§16.3 建立数学模型的方法、步骤、特点及分类
[学习目标]
1.能表述建立数学模型的方法、步骤；
2.能表述建立数学模型的逼真性、可行性、渐进性、强健性、可转移性、非预制性、条理性、技艺性和局限性等特点；；
3.能表述数学建模的分类；
4.会采用灵活的表述方法建立数学模型；
5.培养建模的想象力和洞察力。
一、建立数学模型的方法和步骤
—般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义.§16.2节的示例都属于机理分析方法。测试分折将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输人输出数据、并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。这种方法称为系统辨识(System Identification)．将这两种方法结合起来也是常用的建模方法。即用机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模型的参数．
可以看出，用上面的哪一类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的决定的．如果掌握了机理方面的一定知识，模型也要求具有反映内部特性的物理意义。那么应该以机理分析方法为主．当然,若需要模型参数的具体数值，还可以用系统辨识或其他统计方法得到．如果对象的内部机理基本上没掌握，模型也不用于分析内部特性,譬如仅用来做输出预报，则可以系统辩识方法为主．系统辨识是一门专门学科，需要一定的控制理论和随机过程方面的知识．以下所谓建模方法只指机理分析。
建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关，从 §16.2节的几个例子也可以看出这点．下面给出建模的—般步骤，如图16-5所示．
图16-5 建模步骤示意图
模型准备 首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料.
模型假设 根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，可以说是建模的关键一步．一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设会得到不同的模型．假设作得不合理或过份简单，会导致模型失败或部分失败，于是应该修改和补充假设；假设作得过分详细，试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，可能使你很难甚至无法继续下一步的工作．通常，作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对数据或现象的分析，也可以是二者的综合．作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力
和判断力，善于辨别问题的主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线性化、均匀化．经验在这里也常起重要作用．写出假设时，语言要精确，就象做习题时写出已知条件那样．
模型构成 根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量(常量和变量)之间的等式(或不等式)关系或其他数学结构．这里除需要一些相关学科的专门知识外，还常常需要较广阔的应用数学方面的知识，以开拓思路.当然不能要求对数学学科门门精通,而是要知道这些学科能解决哪一类问题以及大体上怎样解决．相似类比法，即根据不同对象的某些相似性，借用已知领域的数学模型，也是构造模型的一种方法．建模时还应遵循的一个原则是，尽量采用简单的数学工具，因为你建立的模型总是希望能有更多的人了解和使用,而不是只供少数专家欣赏.
模型求解 可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值计算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术．
模型分析 对模型解答进行数学上的分析，有时要根据问题的性质分析变量间的依赖关系或稳定状况，有时是根据所得结果给出数学上的预报，有时则可能要给出数学上的最优决策或控制，不论哪种情况还常常需要进行误差分析、模型对数据的稳定性或灵敏性分析等．
模型检验 把数学上分析的结果翻译回到实际问题，并用实际的现象、数据与之比较，检验模型的合理性和适用性．这一步对于建模的成败是非常重要的，要以严肃认真的态度来对待．当然，有些模型如核战争模型就不可能要求接受实际的检验了．模型检验的结果如果不符合或者部分不符合实际，问题通常出在模型假设上，应该修改、补充假设，重新建模．有些模型要经过几次反复，不断完善，直到检验结果获得某种程度上的满意．
模型应用 应用的方式自然取决于问题的性质和建模的目的，这方面的内容不是本书讨论的范围。
应当指出，并不是所有建模过程都要经过这些步骤，有时各步骤之间的界限也不那么分明．建模时不应拘泥于形式上的按部就班，本书的建模实例就采取了灵活的表述方式．
二、数学模型的特点
我们已经看到建模是利用数学工具解决实际问题的重要手段。数学模型有许多优点，也有弱点。建模需要相当丰富的知识、经验和各方面的能力，同时应注意掌握分寸．下面归纳出数学模型的若干特点，以期在学习过程中逐步领会．
模型的逼真性和可行性 一般说来总是希望模型尽可能逼近研究对象，但是一个非常逼真的模型在数学上常常是难于处理的，因而不容易达到通过建模对现实对象进行分析、预报、决策或者控制的目的，即实用上不可行．另一方面，越逼真的模型常常越复杂，即使数学上能处理，这样的模型应用时所需要的“费用”也相当高，而高“费用”不一定与复杂模型取得的“效益”相匹配．所以建模时往往需要在模型的逼真性与可行性，“费用”与“效益”之间做出折衷和抉择．
模型的渐进性 稍微复杂一些的实际问题的建模通常不可能一次成功，要经过上一节描述的建模过程的反复迭代，包括由简到繁，也包括删繁就简，以获得越来越满意的模型．在科学发展过程中随着人们认识和实践能力的提高，各门学科中的数学模型也存在着一个不断完善或者推陈出新的过程．从19世纪力学、热学、电学等许多学科由牛顿力学的模型主宰，到20世纪爱因斯坦相对论模型的建立，是模型渐进性的明显例证．
模型的强健性 模型的结构和参数常常是由对象的信息如观测数据确定的，而观测数据是允许有误差的．一个好的模型应该具有下述意义的强健性：当观测数据(或其他信息)有微小改变时，模型结构和参数只有微小变化，并且一般也应导致模型求解的结果有微小变化．
模型的可转移性 模型是现实对象抽象化、理想化的产物，它不为对象的所属领域所独有，可以转移到另外的领域．在生态、经济、社会等领域内建模就常常借用物理领域中的模型．模型的这种性质显示了它的应用的极端广泛性．
模型的非预制性 虽然已经发展了许多应用广泛的模型，但是实际问题是各种各样、变化万千的，不可能要求把各种模型做成预制品供你在建模时使用。模型的这种非预制性使得建模本身常常是事先没有答案的问题(Open—end problem)．在建立新的模型的过程中甚至会伴随着新的数学方法或数学概念的产生．
模型的条理性 从建模的角度考虑问题可以促使人们对现实对象的分析更全面、更深入、
更具条理性，这样即使建立的模型由于种种原因尚未达到实用的程度，对问题的研究也是有利的。
模型的技艺性 建模的方法与其他一些数学方法如方程解法、规划解法等是根本不同的，无法归纳出若干条普遍适用的建模准则和技巧．有入说。建模目前与其是一门技术、不如说是一种艺术．是技艺性很强的技巧．经验、想象力、洞察力、判断力以及直觉、灵感等在建模过程中起的作用往往比一些具体的数学知识更大．
模型的局限性 这里有几方面的含义．第一，由数学模型得到的结论虽然具有通用性和精确性，但是因为模型是现实对象简化、理想化的产物，所以一旦将模型的结论应用于实际问题，就回到了现实世界，那些被忽视、简化的因素必须考虑，于是结论的通用性和精确性只是相对的和近似的．第二，由于人们认识能力和科学技术包括数学本身发展水平的限制，还有不少实际问题很难得到有着实用价值的数学模型．如一些内部机理复杂、影响因素众多、测量手段不够完善、技艺性较强的生产过程，像生铁冶炼过程，需要开发专家系统，与建立数学模型相结合才能获得较满意的应用效果．专家系统是一种计算机软件系统，它总结专家的知识和经验，模拟人类的逻辑思维过程，建立若干规则和推理途径，主要是定性地分析各种实际现象并做出判断．专家系统可以看成计算机模拟的新发展．第三，还有些领域中的问题今天尚未发展到用建模方法寻求数量规律的阶段，如中医诊断过程，目前所谓计算机辅助诊断也是属于总结著名中医的丰富临床经验的专家系统．
建模过程是一种创造性思维过程，除了想象、洞察、判断这些属于形象思维、逻辑思维范畴的能力之外，直觉和灵感往往也起着不可忽视的作用。当由于各种限制利用已有知识难以对研究对象做出有效的推理和判断时，凭借相似、类比、猜测、外推等思维方式及不完整、不连续、不严密的，带启发性的直觉和灵感，去“战略性”地认识对象，是人类创造性思维的特点之一，也是人脑比按程序逻辑工作的计算机、机器人的高明之处．历史上不乏在科学家的直觉和灵感的火花中诞生的假说、论证和定律．当然，直觉和灵感不是凭空产生的，它要求人们具有丰富的背景知识，对问题进行反复思考和艰苦探索，对各种思维方法运用娴熟．相互讨论和思想交锋，特别是不同专业的成员之间的探讨，是激发直觉和灵感的重要因素．所以由各种专门人才组成的所谓团队工作方式(Team work)越来越受到重视．
前面说过，建模可以看成一门艺术．艺术在某种意义下是无法归纳出几条准则或方法的．一名出色的艺术家需要大量的观摩和前辈的指教，更需要亲身的实践．类似地，掌握建模这门艺术培养想象力和洞察力，一要大量阅读、思考别人做过的模型，二要亲自动手，认真做几个实际题目．
三、数学模型的分类
数学模型可以按照不同的方式分类，下面介绍常用的几种．
1.按照模型的应用领域(或所属学科)分．如人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型等．范畴更大一些则形成许多边缘学科如生物数学、医学数学、地质数学、数量经济学、数学社会学等．
2.按照建立模型的数学方法(或所属数学分支)分．如初等数学模型、几何模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型、规划论模型等．
按第一种方法分类的数学模型教科书中，着重于某一专门领域中用不同方法建立模型，而按第二种方法分类的书里，是用属于不同领域的现成的数学模型来解释某种数学技巧的应用．在本书中我们重点放在如何应用读者已具备的基本数学知识在各个不同领域中建模．
3.按照模型的表现特性又有几种分法：
确定性模型和随机性模型 取决于是否考虑随机因素的影响．近年来随着数学的发展，又有所谓突变性模型和模糊性模型．
静态模型和动态模型 取决于是否考虑时间因素引起的变化．
线性模型和非线性模型 取决于模型的基本关系，如微分方程是否是线性的．
离散模型和连续模型 指模型中的变量(主要是时间变量)取为离散还是连续的．
虽然从本质上讲大多数实际问题是随机性的、动态的、非线性的，但是由于确定性、静态、线性模型容易处理，并且往往可以作为初步的近似来解决问题，所以建模时常先考虑确定性、静态、线性模型．连续模型便于利用微积分方法求解，作理论分析，而离散模型便于在计算机上作数值计算，所以用哪种模型要看具体问题而定．在具体的建模过程中将连续模型离散化，或将离
散变量视作连续，也是常采用的方法．
4.按照建模目的分．有描述模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等．
5.按照对模型结构的了解程度分．有所谓白箱模型、灰箱模型、黑箱模型．这是把研究对象比喻成一只箱子里的机关，要通过建模来揭示它的奥妙．白箱主要包括用力学、热学、电学等一些机理相当清楚的学科描述的现象以及相应的工程技术问题，这方面的模型大多已经基本确定，还需深入研究的主要是优化设计和控制等问题了．灰箱主要指生态、气象、经济、交通等领域中机理尚不十分清楚的现象，在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做．至于黑箱则主要指生命科学和社会科学等领域中一些机理(数量关系方面)很不清楚的现象．有些工程技术问题虽然主要基于物理、化学原理，但由于因素众多、关系复杂和观测困难等原因也常作为灰箱或黑箱模型处理．当然，白、灰、黑之间并没有明显的界限，而且随着科学技术的发展，箱子的“颜色”必然是逐渐由暗变亮的．
习题16.3
为了培养想象力、洞察力和判断力，考察对象时除了从正面分析外还常常需要从侧面或反面思考．试尽可能迅速地回答下面的问题：
1、某甲早8时从山下旅店出发沿一条路径上山，下午5时到达山顶并留宿．次日早8时沿同一路径下山，下午5时回到旅店．某乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点．为什么?
2、37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结束。问共需进行多少场比赛?
3、甲乙两站之间有电车相通,每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车,但发车时刻不—定相同，甲乙之间有一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站、并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站,仅约10天到达乙站．问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的?
4、某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于6时抵达T市车站，他的妻子驾车准时到车站接他回家．一日他提前下班搭早一班火车于5时半抵T市车站,随即步行回家，他的妻子像往常一样驾车前来，在半路上遇到他接回家时，发现比往常提前了10分钟．问他步行了多长时间?
5、一男孩和一女孩分别在离家2千米和1千米且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以4千米／小时和2千米／小时的速度步行回家.—小狗以6千米／小时的速度由男孩处奔向女孩，又从女孩处奔向男孩，如此往返直至回到家中，问小狗奔波了多少路程?
如果男孩和女孩上学时小狗也往返奔波在他们之间。问当他们到达学校时小狗在何处?