高等数学研究
ＳＴＵＤＩＥＳＩＮＣ（）ＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＶ０１．１ｌ。Ｎｏ．６ＮＯＶ．。２００８
改进的定积分中值定理在解题中的应用。
赵旭波李，Ｊ、平（中国石油大学（华东）数学与计算科学学院山东东营２５７０６１）
摘要传统的定积分中值定理对“ｒ的范围限定在闭区间上．事实上．。ｒ的取值范围可改进为限定在开区间内．利用改进的定积分中值定理．可使某些极限题目的求解更简便．快捷；对某些证明题目能得到更强的结论．而同样的题目．借用传统的定积分中值定理未必能够完成求解或论证．
关键词定积分；中值定理；开区间．中图分类号０１７２．２。
定积分中值定理是高等数学中重要的定理之一．它在微积分理论研究和实际应用中都占有重要作用．大多数工科高等数学教材给出定理内容如下［¨：
定理１如果函数，（ｚ）在闭区间［口．６］上连续，则至少存在一个点ｅ∈［口，阳，使下式成立：
Ｉ厂（工）ｄｚ一厂（车）（６一“）．（口≤≤ｅ≤≤６）．
这里ｅ是在闭区间［口．６］中，用此定理证明问题时有不便之处．
事实上，上述定积分中值定理可改进为；
定理１７设函数，（ｚ）在闭区间［ｃｃ，６］上连续．则至少存在一个点搴∈（ｎ，６）．使
Ｉｆ（ｘ）ｄｘ＝厂（ｅ）（６一口）．（口＜搴＜６）．
该结论的证明可参看文［１］第２３９页例６．下面给出改进的定积分中值定理在数学解题中的应用．特别地，在某些求极限问题中．利用改进的定积分中值定理可使问题求解大为简化．
例１求极限：
．，ｐ”Ｊ（１）ｌｉｍｆ号ｓｉｎ＇ｘｄｘｔ－ｎ’墅ｒｏ（２）．ｏ赢如。（２）ｌｉｒａ］九』≥也１牟．，７
文［２］用了定积分的不等式性质及夹逼定理给出如下解答：
解法一［２３（１）任给ｅ＞０，不妨设０＜Ｅ＜－兀５－．则
，；ｓｉｎ。ｚｄｚ＝．ｆ；一号ｓｉｎｌｚｄ工＋，：一号ｓｉｎ。工出≤．ｆ；一专ｓｉｎ。ｃ号一－争，ｄｚ＋，：一考ｌｄｘ≤
（号一号）ｓｉｎ＂（号一号）＋号．
由于ｏ＜ｓｉｎ（詈一号）＜１・所以当ｎ－－ｔｂＯＯ时・（号一号）ｓ时（号一号）一０・故存在Ｎ＞０，当刀＞Ｎ时，（詈一号）ｓｉｎＩ（詈一号）＜号，从而Ｊ：ｓｉｎ＿ｘｄｘ＜ｅ・即
ｌｉｍｌ‘ｓｉｎ。ｘｄｘ＝０．
－收稿１３期：ｚ００８—０１—２０．修改１３期；２００８—０７—１５．基金项目ｔ中国石油大学（华东）高等敷学教学现状分析研究（编号Ｂｋ—Ｂ２００６４Ｚ）．
第１１卷第６期赵旭波。李小平：改进的定积分中值定理在解题中的应用２７
（２）因。≤ｆｒ≠丢如≤ｆｚ”ｄ工＝才ｂ一。（当拧一ｏ。）．由夹逼定理可得，
！ｉｍｆ：南扣。・ｏｌ＋√工
上述两题用改进的定积分中值定理求解非常简单．
解法二（１）ｌｉｒａ
（２）
一“ｈ１＋０ｌｉｍｆｌ—｝Ｆｄｚ：ｌｉｍ乓：ｏ，其中已与咒有关，且毛∈（ｏ，１）．。Ｉ２ｓｉｎ。ｘｄｘ＝ｌｉｍｓｉｎ”车。・吾＝ｏ，其中毛与行有关，且＆∈（ｏ，詈）．
ｚ一。１＋０∈。
注意．上例不能使用定理１证明，因为若不排除已取端点值情况，则极限值不能确定．
利用例１的结论，很容易推得
竺１丽。ｉ，。Ｊ。５ｌｉｍ粤三尝；一２ｌｉｍｒｌｉｍ黑二等一ｌｉｍｆ亏ｓｉｎ＂州ｚ如：０；燥西再ｊ而一！翼Ｊ。８…ｚ血２；ｓｉｎ２．ｘｄｘ：０．２・．
记ｚ．＝锗＝Ｌ募奢譬毒妄｛黜．显然，ｚ计ｔ—ｚ。・丽２ｎ＋１２““。（２ｎ）Ｊ，一些辅导书对上述极限的求解方案如下‘”：‘×４×６
极限存在准则知，ｌｉｍｘ．存在．注意到
ｉ１一熹１ｚ。×３熹５等揣２＞丛巡２普４去６轰击２掣ｎ××…×（２ｎ）。一““’“”‘“”＜ｚ。，且ｚ。＞ｏ，由ｖ’…２行＋２、“”一“。７×…Ｊ×（打一１）一一×××…×（）～㈣Ⅷ。一。…’…’
即ｚ一２＜西高了，所以。＜ｚ一＜。７麦青，由夹逼定理知墅ｚ一一。・
关于例１的解法二显示了改进的定积分中值定理在计算某些类型极限的优势，而在一些综合计算题中它的这种优势更加明显．
例２［３１
广』设Ｌ＝ｆ南如一ｆｘ１
‘ｓｉｎ＇ｘ如（行一１，２，…），求数翔极限！受Ｌ・其中口是函数厂（ｚ）一Ｉｃｏｓ÷ｄｆ在点ｚ＝０处的导数．Ｊ０
分析
解文［３］在求出口＝／（ｏ）＝０之后，借用了数列的单调有界原理及夹逼定理来进行证假定Ⅱ＝０已求出，则明，过于繁琐．此不复述，以下利用定理１７进行求解．一ｌｉｒａ。Ｉ一２墅ｃ』：者≥ｄｚ一卜ｓｉｎ州工卜…ｌｉｍ（忐一删ｎ～㈦＝。＋。＝。，其中＆∈（０，１），协∈（Ｏ。＇ｒ）．
另外，在一些可以利用定理１证明的题目中，改用定理１７可使所得的结果更好，而有些题必须用定理１７证明，改用定理１则证明不了．下面各举一例：
例３设函数厂（ｚ）在［０，＋ｏ。）上连续，严格单增目．厂（Ｏ）≥ｏ，试证函数
ＦＴ）＝●一ｚｆ丫
叽￡）ｄ￡ｚ＞０，ｚ５０．
（下转第３０页）在ｒＬＯ＋∞、，上单阔不减，～ｎ＞０Ｌ
３０高等数学研究２００８年１１月关，推出Ｎｅｗｔｏｎ－Ｌｅｉｂｎｉｚ定理．用最常见的、易于获得原函数的被积函数举例．
不必专章学习“不定积分”方法与技巧，仅用２～４学时专题介绍原函数的一些求法．
可参考的做法如［９］在积分之后以简短篇幅介绍求原函数技术；［１０－］在提出不定积分概念后紧接着讲述积分与Ｎｅｗｔｏｎ－Ｌｅｉｂｎｉｚ定理；Ｅ７］用第２０９—２１５页篇幅讲述不定积分，之后即介绍常微分方程概念及简单问题，这样不定积分的用处立即显现．
“不定积分”内容减少后，可适当加强积分数值计算内容，介绍计算误差分析、有关数学软件应用，特别是用实例将数值计算结果与Ｎｅｗｔｏｎ—Ｌｅｉｂｎｉｚ定理计算结果进行比较．
参考文献
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・ｏ●＜＞●ｏ●，００，０９，０５，０００●ｏ●‘＞●ｏ●‘＞●＜，ｏ‘ｏ－●，００‘，●’ｏ，●１９●・夺●＂００●‘Ｃ＇●ｏ●・ｏ●ｏ●ｏ●●，●●：・●‘＇●ｏ●・，●‘》●‘）．●（上接幂２７页）
证明易证Ｆ（工）在［ｏ，＋ｏｏ）上连续．，２７＞０时，
Ｆ７（ｚ）＝——————＜旦——一＝生上∑型——Ｌ世．Ｆ，。，，：三二：！！三：二』！：：！！：：！：：兰：』！兰！＝￡』！生！
ｚ。ｚ
因厂（ｚ）在［ｏ，＋ｏｏ－）上严格单增．故由定理１知，拿∈［ｏ，ｚ］得Ｆ，（ｚ）≥０。所以Ｆ（ｚ）在［ｏ，＋ｏｏ）上单调不减．而由定理１７知，ｅ∈（ｏ．ｚ）得Ｆ７（ｚ）＞０，所以Ｆ（ｚ）在［ｏ，＋ｏｏ）上严格单增．
例４设，（ｚ）在［口－６］上连续，在（口・６）内可导，且Ｆｌ＿Ｊ。厂（ｚ）妇２厂（６）・证明在（口・６）内至少存在一点ｅ．使／（ｅ）＝０成立．
证明由定理１７知，ｌｆ（ｚ）ｄｘ＝ｆ（ｒ１）（６一口），７∈（口，６）．故有ｆ（ＴＩ）＝厂（６）．在［７・加应用罗尔定理。即可证得结论．
此题用定理１证明不了，当然还有其它证明方法。如作相关的辅助函数，这里不再展开说明．
参考文献
［１］同济大学应用数学系．高等数学（上）［Ｍ］．第五版．北京：高等教育出版社・２００２．
［２］裴礼文．数学分析中的典型问题与方法［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９３．［３］陈文灯，陈启浩．高等数学综合题解析［Ｍ］．北京：中国铁道出版社。２００５．
改进的定积分中值定理在解题中的应用
作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：
被引用次数：赵旭波， 李小平中国石油大学(华东)数学与计算科学学院,山东东营,257061高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS2008，11(6)0次
参考文献(3条)
1. 同济大学应用数学系 高等数学(上) 2002
2. 裴礼文 数学分析中的典型问题与方法 1993
3. 陈文灯. 陈启浩 高等数学综合题解析 2005
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下载时间：2010年8月6日