第三章 向量组的线性相关性和秩
一 基本要求
1．理解n 维向量的概念及运算，向量的线性组合与线性表示．
2．理解向量组的线性相关与线性无关的定义及相关结论，并会判别向量组的线性相关性． 3．了解向量组的最大无关组和向量组的秩的概念， 会求向量组的最大无关组和秩． 4．了解向量组等价的概念，了解向量组的秩与矩阵秩的关系．
5．了解向量空间以及相关概念，了解基变换和坐标变换公式， 会求过渡矩阵．
二 主要内容
1. 向量
(1) 定义：n 个有顺序的数α1, α2, , αn 所组成的数组α=(α1, α2, , αn ) 叫做n 维向量，数α1, α2, , αn 叫做向量α的分量(或坐标) ，n 称为向量α的维数． (2) 向量的运算
①加法运算：设有向量α=(a 1, a 2, , a n ) ，β=(b 1, b 2, , b n ) ，则
α+β=(a 1+b 1, a 2+b 2, , a n +b n ).
加法运算满足运算规律： 交换律：α+β=β+α.
结合律：α+(β+γ) =(α+β) +γ.
②数量k 与向量α的乘积：k α=(ka 1, ka 2, , ka n ). 数乘运算满足运算规律： 交换律：k α=αk . 结合律：k (l α) =(kl ) α.
分配律：k (α+β) =k α+k β, (k +l ) α=k α+l α，其中k , l 为数． 2. 向量的线性相关性
(1) 对于向量α1, α2, , αm ，如果有一组数λ1, λ2, , λm ，使α=λ1α1+λ2α2+ +λm αm , 则说向量α是α1, α2, , αm 的线性组合，或说α可由α1, α2, , αm 线性表示．
(2) 设有n 维向量组α1, α2, , αm ，如果存在一组不全为0的数k 1, k 2, , k m ，使
k 1α1+k 2α2+ +k m αm =0, 则称向量组α1, α2, , αm 线性相关，否则称为线性无关．
(3) 向量组α1, α2, , αm (m ≥2) 线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余m -1个向量线性表示．
(4) 设α1, α2, , αm 线性无关，而α1, α2, , αm , β线性相关，则β能由α1, α2, , αm 线性表示，且表示式是唯一的．
(5) 若α1, α2, , αr 线性相关，则α1, α2, , αr , αr +1, , αm 也线性相关(局部相关则整体相关) ．
(6) 设有两个向量组A :a j =(a 1j , a 2j , , a nj ) ，B :b j =(a p 1j , a p 2j , , a p n j ) (j =1,2,
T
T
, m ), 其中p 1p 2 p n 是1, 2, , n 这n 个自然数的某个确定的排列，则向量组A 与向量组B 的线性相关性相同．
(7) 设有两个向量组A :a j =(a 1j , a 2j , , a rj ) ，B :b j =(a 1j , a 2j , , a rj , a r +1, j ) (j =1,2,
T
T
, m ), 即b j 是由a j 添加一个分量而得． 若向量组A 线性无关，则向量组B 也线性无关
(低维无关则高维也无关) ． (8) 向量组
α1, α2, , αm 线性相关的充分必要条件是他们所构成的矩阵
A =(α1, α2, , αm ) 的秩小于向量的个数m ，即R (A )
条件是R (A ) =m ．
(9) n 个n 维向量线性无关的充分必要条件是他们所构成的方阵的行列式不等于0． (10) 当m >n 时，m 个n 维向量α1, α2, , αm 一定线性相关． 3. 向量组的秩和最大无关组
(1) 设有两个n 维向量组A :α1, α2, , αr ; B :β1, β2, βs , 如果向量组A 中的每个向量都能由向量组B 中的向量线性表示，则称向量组A 能由向量组B 线性表示． 如果向量组A 能由向量组B 线性表示，且向量组B 也能由向量组A 线性表示，则称向量组A 和向量组B 等价．行向量组A :α1, α2, , αr ; B :β1β, 2 , βs 记, A =(α1, α2, , αr ) , B =(β1, β2, ,
T
βs ) T ，A 组能由B 组线性表示，则存在矩阵K =(k ij ) r ⨯s ，使A =KB ，对于列向量组
A :α1, α2, , αr ; B :β1, β2, βs , 记A =(α1, α2, , αr ), B =(β1, β2, , βs ) ，A 组能由
B 组线性表示，也就是存在矩阵K =(k ij ) s ⨯r ，使A =BK .
(2) 设有向量组T ，如果
①在T 中有r 个向量α1, α2, , αr 线性无关；
②T 中任意r +1个向量(如果T 中有的话) 都线性相关，则称α1, α2, , αr 是向量组T 的一个最大无关向量组，简称最大无关组；数r 称为向量组T 的秩．并规定只含零向量的向量组的秩为零．
(3) 设向量组A :α1, α2, , αr ；向量组B :β1, β2, , βs ．如果A 组能由B 组线性表示且A 组线性无关，则r ≤s ．
(4) 设向量组A :α1, α2, , αr 的秩为r 1，向量组B :β1, β2, , βs 的秩为r 2，如果A 组能由
B 组线性表示，则r 1≤r 2.
(5) 设在向量组T 中有r 个向量α1, α2, , αr 满足 ① α1, α2, , αr 线性无关；
② 任取α∈T , α总能由α1, α2, , αr 线性表示，则α1, α2, , αr 是向量组T 的一个最大无关组，数r 是向量组的秩．
(6) 矩阵的秩等于它的列秩，也等于它的行秩． (7) 设C =AB ，则R (C ) ≤min {R (A ), R (B ) }.
(8) 矩阵A 经过初等行变换化为矩阵B ，则A 、B 的行向量组之间等价，A 的列向量组与
B 相对应的列向量组有相同的线性组合关系．
4. 向量空间
(1) 设V 为n 维向量的集合，如果集合V 非空，且集合V 对于加法及数乘两种运算(线性运算) 封闭，则称集合V 为向量空间． 所谓封闭，是指在集合V 中可以进行加法及数乘两种运算，即若α∈V , β∈V ，则α+β∈V ；若α∈V , λ∈R ，则λα∈V . 设有向量空间V 1, V 2，若V 1⊂V 2，则称V 1是V 2的子空间．
(2) 设V 为向量空间，如果r 个向量α1, α2, , αr ∈V 且满足 ① α1, α2, , αr 线性无关；
② V 中任一向量都可由α1, α2, , αr 线性表示，
则称向量组α1, α2, , αr 为向量空间V 的一个基，称r 为向量空间V 的维数，并称V 是r 维向量空间．
(3) 设向量组α1, α2, , αr 是向量空间V 的一个基，则V 中任一向量x 可以表示为
x =λ1α1+λ2α2+ +λr αr ，称有序数组λ1, λ2, , λr 为向量x 关于基α1, α2, , αr 的坐
标．
(4) 设α1, α2, , αn 与β1, β2, , βn 是向量空间V 的两个基，则
⎧β1=p 11α1+p 21α2+ +p n 1αn ⎪β=p α+p α+ +p α⎪2121222n 2n
⎨
⎪⎪⎩βn =p 1n α1+p 2n α2+ +p nn αn
即
⎛β1⎫⎛p 11 ⎪ β2⎪ p 12 =
⎪ ⎪ ⎝βn ⎭⎝p 1n
或
p 21 p 22 p 2n
p n 1⎫⎛α1⎫⎛α1⎫
⎪⎪ ⎪
p n 2⎪ α2⎪αT 2⎪=P
⎪ ⎪ ⎪
⎪⎪ ⎪
p nn ⎭⎝αn ⎭⎝αn ⎭
(β1, β2, , βn ) =(α1, α2, αn ) P ,
并把此公式称为基变换公式，矩阵P 称为由基α1, α2, , αn 到基β1, β2, , βn 的过渡矩阵．设V 中的元素在基α1, α2, , αn 下的坐标为(x 1, x 2, , x n ) T ，在基β1, β2, , βn 下的坐
' ' ' T
标为(x 1, x 2, , x n ) ，则有
' ' T
(x 1, x 2, , x n ) T =P (x 1' , x 2, , x n ) ．
5. 线性相关性判定方法 (1) 定义法
① 设存在一组数k 1, k 2, , k m ，使得方程
k 1α1+k 2α2+... +k m αm =0. (*) ② 求解方程，如果有非零解则线性相关，如果只有零解则线性无关． (2) 定理法-应用定理与重要结论判断． 常用结论有：
① 单独一个非零向量是线性无关的，而零向量是线性相关的． ② 两个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例．
③ 向量组中的向量个数大于维数，一定线性相关，多于n 个的n 维向量必线性相关． ④ n 个n 维向量线性无关的充分必要条件是他们所构成的方阵的行列式不等于0． ⑤ 判断相关性的常用结论：向量组部分相关则整个向量组相关(部分相关则整体相关) ．低维(短) 向量组无关，则低维(短) 向量组添加分量得到的高维(加长) 向量组也无关(低维
无关则高维无关) ． (3) 向量组的秩
向量组α1, α2, , αm 线性相关的充分必要条件是他们所构成的矩阵A =(α1, α2, , αm ) 的秩小于向量的个数m ，即R (A )
该方法是依据最大无关组的定义，对向量组自左向右逐个选择，去掉多余向量．这种方法主要是说明如何理解最大无关组的概念，比较麻烦，只适用于向量组向量个数较少的情况，如2或3个．
(2) 最高阶非零子式法．
将向量作为行向量(或作为列向量) 构成矩阵，利用子式方法确定矩阵的最高阶非零子式
D r ，最高阶的非零子式所包含的行(列向量) 向量构成的向量组就是原向量组的一个最大无
关组．
(3) 初等变换法．
设矩阵A m ⨯n 经过有限次初等行变换变成矩阵B m ⨯n ，则A 的任意k 个列向量与B 的相 对应k 个列向量线性相关性相同， 因此首先把向量作为列向量构成矩阵A ，对A 进行初等行变换化为行阶梯型阵B ， 根据B 的列向量的线性相关性可确定A 的最大无关组． 7. 求过渡矩阵常用方法(中间法)
在向量空间R 中，求由基α1, α2, , αn 到基β1, β2, , βn 的过渡矩阵时，取R 的基
n
n
⎛1⎫⎛0⎫⎛0⎫
⎪ ⎪ ⎪010⎪ ⎪ ⎪ e 1= , e =, , e n = ⎪2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪00⎝⎭⎝⎭⎝1⎭
(当αi , βi (i =1,2, , n ) 均为行向量时，也取e 1, e 2, e n 为行向量) 直接写出由基e 1, e 2, e n 分别到α1, α2, , αn 和β1, β2, , βn 的过渡矩阵，即
(α1, α2, αn ) =(e 1, e 2, e n ) A ，(β1, β2, , βn ) =(e 1, e 2, e n ) B ，则有
(β1, β2, , βn ) =(α1, α2, αn ) A -1B
或
(α1, α2, αn ) =(β1, β2, , βn ) B -1A ，
从而可求得由基α1, α2, , αn 到β1, β2, , βn 的过渡矩阵A B ，或由β1, β2, , βn 到
-1
α1, α2, , αn 的的过渡矩阵B -1A ．
三 例题精解
例1 讨论向量组α1=(2,1, -1, -1), α2=(0,3,-2,0), α3=(2,4,-3, -1) 的线性相关性． 解 (1) 定义法．设k 1α1+k 2α2+k 3α3=0．(设相关性方程) ，按分量展开得到方程组
+2k 3=0⎧2k 1
⎪k +3k +4k =0⎪123
⎨
⎪-k 1-2k 2-3k 3=0⎪-k 3=0⎩-k 1
求解得到k 1=-k 3, k 2=-k 3，可见k 1=k 2=-1, k 3=1是该方程组的一组非零解，故
α1, α2, α3线性相关．
(2) 秩方法．将向量构成矩阵用初等变换求矩阵的秩．
⎛α1⎫⎛21-1-1⎫r -r ⎛21-1-1⎫r -r ⎛21-1-1⎫
⎪ ⎪31 ⎪32 ⎪A = α2⎪= 03-20⎪~ 03-20⎪~ 03-20⎪
0000⎪ α⎪ 24-3-1⎪ 03-20⎪
⎭⎝⎭⎝⎭⎝3⎭⎝
故R (A ) =2，因此α1, α2, α3线性相关．
例2 讨论向量组α1=(1,1,0), α2=(1,3, -1), α3=(5,3,t ) 的线性相关性． 分析 3个3维向量构成方阵，线性相关的充分必要条件为|A |=0．
⎛α1⎫⎛110⎫
⎪ ⎪
解 作 A = α2⎪= 13-1⎪，计算
α⎪ 53t ⎪
⎭⎝3⎭⎝
11
1
A =13-1=12-1=2t -2， 53t 5-2t
因此t ≠1时，A ≠0，向量组α1, α2, α3线性无关，而当t =1时，A =0，向量组
α1, α2, α3线性相关．
例3 设a 1, a 2, , a l 是互不相同的数，试讨论向量组αi =(1, a i , a i 2, , a i n -1) ，
i =1,2, , l 的线性相关性．
解 当l >n ，l 个n 维向量必线性相关． 当l ≤n 时，令k 1α1+k 2α2+ +k l αl =0，即
k 1+k 2+ +k l =0⎧
⎪a k +a k + +a k =0
1122l l ⎪⎪222
⎨a 1k 1+a 2k 2+ +a l k l =0
⎪ ⎪n -1
n -1n -1
⎪⎩a 1k 1+a 2k 2+ +a l k l =0
因为l ≤n ，考虑前r 个方程，有
k 1+k 2+ +k l =0⎧
⎪a k +a k + +a k =0
1122l l ⎪⎪222
⎨a 1k 1+a 2k 2+ +a l k l =0
⎪ ⎪l -1
l -1l -1
⎪⎩a 1k 1+a 2k 2+ +a l k l =0
系数行列式
1a 1
a 1
2
1a 2
2
a 2
1a 3
2a 3
1a l a l 2=
1≤j
∏
(a i -a j ) ≠0.
a 1l -1
l -1a 2
l -1a 3 a l l -1
由于只有零解，即k 1=k 2= =k l =0，故α1, α2, , αl 线性无关．
例 4 若向量组α1, α2, , αs 满足：α1≠0, αi (2≤i ≤s ) 都不能由α1, α2, , αi -1线性表示，证明α1, α2, , αs 线性无关．
证明 采用反证法，设α1, α2, , αs 线性相关，则存在不全为零的数k 1, k 2, , k s ，使 k 1α1+k 2α2+ +k s αs =0.
设k s , k s -1, , k 1中第一个不为零的数为k l (1≤l ≤s ) ，则上式可写成
k 1α1+k 2α2+ +k l αl =0,(1≤l ≤s ) ，
其中k l ≠0． 由假设α1≠0, 因此l ≠1，于是
αl =-
k k 1k
α1-2α2- -l -1αl -1， k l k l k l
矛盾，故α1, α2, , αs 线性无关．
例5 设向量组α1, α2, α3线性相关，向量组α2, α3, α4线性无关，问：(1)α1能否由α2, α3
线性表示？说明理由; (2)α4能否由α1, α2, α3线性表示？说明理由．
解 (1)α1能由α2, α3线性表示． 因为α1, α2, α3线性相关，故存在数组k 1, k 2, k 3不全为零，使得k 1α1+k 2α2+k 3α3=0． 如果k 1=0，则k 2, k 3不全为零，且有k 2α2+k 3α3=0，即α2, α3线性相关，从而α2, α3, α4线性相关，这与题设矛盾．故k 1≠0，于是有
α1=(-
k k 2
) α2+(-3) α3=l 1α2+l 2α3. k 1k 1
(2)α4不能由α1, α2, α3线性表示． 用反证法：若α4可由α1, α2, α3线性表示，即存在数组
λ1, λ2, λ3使得α4=λ1α1+λ2α2+λ3α3． 将α1的表示式代入得到
α4=λ1(l 1α2+l 2α3) +λ2α2+λ3α3=(λ1l 1+λ2) α2+(λ1l 1+λ3) α3
即α4可由α2, α3线性表示，从而α2, α3, α4线性相关，这与题设矛盾，故α4不能由α1, α2, α3线性表示．
例6设向量β可由向量组α1, α2, , αm 线性表示， 证明:表示法唯一的充要条件是
α1, α2, , αm 线性无关．
证 必要性 设数组k 1, k 2, , k m 使k 1α1+k 2α2+ +k m αm =0，又由题设有
β=l 1α1+l α2+2 +l m αm ，于是
β=β+0=(l 1+k 1) α1+(l 2+k 2) α2+ +(l m +k m ) αm .
由于β由α1, α2, , αm 的表示式唯一，所以l i +k i =l i ，也就是k i =0(i =1,2, , m ) ，故
α1, α2, , αm 线性无关．
充分性：设β有两种表示式
β=l 1α1+l 2α2+ +l m αm =λ1α1+λ2α2+ +λm αm .
则有(l 1-λ1) α1+(l 2-λ2) α2+ +(l m -λm ) αm =0，由于α1, α2, , αm 线性无关，所以
l i -λi =0，即l i =λi (i =1,2, , m ) ，故β的表示式唯一．
例7 已知向量组α1, , α2, , αm ，令
β1=α1+α2, β2=α2+α3, , βm -1=αm -1+αm , βm =αm +α1.
证明 (1)当m 为偶数时，β1, β2, , βm 线性相关;(2) 当m 为奇数时，若α1, , αm 线性无关，则β1, β2, , βm 也线性无关．
证明 设数组k 1, k 2, , k m 使得k 1β1+k 2β2+ +k m βm =0，则有 (k 1+k m ) α1+(k 1+k 2) α2+ +(k m -1+k m ) αm =0 (*) 诸系数为0显然是(*)的一组解，则
⎧k 1+k m =0
⎪k +k =0⎪12
. (**) ⎨
................. ⎪⎪⎩k m -1+k m =0
其行列式为
10 01
11 0
m +1
D m =01 =1+(-1) .
100 011
当m 为偶数时，D m =0，方程组有非零解，故β1, β2, , βm 线性相关．
(2) 当m 为奇数时，由于α1, α2, , αm 线性无关，所以式(*)成立的充要条件为(**)式成立，此时方程组(**)的系数行列式D m =2≠0，所以他们只有零解，即k 1=k 2= =k m =0，故β1, β2, , βm 线性无关．
⎛12-2⎫ ⎪T
例8 (02303) 设三阶矩阵A = 212⎪， 三维列向量α=(a ,1,1) ， 已知A α与α
304⎪⎝⎭
线性相关， 则a =(……．)
⎛12-2⎫⎛a ⎫⎛a +2-2⎫ ⎪⎪ ⎪
解 A α= 212⎪1⎪= 2a +1+2⎪，由A α与α线性相关，知对应分量成比例，
304⎪1⎪ 3a +4⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
因此得到，故a =-1．
例9 已知α1, α2, αs 线性无关，β可由α1, α2, , αs 线性表示，且表示的系数全不为零，证明α1, α2, , αs , β中任意s 个向量线性无关．
分析 只需证明在α1, α2, , αs , β中去掉任一个αi (i =1,2, , s ) 后的s 个向量线性无关，如果去掉后的向量组线性相关，则β可由其它向量线性表示，这与表示系数全不为零矛盾，故用反证法较为简单．
证明 设α1, , αi -1, αi +1, , αs , β(i =1,2, , s ) 线性相关，故存在不全为零的一组数
k 1, , k i -1, k i +1, , k s , k 使
k 1α1+ +k i -1αi -1+k i +1αi +1+ +k β=0.
假设k =0， 则k 1, , k i -1, k i +1, , k s 不全为零，这与α1, , αi -1, αi +1, , αs 线性无关矛盾，于是k ≠0，于是有
β=-
1
(k 1α1+ +k i -1αi -1+k i +1αi +1+ +k s αs ). k
这表明β可由α1, , αi -1, αi +1, , αs 线性表示，从而与β可由α1, α2, , αs 线性表示且表示的系数全不为零的条件矛盾，故α1, , αi -1, αi +1, , αs , β(i =1,2, , s ) 线性无关．
例10 (2k207-13) 已知向量组β1=(01-1), β2=(a 量组α1=(1
T
β3=(b 10)与向21)，
T
T T
2-3), α2=(3
T
0)1α, 3=(9
T
6-)7具有相同的秩，且β3可由
α1, α2, α3线性表示，求a , b 的值．
解
所以向量组α1, α2, α3线性相关，且秩为2，α1, α2线性无关，α3=3α1+2α2，α1, α2
是它的一个极大无关组．
由于向量组β1, β2, β3与α1, α2, α3具有相同的秩，故β1, β2, β3线性相关，从而
1
a b 21=0.
-110
解得a =3b ． 又β3可由α1, α2, α3线性表示，从而可由α1, α2线性表示，所以α1, α2, β3线性相关，于是
1
2
3b 01=0.
-310
解之得2b -10=0．于是得a =15, b =5．
例11 (02203) 设向量组α1, α2, α3线性无关，向量β1可由α1, α2, α3线性表示，而向量β2
不能由α1, α2, α3线性表示，则对于任意常数k ，必有( )
(A)α1, α2, α3, k β1+β2线性无关； (B) (C)
α1, α2, α3, k β1+β2线性相关；
α1, α2, α3, β1+k β2线性无关；(D) α1, α2, α3, β1+k β2线性相关．
解 选(A)． 显然(B)，(D)是错误的， 因为若成立，则可推出β2可由α1, α2, α3线性表示，与条件矛盾．(C)也是错误的，因为对于k =0的情况显然是错误的．对于A ，设
x 1α1+x 2α2+x 3α3+x 4(k β1+β2) =0，
向量β1可由α1, α2, α3线性表示，即存在不全为零的数λ1, λ2, λ3，使得
β1=λ1α1+λ2α2+λ3α3，
即得到
(x 1+x 4k λ1) α1+(x 2+x 4k λ2) α2+(x 3+x 4k λ3) α3+x 4β2=0.
由条件知x 4=0，这样，对于任意常数k ，均应有x 1=x 2=x 3=0，故(A)是正确的．
例12 求向量组α1=(1, -1,2,4), α2=(0,3,1,2), α3=(3,0,7,14),α4=(1, -1,2,0) 的最大无关组及秩．
解 (1) 逐个选录法． 因为两个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例， 显然
α1, α2线性无关，添加α3，由于α3=3α1+α2，所以α1, α2, α3线性相关，去掉α3．再添
加α4，易知线性无关．故α1, α2, α4是该向量组的最大无关组，从而向量组的秩为3． 从上面的计算可知，逐个选录法求最大无关组，计算量较大，一般很少用． (2) 子式法． 以α1, α2, α3, α4为行向量作矩阵
⎛α1⎫⎛1-1 ⎪ α203
A = ⎪=
α3⎪ 30 ⎪
⎝α4⎭⎝1-14⎫⎪12⎪
. ⎪714⎪20⎭
2
1-1
显然二阶子式D 2==3≠0，包含它的三阶子式有4个，计算知
03
1-14
032=-12≠0. 而包含它的四阶子式就是行列式 1-10
1-103
301-12412
=0.
71420
因此矩阵的秩是3，其最高阶的非零子式所包含的第1，2，4行，即α1, α2, α4为向量组的最大无关组．
(3) 初等变换法． 以向量α1, α2, α3, α4作为列向量构成矩阵
⎛1 -1
A =
2 ⎝4
对A 进行初等行变换进行化简
031⎫
⎪
30-1⎪
. ⎪172⎪
2140⎭
0102
31⎫⎛1
⎪ 10⎪ 0
~⎪ 000
⎪ 2-4⎭⎝0
01003100
1⎫⎪0⎪
=B . ⎪0⎪1⎭
⎛1 -1A =
2 ⎝4031⎫r 2+r 1⎛10
3-2r 1 ⎪r r 30-1⎪4-4r 03~⎪ 01172⎪
2140⎭⎝0231⎫⎛1
⎪ 30⎪ 0
~⎪ 010
⎪ 2-4⎭⎝0
易知B 的第1，2，4列线性无关，为B 的最大无关组． 因此A 的第1，2，4列，即α1, α2, α4为向量组A 的最大无关组．
注 也可以把向量作为行向量，对矩阵作初等列变换来确定最大无关组．
例13设向量组A ：α1, , αs 的秩为r 1， 向量组B ：β1, β2, , βt 的秩为r 2，向量组
C ：α1, , αs , β1, , βt 的秩为r 3，证明
max{r 1, r 2}≤r 3≤r 1+r 2.
并利用该结果证明：R (A +B ) ≤R (A ) +R (B ).
证明 显然向量组A :α1, , αs 可由向量组C 线性表示，因此R (A ) ≤r 3．同理可知，
R (B ) ≤r 3．下证r 3≤r 1+r 2． 设向量组A 的最大无关组为αi 1, αi 2, , αi r ，向量组B 的最
1
大无关组为
βj , βj , , βj ，则向量组C ：α1, , αs , β1, , βt 可由向量组
1
2
r 2
2
r 2
αi , , αi , βj , βj , , βj 线性表示，故
1
r 1
1
R (C ) ≤R {αi , , αi , βj , βj , , βj }≤r 1+r 2.
1r 12r
1
2
因此r 3≤r 1+r 2.
⎛α1⎫⎛β1⎫⎛α1+β1⎫
⎪ ⎪ ⎪αβα+β2⎪2⎪, B = 2⎪，则A +B = 2 设A = ，显然向量组{α1+β1, α2+β2, , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪αβα+βm ⎭⎝m ⎭⎝m ⎭⎝m
αm +βm }可由向量组{α1, , αm , β1, , βm }线性表示，由定理7可知
R {α1+β1,..., αm +βm }≤R {α1, , αm , β1, , βm }≤R {α1, , αm }+R {β1, , βm }.
即R (A +B ) ≤R (A ) +R (B ).
例14 设A 与B 都是m ⨯n 矩阵，证明：矩阵A 与B 等价的充分必要条件是
R (A ) =R (B ) ．
证明 必要性．A 与B 等价的充分必要条件是存在m 阶可逆方阵Q 和n 阶可逆方阵P 使PAQ =B ．由矩阵乘积秩的关系有R (B ) ≤R (A ) ．由A =P BQ 知R (A ) ≤R (B ) ，因此R (A ) =R (B ) ．(或者由初等变换不改变矩阵的秩得出，由本题的证明可知用可逆矩阵左乘或者右乘均不改变矩阵的秩)
充分性．R (A ) =R (B ) =r ， A 和B 的标准形由秩唯一确定，即它们的标准形均为
-1
-1
⎛E
Λ= r
⎝00⎫
⎪， 即A 和B 均和标准形Λ等价， 因此由等价的传递性， 知A 与B 等价．
0⎭
n
例15 设A 是m ⨯n 实矩阵，证明n 维向量的集合N (A ) ={x |Ax =0, x ∈R }构成向量空间．
证 由0∈N (A ) 知N (A ) 非空．对于任意x , y ∈N (A ) 有Ax =0, Ay =0，则有
A (x +y ) =Ax +Ay =0，所以x +y ∈N (A ) ．对于任意x ∈N (A ) ，k ∈R 有A (k x ) =k (Ax ) =k 0=0，所以k x ∈N (A ) ，故N (A ) 是向量空间．
注 称N (A ) 为矩阵A 的零空间或核，它由齐次线性方程组AX =0的全体解向量构成． 例
16 在R
4
中，求α=(1,2,1,1)在基
α1=(1,1,1,1), α2=(1,1, -1, -1) ，
α3=(1,-1,1, -1) ，α4=(1,-1, -1,1) 下的坐标．
分析 求向量在某组基下的坐标，通常采用待定系数法，或者利用坐标变换公式． 解法1． 设α=k 1α1+k 2α2+k 3α3+k 4α4，由向量相等的定义得
⎧k 1+k 2+k 3+k 4=1
⎪k +k -k -k =2⎪1234
. ⎨
⎪k 1-k 2+k 3-k 4=1⎪⎩k 1-k 2-k 3+k 4=1
5111
解此线性方程组，得唯一解k 1=, k 2=, k 3=-, k 4=-，故α在给定基下的坐标为
4444
5111(, , -, -) ． 4444
解法2． 向量α的4个分量可以理解为α在R 的基e 1=(1,0,0,0) ，e 2=(0,1,0,0) ，
4
e 3=(0,0,1,0) ，e 4=(0,0,0,1)下的坐标． 容易求出由基e 1, e 2, e 3, e 4到基α1, α2, α3, α4的
过渡矩阵
⎛1111⎫ ⎪11-1-1⎪. C =
1-11-1⎪ ⎪1-1-11⎝⎭
设α在基α1, α2, α3, α4下的坐标为(y 1, y 2, y 3, y 4) ，则由坐标变换公式求得
⎛y 1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛5/4⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪y 221/412-1⎪. ⎪=C ⎪=C ⎪= y 3⎪ 1⎪4 1⎪ -1/4⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪y 11-1/4⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝4⎭
例17 设R 的两组基为
3
⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛2⎫⎛3⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪(I)α1= 1⎪, α2= 0⎪, α3= 0⎪，(II)β1= 2⎪, β2= 3⎪, β3= 4⎪
1⎪ -1⎪ 1⎪ 1⎪ 4⎪ 3⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
求由基(I)到基(II)的过渡矩阵．
解 取R 的标准正交系基e 1, e 2, e 3，并写出由它到基(I)的过渡矩阵A ，及到基(II)的过渡矩阵B ，
3
⎛111⎫
⎪
(α1, α2, α3) =(e 1, e 2, e 3) 100⎪=(e 1, e 2, e 3) A ,
1-11⎪⎝⎭⎛123⎫ ⎪
(β1, β2, β3) =(e 1, e 2, e 3) 234⎪=(e 1, e 2, e 3) B .
143⎪⎝⎭
因此(β1, β2, β3) =(α1, α2, α3) A -1B ，故由基(I)到基(II)的过渡矩阵为
10⎫⎛123⎫⎛234⎫⎛0
⎪⎪ ⎪-1
C =A B = 1/20-1/2⎪234⎪= 0-10⎪.
1/2-11/2⎪143⎪ -10-1⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
例18 设R
4
的两组基为(I)：
α1, α2, α3, α4; (II) β1=α1+α2+α3，
β2=α2+α3+α4，β3=α3+α4，β4=α4
(1) 求由基(II)到基(I)的过渡矩阵;
(2) 求在基(I)和基(II)下有相同坐标的全体向量．
⎛1
1 解 由定义直接写出由基(I)到基(II)的过渡矩阵C = 1 ⎝0⎛100
-110
渡矩阵为C -1=
0-11
⎝10-1
0⎫⎪0⎪. 0⎪⎪1⎭
01110011
0⎫⎪0⎪，则由基(II)到(I)的过0⎪⎪1⎭
(2)设向量α在基(I)与基(II)下的坐标分别为(x 1, x 2, x 3, x 4) 与(y 1, y 2, y 3, y 4) ，则由坐标变换公式及题设可得
⎛x 1⎫⎛y 1⎫⎛x 1⎫ ⎪ ⎪ ⎪x y x 222
⎪=C ⎪=C ⎪,
x 3⎪ y 3⎪ x 3⎪ ⎪ ⎪ ⎪x y ⎝4⎭⎝4⎭⎝x 4⎭
或者
⎛x 1⎫
⎪x 2
(E -C ) ⎪=0.
x 3⎪ ⎪⎝x 4⎭
该齐次线性方程组的解为(0, 0, 0, k ) T (k ∈R ) ，故在基(I)与基(II)下有相同坐标的全体向量为
α=(0,0,0,k ) T (k ∈R ) ．
四 自测题
1．填空题
(1) 已知向量组α1=(1,1, -1, -1), α2=(1,2, -2,0), α3=(3,4,-4, -2) ，则该向量组的线性相关性是 ．
(2) (87103)已知三维向量空间的一个基为α1=(1,1,0), α2=(1,0,1), α3=(0,1,1) ，则向量
u =(2,0,0)在该基下的坐标是．
(3) 若β=(0,k , k ) 能由α1=(1+k ,1,1), α2=(1,1+k ,1), α3=(1,1,1+k ) 唯一线性表示，则
2
k
(4) (97203)已知向量组α1=(1,2, -1,1), α2=(2,0,t ,0), α3=(0,-4,5, -2) 的秩为2，则
t ．
2．选择题
(1) 设向量组α1, α2, α3线性无关，则下列向量组中线性无关的是( ) A ． C ． D ．
α1+α2, α2+α3, α3-α1； B ． α1+α2, α2+α3, α1+2α2+α3；
α1+2α2,2α2+3α3,3α3+α1；
α1+α2+α3,2α1-3α2+22α3,3α1+5α2-5α3．
(2) 设任一两个n 维向量组α1, α2, , αm 和β1, β2, , βm ，若存在两组不全为零的数
λ1, λ2, , λm 和k 1, k 2, , k m ，使
(λ1+k 1) α1+ +(λm +k m ) αm +(λ1-k 1) β1+ +(λm -k m ) βm =0则( )
A ． B ． C ． D ．
α1, α2, , αm 和β1, β2, , βm 都线性相关； α1, α2, , αm 和β1, β2, , βm 都线性无关； α1+β1, , αm +βm , α1-β1, , αm -βm 线性无关； α1+β1, , αm +βm , α1-β1, , αm -βm 线性相关．
(3) (99103) 设A 为m ⨯n 矩阵，B 是n ⨯m 矩阵，则( ) A ． 当m >n 时，必有行列式|AB |≠0； B ． 当m >n 时，必有行列式|AB |=0； C ． 当n >m 时，必有行列式|AB |≠0； D ． 当n >m 时，必有行列式|AB |=0．
(4) (95403)设矩阵A m ⨯n 的秩为R (A ) =m
α1能由α2, , αn -1线性表示; (2) αn 不能由α1, , αn -1线性表示．
β3与向量组α1=(0,1,1),
4．确定向量β3=(2,a , b ) ， 使向量组β1=(1,2,10), β2=(1,1,1),
α2=(1,2,1), α3=(1,0, -1) 的秩相同， 且β3可由α1, α2, α3线性表示．
5．求下面向量组的一个最大线性无关组
α1=(2,1,3, -1), α2=(3,-1,2,0), α3=(4,2,6,-2), α4=(4,-3,1,1) ，
并将其余向量用该最大线性无关组线性表示．
' ' 6．在V 3中已知从基ε1, ε2, ε3到基ε1' , ε2的过渡阵为 , ε3
⎛100⎫
⎪
P = 121⎪.
224⎪⎝⎭
⎛1⎫⎛1⎫⎛0⎫ ⎪' ⎪' ⎪'
又ε1= 0⎪, ε2= 1⎪, ε3= 0⎪，求ε1, ε2, ε3．
1⎪ 0⎪ 1⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
T T
7．已知R 中的一组基为ε1=(3,0,1)T , ε2=(-1, 2,1) 又从{εi }到{εi ' }的, ε3=(0,-2,3) ,
3
过渡阵为
⎛301⎫
⎪
P = 042⎪.
031⎪⎝⎭
' '
已知α在ε1' , ε2下的坐标为(2,1,1)， 求: , ε3
(1) (2)
α在标准基e 1, e 2, e 3下的坐标; α在ε1, ε2, ε3下的坐标．
8． 判别集合V ={(x 1, x 2, , x n ) |x 1=0}是否构成向量空间，若构成向量空间，求其一个基及维数．
五 自测题答案或提示
1． (1) 线性相关． (2) (1,1,-1) ． (3) k ≠0, k ≠-3． (4) t =3． 2． (1) C． (2) D． (3) D． (4) C．
3． 证明 (1) 因为向量组α1, α2, , αn 中前(n -1) 个向量线性相关，故存在一组不全为零的一组数k 1, k 2, , k n -1使k 1α1+k 2α2+ +k n -1αn -1=0，假设k 1=0，则k 2, , k n -1不全为零，故α2, , αn -1线性相关，这与α2, , αn 线性无关矛盾，即k 1≠0，因此，α1可由
α2, , αn -1线性表示．
(2)反证法：设αn 能由α1, , αn -1线性表示，则因α1能由α2, , αn -1线性表示，故知
αn 能有由α2, , αn -1线性表示， 这与α2, , αn 线性无关矛盾，故知αn 不能由α1, , αn -1
线性表示．
4． β3=(2,, -) ． 5．
7414
α1, α2为最大线性无关组，且α3=2α1, α4=-α1+2α2．
⎛2⎫⎛2⎫⎛-1⎫1 ⎪1 ⎪1 ⎪
6． ε1= -1⎪, ε2= 2⎪, ε3= -1⎪．
3 ⎪3 ⎪6 ⎪2-1⎝⎭⎝⎭⎝2⎭⎛15⎫ ⎪
7． (1) 4⎪, (2)
25⎪⎝⎭
⎛7⎫ ⎪ 6⎪． 4⎪⎝⎭
8． 是，一组基为ε1=(0,1, ,0) T , , εn -1=(0,0, ,1) T ， 维数为n -1．