全等三角形辅助线之截长补短与倍长中线
一．填空题（共1小题） 1．（2015秋•宿迁校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D．若BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC的长是．
二．解答题（共10小题） 2．（2010秋•涵江区期末）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC，AD平分∠BAC交BC于D，求证：AB=AC+CD．
3．如图，AD是△ABC中BC边上的中线，求证：AD＜（AB+AC）．
4．（2013秋•藁城市校级期末）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线，MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．
（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：DE=AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不要证明．
5．已知△ABC中，∠A=60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并说明理由．
6．（2012秋•西城区校级期中）已知：如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，F是CD中点，连BF交AC于点E，∠ABE+∠CEB=180°，判断BD与CE的数量关系，并证明你的结论．
7．（2010秋•丰台区期末）已知：如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是△ABC内的一点，且AD=AC，若∠DAC=30°，试探究BD与CD的数量关系并加以证明．
8．已知点M是等边△ABD中边AB上任意一点（不与A、B重合），作∠DMN=60°，交∠DBA外角平分线于点N． （1）求证：DM=MN；
（2）若点M在AB的延长线上，其余条件不变，结论“DM=MN”是否依然成立？请你画出图形并证明你的结论．
9．（2015春•闵行区期末）如图所示，在正方形ABCD中，M是CD的中点，E是CD上一点，且∠BAE=2∠DAM．求证：AE=BC+CE．
10．已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE．求证：BE+DF=AE．
11．（2010秋•巢湖期中）如图，CE、CB分别是△ABC、△ADC的中线，且AB=AC．求证：CD=2CE．
全等三角形辅助线之截长补短与倍长中线
参考答案与试题解析
一．填空题（共1小题） 1．（2015秋•宿迁校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D．若BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC的长是．
【考点】角平分线的性质． 【专题】计算题．
【分析】作DE⊥AB于E，如图，则DE=6，根据角平分线定理得到DC=DE=6，再由BD：DC=3：2可计算出BD=9，然后利用BC=BD+DC进行计算即可． 【解答】解：作DE⊥AB于E，如图，则DE=6， ∵AD平分∠BAC， ∴DC=DE=6， ∵BD：DC=3：2，
∴BD=×6=9，
∴BC=BD+DC=9+6=15． 故答案为15．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
二．解答题（共10小题） 2．（2010秋•涵江区期末）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC，AD平分∠BAC交BC于D，求证：AB=AC+CD．
【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题．
【分析】利用已知条件，求得∠B=∠E，∠2=∠1，AD=AD，得出△ABD≌△AED（AAS），∴AE=AB．∵AE=AC+CE=AC+CD，∴AB=AC+CD．
【解答】证法一：如答图所示，延长AC，到E使CE=CD，连接DE． ∵∠ACB=90°，AC=BC，CE=CD，
∴∠B=∠CAB=（180°﹣∠ACB）=45°，∠E=∠CDE=45°， ∴∠B=∠E．
∵AD平分∠BAC， ∴∠1=∠2
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（AAS）． ∴AE=AB．
∵AE=AC+CE=AC+CD， ∴AB=AC+CD．
证法二：如答图所示，在AB上 截取AE=AC，连接DE， ∵AD平分∠BAC， ∴∠1=∠2．
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（SAS）． ∴∠AED=∠C=90，CD=ED， 又∵AC=BC， ∴∠B=45°．
∴∠EDB=∠B=45°． ∴DE=BE， ∴CD=BE． ∵AB=AE+BE， ∴AB=AC+CD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；通过SAS的条件证明三角形全等，利用三角形全等得出的结论来求得三角形各边之间的关系．
3．如图，AD是△ABC中BC边上的中线，求证：AD＜（AB+AC）．
【考点】全等三角形的判定与性质；三角形三边关系． 【专题】计算题． 【分析】可延长AD到E，使AD=DE，连BE，则△ACD≌△EBD得BE=AC，进而在△ABE中利用三角形三边关系，证之．
【解答】证明：如图延长AD至E，使AD=DE，连接BE． 在△ACD和△EBD中：
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴AC=BE（全等三角形的对应边相等）， 在△ABE中，由三角形的三边关系
可得AE＜AB+BE，即2AD＜AB+AC， ∴AD＜（AB+AC）．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，能够熟练掌握． 4．（2013秋•藁城市校级期末）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线，MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．
（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：DE=AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不要证明．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 【专题】证明题． 【分析】（1）利用垂直的定义得∠ADC=∠CEB=90°，则根据互余得∠DAC+∠ACD=90°，再根据等角的余角相等得到∠DAC=∠BCE，然后根据“AAS”可判断△ADC≌△CEB，所以CD=BE，AD=CE，再利用等量代换得到DE=AD+BE；
（2）与（1）一样可证明△ADC≌△CEB，则CD=BE，AD=CE，于是有DE=CE﹣CD=AD﹣BE；
（3）与（1）一样可证明△ADC≌△CEB，则CD=BE，AD=CE，于是有DE=CD﹣CE=BE﹣AD． 【解答】（1）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN， ∴∠ADC=∠CEB=90°， ∴∠DAC+∠ACD=90°， ∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=90°， ∴∠DAC=∠BCE， 在△ADC和△CEB，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CD=BE，AD=CE， ∴DE=CE+CD=AD+BE；
（2）证明：与（1）一样可证明△ADC≌△CEB， ∴CD=BE，AD=CE，
∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE； （3）解：DE=BE﹣AD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．
5．已知△ABC中，∠A=60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】在CB上取点G使得CG=CD，可证△BOE≌△BOG，得BE═BG，可证△CDO≌△CGO，得CD=CG，可以求得BE+CD=BC． 【解答】解：在BC上取点G使得CG=CD，
∵∠BOC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣60°）=120°， ∴∠BOE=∠COD=60°， ∵在△COD和△COG中，
，
∴△CODF≌△COG（SAS）， ∴∠COG=∠COD=60°，
∴∠BOG=120°﹣60°=60°=∠BOE， ∵在△BOE和△BOG中，
，
∴△BOE≌△BOG（ASA）， ∴BE=BG，
∴BE+CD=BG+CG=BC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角、对应边相等的性质，本题中求证CD=CG和BE=BG是解题的关键．
6．（2012秋•西城区校级期中）已知：如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，F是CD中点，连BF交AC于点E，∠ABE+∠CEB=180°，判断BD与CE的数量关系，并证明你的结论．
【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】探究型． 【分析】延长BF至点G，使FG=BF，连CG，证△GFC≌△BFD，∠CGF=∠FBD，CG=DB，求出∠CGF=∠CEG，推出CG=CE，即可得出答案． 【解答】结论：BD=CE
证明：延长BF至点G，使FG=BF，连CG， ∵F为CD中点， ∴CF=DF，
在△GFC和△BFD中
∴△GFC≌△BFD（SAS）， ∴∠CGF=∠FBD，CG=DB，
又∵∠ABE+∠CEB=180°，∠CEG+∠CEB=180°， ∴∠CGF=∠CEG， ∴CG=CE， ∴BD=CE．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用． 7．（2010秋•丰台区期末）已知：如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是△ABC内的一点，且AD=AC，若∠DAC=30°，试探究BD与CD的数量关系并加以证明．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质． 【专题】探究型． 【分析】作BE⊥BC，AE⊥AC，两线相交于点E，则四边形AEBC是正方形，由∠DAC=30°，得∠DAE=60°，由AD=AC，得AD=AE，所以，三角形AED是等边三角形，可得∠AED=60°，∠DEB=30°，
所以，△ADC≌△EDB，可得BD=CD； 【解答】解：BD=CD．
证明：作BE⊥BC，AE⊥AC，两线相交于点E， ∵△ABC是等腰直角三角形，即AC=BC， ∴四边形AEBC是正方形， ∵∠DAC=30°， ∴∠DAE=60°， ∵AD=AC， ∴AD=AE，
∴△AED是等边三角形， ∴∠AED=60°， ∴∠DEB=30°， 在△ADC和△EDB中，
∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴BD=CD． 【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，作辅助线构建正方形，通过证明三角形全等得出线段相等，是解答本题的基本思路． 8．已知点M是等边△ABD中边AB上任意一点（不与A、B重合），作∠DMN=60°，交∠DBA外角平分线于点N． （1）求证：DM=MN；
（2）若点M在AB的延长线上，其余条件不变，结论“DM=MN”是否依然成立？请你画出图形并证明你的结论．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 【分析】（1）在AD上截取AF=AM，证明△DFM≌△MBN即可； （2）在AD的延长线上截取AF=AM，证明△DFM≌△MBN即可． 【解答】证明：（1）如图1，在AD上截取AF=AM， ∵△ABD是等边三角形， ∴△AMF是等边三角形， ∴DF=MB，∠DFM=120°， ∵BN是∠DBA外角平分线， ∴∠MBN=120°， ∴∠DFM=∠MBN， ∵∠DMN=60°，
∴∠BMN+∠AMD=120°， ∴∠A=60°，
∴∠FDM+∠AMD=120°，
∴∠FDM=∠BMN， 在△FDM和△BMN中，
，
∴△FDM≌△BMN（ASA）， ∴DM=MN．
（2）点M在AB的延长线上，如图2所示，
在AD的延长线上截取AF=AM， ∵△ABD是等边三角形， ∴△AMF是等边三角形， ∴DF=MB，∠DFM=60°， ∵BN是∠DBA外角平分线， ∴∠MBN=60°， ∴∠DFM=∠MBN，
∵∠BMN=∠AMD+∠DMN，∠FDM=∠A+∠AMD， ∠DMN=∠A=60°， ∴∠FDM=∠BMN， 在△FDM和△BMN中，
，
∴△FDM≌△BMN（ASA）， ∴DM=MN． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，通过辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 9．（2015春•闵行区期末）如图所示，在正方形ABCD中，M是CD的中点，E是CD上一点，且∠BAE=2∠DAM．求证：AE=BC+CE．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题．
【分析】延长AB到F，使BF=CE，连接EF与BC相交于点N，利用“角角边”证明△BFN和△CEN全等，根据全等三角形对应边相等可得BN=CN，EN=FN，再根据正方形的性质可得∠BAN=∠DAM，然后求出∠BAN=∠EAN，再根据等腰三角形三线合一可得AE=AF，从而得证．
【解答】证明：如图，延长AB到F，使BF=CE，连接EF与BC相交于点N， 在△BFN和△CEN中，
，
∴△BFN≌△CEN（AAS），
∴BN=CN，EN=FN，
又∵M是CD的中点，
∴∠BAN=∠DAM，
∵∠BAE=2∠DAM，
∴∠BAN=∠EAN，
∴AN既是△AEF的角平分线也是中线，
∴AE=AF，
∵AF=AB+BF，
∴AE=BC+CE．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，
等腰三角形三线合一的性质，难点在于作辅助线构造
出等腰三角形和全等三角形．
10．已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE．
求证：BE+DF=AE．
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【专题】证明题．
【分析】延长CB到G，使BG=DF，连接AG，由四边形ABCD为正方形，利用正方形的性质得到AB=AD，AB∥CD，∠D=∠ABC=90°，进而得到∠5=∠BAF=∠1+∠3，∠ABG=180°﹣∠ABC=90°，利用SAS得到三角形ABG与三角形ADG全等，利用全等三角形对应角相等得到∠G=∠5，∠1=∠2=∠4，等量代换得到∠G=∠EAG，利用等角对等边得到AE=GE，由GE=BE+BG，等量代换即可得证．
【解答】解：延长CB到G，使BG=DF，连接AG，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，AB∥CD，∠D=∠ABC=90°，
∴∠5=∠BAF=∠1+∠3，∠ABG=180°﹣∠ABC=90°，
在△ABG和△ADG中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠G=∠5，∠1=∠2=∠4，
∴∠G=∠5=∠1+∠3=∠4+∠3=∠EAG，
∴AE=GE=BE+GB=BE+DF．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
11．（2010秋•巢湖期中）如图，CE、CB分别是△ABC、△ADC的中线，且AB=AC．求证：CD=2CE．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】延长CE到F，使CE=EF，连接FB，由△AEC≌△BEF得出对应的边角相等，进而求证△CBF≌△CBD，即可得出结论．
【解答】证明：延长CE到F，使EF=CE，连接FB．
∵CE是△ABC的中线，
∴AE=EB，
又∵∠AEC=∠BEF，
∴△AEC≌△BEF，（SAS）
∴∠A=∠EBF，AC=FB．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠CBD=∠A+∠ACB=∠EBF+∠ABC=∠CBF；
∵CB是△ADC的中线，
∴AB=BD，
又∵AB=AC，AC=FB，
∴FB=BD，
又CB=CB，
∴△CBF≌△CBD（SAS），
∴CD=CF=CE+EF=2CE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质．解决此题的关键是通过延长中线构造全等三角形．
考点卡片
1．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
2．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
3．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴
CD=CE
4．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
5．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
6．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r=1，则外接圆的半径R=2+1，所以r：R=1：2+1．
7．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．