均值不等式探讨
学院：数计院 班级：11数本3班 姓名：田虎 学号：2011224334
一、均值不等式的认识
不等式在数学各个领域和科学技术中都是不可缺少的基本工具，而均值不等式是重中之重。人民教育出版社出版的全日制普通高级中学教科书数学第二册第六章第二节说明, 如果a 、b
a+b
是正数, 那么2
≥ ab, 当且仅当a = b时取“ = ”号。
即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。这个不等式, 我们通常把它称为均值不等式。对均值不等式的深刻理解和掌握, 弄清楚其运用条件, 便能在解题中快速找到突破口, 进而找到正确解决问题的方法。最值问题一直都是高考试题中的一个热点，几乎年年都有所涉及。在解题的过程中，不难发现关于解最大值、最小值的问题绝大多数都可以转化成解不等式问题。使用均值不等式求最值简单，快捷，方便。而且均值不等式为重要不等式的研究提供了重要依据。
二、使用均值不等试的条件
条件一：在所求最值的代数式中，各项都是正数，否则变号转换；
条件二：各变数的和或积要为常数，以确保不等式的一边为定值，否则执行拆项或添项变形；
条件三：各变项必须有相等的可能。 简称：一正，二定，三相等。 例1. 若x.>0，求f (x )=5x +
解：5x +
5
的最小值。 x
55
≥25x ∙=225=10 x x
∴f （x ）的最小值是10.
5
变式：若x
x
解：5x +
5⎛5⎫5=- -5x +⎪≤-2-5x ∙=-225=-10 x ⎝-x ⎭-x
∴f （x ）的最大值是-10.
B B
小结：①形如f (x )=Ax +（x ≠0，A 与同号）的函数的最值可以用基本不
Cx C
等式求最值。
②利用基本不等式求最值时，各项都是正数，否则变号转换。
5⎫1
例2、
求函数y =
2⎭2
解析 注意到2 x - 1 与5 - 2 x 的和为定值
,
y 2=
2
=4+4+(2x -1)+(5-2x )=8.
3
时取“ = ”
2
又y > 0 ,所以0
总之, 我们利用均值不等式求最值时, 一定要注意“一正二定三相等”, 同时还要注意一些变形技巧, 积极创造条件利用均值不等式. 三、均值不等式应用错例分析
均值不等式在初等数学中有着非常重要而广泛的应用, 然而学生往往对均值不等式“一正, 二定, 三相等”这个条件理解不透或运用不慎, 出现下面常见的错误。
1>、 漏记“一正”条件致误
a 1+a 2+x 4+27
例1: 求函数y =的值域。
在均值不等式a
n x 3
+a n
≥
,
n ∈N , a i >0, i ∈N
x 4+272711127错解:
y ==x +=x +x +x +≥4⋅=4
x 3x 3333x 3故得结论: y∈[4,+∞)
127
上述解法中, 仅仅具备了相等、定值这两个条件, x , 3是否均为正数呢?
3x
因为函数的定义域为( - ∞, 0)U( 0, +∞) , 显然, “一正”条件不够充分的情况下, 贸然使用均值不等式, 得出不完全正确的结论。所以在运用公式前, 应先检查公式的条件是不是已满足, 若不满足, 应创造条件应用公式或改用其它途径去解决问题。
127
解: 当x>0 时, x , 3可以满足“一正, 二定, 三相等”可得y ≥4
3x
-x )+27(x 4+27
当x
x (-x )
4
奇函数的性质可得y ≤- 4所以原函数的值域为( - ∞, - 4)U[4, +∞) 2>、疏忽都相等致误
⎛1⎫⎛1⎫
例2: 已知a>0 b>0 a+b=1 求函数S = 2-1⎪2-1⎪的最小值。
⎝a ⎭⎝b ⎭
错解:
2
⎤⎡(
a +b )2⎤2ab +b 22ab +a 2⎛2b b 2⎫⎛2a a 2⎫ ⎛1⎫⎛1⎫⎡(a +b )S = 2-1⎪2-1⎪=⎢-1⎥⎢-1⎥=+= +2⎪+2⎪≥82222a b ⎝a ⎭⎝b ⎭⎢⎥⎥⎝a a ⎭⎝b b ⎭⎣a ⎦⎢⎣b ⎦
故, S 取得最大值8
根据均值不等式取等号的充分必要条件是每个数皆相等, 否则
:
a 1+a 2+
n
+a n
>2b b 22a a 2
=, =
a a 2b b 2
则: 2a=b,2b=a,从而a=b=0 这与已知a>0, b>0,a+b=1 相矛盾, 所以S min ≠8
⎫222⎛1⎫⎛1
事实上: S = 2-1⎪ -1=+1≥+1=+1=9 ⎪222
⎪⎝a ⎭⎝(1-a )⎛a +(1-a )⎫⎛1⎫⎭a 1-a ⎪ ⎪
⎝2⎭2⎝⎭
11
其中等号在a =1-a =时取到。故当a=b=时, S 取得最小值9。
223>、忽视均值不等式中的等号成立条件致错
例2
求y =
22的最小值。
2错解
, y ===≥=2所
以y 的最小值是2。
评注在y ≥2 中,
=所以等号不成立, 故y 的最小值不是2。
正确解
因y =1
,
令t =, 则y =t +(t≥2) , 易证
t , 即x 2=-3, 这是不可能的,
11
y =t +在[2,+∞) 上递增, 所以y 的最小值是2+, 当且仅当t=2 时, 即
t 2
=2, x=0, 取“ =”号。 四、均值不等式的推广
均值不等式在不等式理论中处于核心地位, 是现代分析数学中应用最广泛的不等式之一. 巧妙地应用此不等式在求最值, 比较大小, 证明不等式等各方面都可得到较为理想的解法. 均值不等式的推广是均值不等式的延伸, 也是解题的重要依据之一.
定理A(均值不等式) 设a 1, a 2和平均有
:
n
≤111+... a 1a 2a n
, a n 为n 个正数, 则其算术平均, 几何平均与调
a 1+a 2+
n
+a n
引理(Jensen 不等式）若函数f 在区间I 上存在二阶导数, 且∀x ∈I
⎛n ⎫n
有f"(x)≥0, 则有f ∑q i x i ⎪≤∑q i f (x i )其中xi ∈I,qi >0,i=1,2,„,n, 且
⎝i =1⎭i =1
∑q =1,当且仅当x1 q1=x2 q2=„=xnqn 时等号成立; 若f"(x)≤0, 不等式反号.
i i =1
n
例题、(第 24届全苏数学竞赛题) 如果正数x 1, x 2, , x n 的和为1，则
x n -12x n 2x 12x 221
++
... ++≥ x 1+x 2x 2+x 3x n
-1+x n x n +x 12
证明 作nx2长方形表:
由(*)式，得
x 1+x 2++x n
≥
2n 注意到x 1+x 2++x n =1，将上述不等式两边平方，整理，即得
x n -12x n 2x 12x 221
++... ++≥ x 1+x 2x 2+x 3x n -1+x n x n +x 12五、总结
均值不等式的功能在于“积和互化”，若所证不等式可整理成一边是和，一 边是积的形式，则考虑使用均值不等式；若对于所给的“和式”中各项的“积”为定值，则“和”有最小值；对于所给的“积式”中各项的“和”为定值，则积有最大值。
利用均值不等式求函数的最值问题必须具备三个条件： 各项都是正数； 和或积为定值； 各项能取得相等的值。