价目表，今
日每份餐点价格均为价目表价格的九折．若恂恂今日在此餐厅点了橙汁鸡丁饭后想再点第二份餐点，且两份餐点的总花费不超过200元，则她的第二份餐点最多有几种选择？( ).
装运草鱼的车辆为y 辆，则由（20﹣x ﹣y ）辆汽车装运青鱼，由20辆汽车的总运输量为120吨建立等式就可以求出结论；
（2）根据建立不等装运每种鱼的车辆都不少于2辆，列出不等式组求出x 的范围，设此次销售所获利润为w 元，
w=0.25x×8+0.3（﹣3x+20）×6+0.2（20﹣x+3x﹣20）×5=﹣1.4x+36，再利用一次函数的性质即可解答．
【完全解答】（1）设装运鲢鱼的车辆为x 辆，装运草鱼的车辆为y 辆，则由（20﹣x ﹣y ）辆汽车装运青鱼，由题意，得
8x+6y+5（20﹣x ﹣y ）=120， ∴y=﹣3x+20．
答：y 与x 的函数关系式为y=﹣3x+20；
（2），根据题意，得
∴，
解得：2≤x ≤6，
设此次销售所获利润为w 元，
w=0.25x×8+0.3（﹣3x+20）×6+0.2（20﹣x+3x﹣20）×5=﹣1.4x+36
∵k=﹣1.4＜0，
∴w随x 的增大而减小．
∴当x=2
时，w 取最大值，最大值为：﹣1.4×2+36=33.2（万元）．
∴装运鲢鱼的车辆为2辆，装运草鱼的车辆为14辆，装运青鱼的车辆为4辆时获利最大，最大利润为33.2万元．
【归纳交流】本题通过表格提供部分已知信息，
本题考查了一次函数的解析式的运用，一次函数的性质的运用，一元一次不等式组的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
名题选练
一、 选择题
A.5 B.7 C.9 D.11
2. (2015•山西) 如图，在网格中，小正方形的边长均为
1，点
A ，B
，C
都在格点上，则∠ABC 的正切值是( ).
A.2 B.25
C.
15 D.2
3. （2015•黑龙江绥化）将一副三角尺按如图
方式进行摆放，∠1、∠2不一定互补的是（ ）.
A B
C D
4. （2015•河北）已知：岛P 位于岛Q 的正西方，由岛P ，Q 分别测得船R 位于南偏东30°和南偏西45°方向上，符合条件的示意图是( ).
A B
C D
5. （2015•福建漳州）在数学活动课上，同学们利用如图的程序进行计算，发现无论x 取任何正整数，结果都会进入循环，下面选项一定不是该循环的是(
).
A.4，2，1 B.2，1，4 C.1，4，2 D.2，4，1
6. (2015·北京) 一家游泳馆的游泳收费标准
消费50+25×20=550元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45～55次之间，则最省钱的方式为( ).
A. 购买A 类会员年卡 B. 购买B 类会员年卡 C. 购买C 类会员年卡 D. 不购买会员年卡
7.(2015•山东泰安) 某同学在用描点法画二次函数
2
误的数值是( ).
A.-11 B.-2 C.1 D.-5
二、 填空题
8.(2015•山东枣庄) 如图，平面上直线a ，b 分别经过线段OK 两端点（数据如图），则a ，b 相交所成的锐角是_______.
9. (2015•四川巴中) 如图，将∠AOB 放在边长
为1的小正方形组成的网格中，则tan ∠AOB=_____.
10. （2015•河北）平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1﹣∠2=______.
11. （2015•福建漳州）如图，一块直角三角板ABC 的斜边AB 与量角器的直径恰好重合，点D 对应的刻度是58°，则∠ACD的度数为______．
三、 解答题
12. （2015•福建泉州）某校在基地参加社会实践话动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），另外三边用总长69米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的而积最大？下面是两位学生争议的情境：
请根据上面的信息，解决问题：
（1）设AB=x米（x ＞0），试用含x 的代数式表示BC 的长；
（2）请你判断谁的说法正确，为什么？
13. （2015•河北）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程随后用手掌捂住了如图所示的一个二次三项式，形式如图：
（1）求所捂的二次三项式；
（2）若x=+1，求所捂二次三项式的值．
14. (2015·山东菏泽)2015年的5月20日是第15个中国学生营养日, 我市某校社会实践小组在这天开展活动, 调查快餐营养情况, 他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息(如图一矩形内), 若这份快餐中所含的蛋白质与碳水化合物的质量之和不高于这份快餐总质量的70%,求这份快餐最多含有多少克的蛋白质
?
15. (2015•广东深圳) 下表为深圳市居民每月
3
（1）某用户用水10立方米，公交水费23元，求a 的值；
（2）在（1）的前提下，该用户5月份交水费71元，请问该用户用水多少立方米？
§2.2
解题模式
【题型特点】
1. 方案设计题是是指根据问题所提供的信息，运用学过的技能和方法，进行设计和操作，然后通过分析、计算、证明等，确定出最佳方案的一类数学问题.
2. 命题呈现方式：
(1)经济类方案设计题: 根据方程(组) 、不等式(组) 的整数解、函数等模型，确定解决方案，以达到最优化的目的；
16. （2015•福建漳州）国庆期间，为了满足百姓的消费需求，某商店计划用170000元购进一批
电共100台，其中彩电台数是冰箱台数的2倍，设该商店购买冰箱x 台．
（1）商店至多可以购买冰箱多少台？
（2）购买冰箱多少台时，能使商店销售完这批家电后获得的利润最大？最大利润为多少元？
17. (2015•广东梅州) 九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的
元．
（1）请用含x 的式子表示：①销售该运动服
每件的利润是 元；②月销量是 件；（直接写出结果）
（2）设销售该运动服的月利润为y 元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？
方 案 设 计
(2)操作类方案设计题：主要是图形的分割、拼接、画图等问题.
【解题思路】
解决经济类方案设计题一般过程是：(1)阅读，即弄清问题背景和基本要求；(2)分析，即寻找问题的数量关系，找到与其相关的知识；(3)建模，即由分析得出的相关知识建立方程模型、不等式(组) 模型或函数模型；(4)解题，即求解上述建立的方程、不等式或函数，结合实际确定最优方案．
操作类方案设计题大多具有一定的开放性. 解题一般过程是：(1)阅读，即弄清问题背景和基
本要求；(2)慎重考虑，设计出尽量简便符合要求的图形；(3)标上适当的数据，或附上文字说明.
典题研究
【例1】（2015•贵州黔东南）去冬今春，我市部分地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”．某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件．
（1）求饮用水和蔬菜各有多少件？
（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件．则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；
（3）在（2）的条件下，如果甲种货车每辆需付运费400元，乙种货车每辆需付运费360元．运输部门应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？
【思路点拨】（（1）关系式为：饮用水件数+蔬菜件数=320；
（2）关系式为：40×甲货车辆数+20×乙货车辆数≥200；10×甲货车辆数+20×乙货车辆数≥120；
（3）分别计算出相应方案，比较即可． 【完全解答】（1）设饮用水有x 件，则蔬菜有（x ﹣80）件．
x+（x ﹣80）=320，
解这个方程，得x=200． ∴x ﹣80=120．
答：饮用水和蔬菜分别为200件和120件； （2）设租用甲种货车m 辆，则租用乙种货车（8﹣m ）辆．得：
，
解这个不等式组，得2≤m≤4． ∵m 为正整数，
∴m=2或3或4，安排甲、乙两种货车时有3种方案．
设计方案分别为：
①甲车2辆，乙车6辆； ②甲车3辆，乙车5辆； ③甲车4辆，乙车4辆；
（3）3种方案的运费分别为： ①2×400+6×360=2960（元）； ②3×400+5×360=3000（元）； ③4×400+4×360=3040（元）；
∴方案①运费最少，最少运费是2960元． 答：运输部门应选择甲车2辆，乙车6辆，可使运费最少，最少运费是2960元．
【归纳交流】本题是利用方程、不等式知识，
通过计算比较获得解决问题的方案的. 考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用．解答时，一般可把它转化为求不等式组的整数解问题，在实际问题中抽象出不等式组是解决这类问题的关键．
【例2】（2015•山东威海）为绿化校园，某校计划购进A 、B 两种树苗，共21课．已知A 种树苗每棵90元，B 种树苗每棵70元．设购买B 种树苗x 棵，购买两种树苗所需费用为y 元．
（1）y 与x 的函数关系式为：__________； （2）若购买B 种树苗的数量少于A 种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
【思路点拨】（1）根据购买两种树苗所需费用=A种树苗费用+B种树苗费用，即可解答；
（2）根据购买B 种树苗的数量少于A 种树苗的数量，列出不等式，确定x 的取值范围，再根据（1）得出的y 与x 之间的函数关系式，利用一次函数的增减性结合自变量的取值即可得出更合算的方案．
【完全解答】（1）y=90（21﹣x ）+70x=﹣20x+1890，
故答案为：y=﹣20x+1890．
（2）∵购买B 种树苗的数量少于A 种树苗的数量，
∴x ＜21﹣x ， 解得：x ＜10.5， 又∵x ≥1，
∴x 的取值范围为：1≤x ≤10，且x 为整数， ∵y=﹣20x+1890，k=﹣20＜0， ∴y 随x 的增大而减小，
∴当x=10时，y 有最小值，最小值为： ﹣20×10+1890=1690，
∴使费用最省的方案是购买B 种树苗10棵，A 种树苗11棵，所需费用为1690元．
【归纳交流】本题是利用函数知识，通过函数增减性知识获得解决问题的方案的. 这类问题常涉及需要确定最大利润或最小成本等优化问题，解决此类问题可以以背景材料为依托建立函数关系式，从而利用函数的性质，特别是函数的增减性，最值以及函数图象的性质去解决问题，从而确定最优方案．本题考查的是一元一次不等式及一次函数的应用．
【例3】（2015•黑龙江哈尔滨）图1，图2是两两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点.
⑴在图1中画出等腰直角三角形MON ，使点N
在格点上，且∠MON=900
；
⑵在图2中以格点为顶点画出一个正方形ABCD ，使正方形ABCD 面积等于（1）中等腰直角三角形MON 面积的4倍，并将正方形ABCD 分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角和一个正方形，且正方形ABCD 面积没有剩余（画出一种即可）
.
【思路点拨】（1）过点O 向线段OM 作垂线，此直线与格点的交点为N ，连接MN 即可；
（2）根据勾股定理画出图形即可． 【完全解答】 ⑴如图1所示：
⑵如图2所示：
【归纳交流】本题是图形分割类操作设计题
. 熟知勾股定理是解答此题的关键．
名题选练
一、 选择题
1.(2015•黑龙江龙东) 为推进课改，王老师把班级里40名学生分成若干小组，每小组只能是5人或6人，则有几种分组方案( ). A.4 B.3 C.2 D.1
2.(2015•山东枣庄) 如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影
部分是一个以格点为顶点的正方形（简称格点正方形）．若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有(
).
A.2种 B.3种 C.4种 D.5种
3. （2015•河北）如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则(
).
A. 甲、乙都可以 B.甲、乙都不可以 C. 甲不可以、乙可以 D.甲可以、乙不可以
二、解答题
4. （2015·山东莱芜）为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个. 已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．
（1）问符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来；
（2）若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明在（1）中哪种方案费用最低？最低费用是多少元？
5. （2015•四川广安）为了贯彻落实市委市府提出的“精准扶贫”精神．某校特制定了一系列关于帮扶A 、B 两贫困村的计划．现决定从某地运送152箱鱼苗到A 、B 两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其
（1）求这15辆车中大小货车各多少辆？ （2）现安排其中10辆货车前往A 村，其余货车前往B 村，设前往A 村的大货车为x 辆，前往A 、B 两村总费用为y 元，试求出y 与x 的函数解析式． (1)请在图甲中画一个格点正方形，使它内部只含有4个格点，并写出它的面积；
(2)请在图乙中画一个格点三角形，使它的面7
积为，且每条边上除顶点外无其它格点. （注：．．．．．（3）在（2）的条件下，若运往A 村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用．
6. （2015·山东济宁）小明到服装店参加社会实践活动，服装店经理让小明帮助解决以下问题： 服装店准备购进甲乙两种服装，甲种每件进价80元，售价120元；乙种每件进价60元，售价90元. 计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件.
（1）若购进这100件服装的费用不得超过7500，则甲种服装最多购进多少件？
（2）在（1）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a （0＜a ＜20）元的价格进行优惠促销活动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润？
7. （2015•四川资阳）学校需要购买一批篮球和足球，已知一个篮球比一个足球的进价高30元，买两个篮球和三个足球一共需要510元．
（1）求篮球和足球的单价；
（2）根据实际需要，学校决定购买篮球和足球共100个，其中篮球购买的数量不少于足球数量的2
3
，学校可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10500元. 请问有几种购买方案？
（3）若购买篮球x 个，学校购买这批篮球和足球的总费用为y （元），在（2）的条件下，求哪种方案能使y 最小，并求出y 的最小值．
8. （2015·浙江温州）各顶点都在方格纸格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形。如何计算它的面积？奥地利数学家皮克（G.Pick ，1859～1942）证明了格点多边形的面积
公式：S =a +1
2
b -1，其中a 表示多边形内部的格
点数，b 表示多边形边界上的格点数，S 表示多边
形的面积。如图，a =4，b =6，S =4+1
2
⨯6-1=6。
2图甲、图乙在答题纸上）
9. （2015·江苏南京）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，请画出以A 为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD 的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）
10. （2015•四川广安）手工课上，老师要求同学们将边长为4cm 的正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形，聪明的你请在下列四个正方形中画出不同的剪裁线，并直接写出每种不同分割后得到的最小等腰直角三角形面积（注：不同的分法，面积可以相等）