求函数值域的几种常用方法
一、直接观察法
这是最基本的方法，通过对函数的定义域及其对应关系的观察分析，求函数的值域。
则其反函数为：y =log 1
1-x
1+x 2
1
的值域。 x 1
解： x ≠0 ，∴ ≠0
x
例1 求函数y =
显然函数的值域是：（ -∞，0 ）∪（0 ，+∞）. 例2 求函数y = 3 -x 的值域。
解： x ≥0 ∴- x ≤0 3 -x ≤3 故函数的值域是：(-∞,3] .
由
1-x
>0，知-1
故所求函数的值域为：(-1,1) .
注：本题还可以利用函数的有界性法，把原函数式变形为：() =
12
x
1-y
>0同样达到目的。 1+y
三、配方法
配方法是求二次函数（即形如
f (x ) =ag 2(x ) +bg (x ) +c 的函数）值域最基本的
方法之一。
例5 求函数y =x -2x + 5，x ∈[-1，2]的值域。 解：将函数配方得：y =（x -1）+ 4，
2
二、反函数法
当一个函数存在反函数又便于求其反函数时，可以通过求原函数的定义域来确定反函数的值域。 例3 求函数y =
2
3x +4
值域。
5x +6
4-6y
解：由原函数式可得：x =，
5y -34-6x
5x -33
其定义域为：x ≠，
5
33
故所求函数的值域为：(-∞, ) ⋃(, +∞) .
55
则其反函数为：y =
注：本题还可以用分离系数法，把原函数式变形为：
x ∈[-1，2]， 由二次函数的性质可知：
当x = 1时，y min = 4 ， 当x = - 1，时y m a x = 8 ， 故函数的值域是：[ 4 ，8 ].
例6
求函数y 的值域。 解：
将函数变形为：y =故函数的值域是：[ 0 ，
2
3
]. 2
32+同样达到目的。 525x +30
11-() x
值域。 例4 求函数y =
11+() x
2y =
解：由原函数式可得：x =log 1
例7 求函数y =sin x -2sin x +2(-的值域。
π
4
≤x ≤π)
解：将函数配方得：y =(sinx -1) +1，
2
1-y
，
21+y
26
-
π
4
≤x ≤π，≤sin x ≤1
但此时的函数的定义域由x （2 - x ）≥0，得： 0≤ x ≤2。由△≥0，仅保证关于x 的方程： 2x 2-2（ y +1）x + y =0在实数集R 有实根，而
2
当sin x =
5y max =
2当sin x =1时，y min =1
不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程
（1）有实根，由△≥0求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域
为
5
故函数的值域是：[1,+.
2
[1。可以采取如下方法进一步确定原
函数的值域。
0≤x ≤2，∴y = x +x (2-x ) ≥0，
把y min =0代入方程（1），解得： x =0∈[0,2]，
把y =11），解得：
四、判别式法
a 1x 2+b 1x +c 1
形如y =的(a 1, a 2不同时为0）
a 2x 2+b 2x +c 2
函数的值域通常用此法求解，把函数转化为关于x （或关于x 的某个代数式）的二次方程，通过方程有实根，△≥0，从而求得函数的值域。
2+x =[0,2]
2∴原函数的值域为：[0，1+2].
注：在这里，需要注意两个问题：一是要讨论二次项系数是否为0，因为二次项系数为0时方程（※）不再是一元二次方程，当然不能用判别式判定其是否有实数根。二是要注意函数的定义域是否为实数集，因为判别式是判定一元二次方程在整个实数集上（而不是在它的子集合内）是否有解；若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
x -1
的值域。 2
x -2x +3x -1
解：由y =2得：
x -2x +3
例8 求函数 y =
yx 2-(2y +1) x +3y +1=0（※）
当y ≠0时，为使方程（※）有实根， 必须且只需
2
△=[-(2y +1) ]-4y (3y +1) =-8y +1≥0
2
五、利用函数的有界性法
解得 -
22
≤y ≤
44
函数式中含有正弦或余弦函数及指数式时，不
妨利用此法。
当y =0时, 方程（※）有实根x =1
⎡22⎤-, 因此，函数的值域是⎢⎥. 44⎣⎦
例9 求函数y = x +x (2-x ) 的值域。
解：两边平方整理得：2x -2（y +1）x + y =0（1）
2
e x -1
例10 求函数y = x 的值域。
e +1
解：由原函数式可得：e =
x
y +1
， 1-y
2
e ＞0，∴
x
y +1
＞0 1-y
x ∈R ，∴△=4（y +1）2-8 y ≥0
解得：1-2≤ y ≤1+2
27
解得：- 1＜y ＜1，
故所求函数的值域为( - 1 , 1 ) .
例11 求函数y =
2-sin x
的值域
2+sin x
单调递增（或递减）函数；2、f (x ) =x +
k
(k >
0) x
解：由原函数式可得：sin x =
2-2y
， y +1
在x ∈(-∞, +∞) 上是增函数，
在 x ∈[, 0) , , 上是减函数。]
|sin x |≤1, ∴|
2-2y
|≤1即 |2-2y |≤|y +1|。 y +1
例13
求函数y =2x -5+log 3值域。
解：令y 1=
2x -5，y 2=log 3
≤x ≤10) 的
两边平方，得4y 2-8y +4≤y 2+2y +1 即3y 2-10y +3≤0
1
解得：≤y ≤3
3
所以函数的值域是⎢,3⎥。 例12 求函数y =
则 y 1 ， y 2在[ 2， 10 ]上都是增函数。 所以 y =y 1 +y 2在[ 2 ，10 ]上是增函数。
⎡1⎤⎣3⎦
当x = 2 时，y min = 2+log 35
-
3
1
， 8
cos x
的值域。
sin x -3
当x = 10 时，y max = 2
+log 3。 故所求函数的值域为：[
解：由原函数式可得：y sin x - cosx=3 y ，
x +β) =3y
1
，33]. 8
即
sin(x +β) =
例14 求函数y = x +1-x -1的值域。
解：原函数可化为： y =
2x +1+x -1
∵ x ∈R ，∴sin （x +β）∈[-1，1] 。 即-1≤
3y y 2+1
≤1
令y 1 = x +1，y 2= x -1，
显然y 1，y 2在[1,+∞) 上为无上界的增函数，
解得：-
2≤ y ≤ 44
所以y =y 1+y 2在[1,+∞) 上也为无上界的增函数。 所以当x = 1时，y =y 1 +y 2有最小值2，原函数有最大值
22
故函数的值域为[-，]. 44
注：本题还可以利用数形结合法，把原函数式变形为：y =
2
22
= 2。
cos x -0
，可以看作一点P (3,0)与
sin x -3
2
显然y ＞0，故原函数的值域为( 0 , 2) 。 例15
求函数y =
单位圆x +y =1上的点所连线段的斜率，从而达到目的。
2的值域
六、利用函数的单调性法
1、两个单调递增（或递减）函数的和仍为
28
解：
函数y =
，
1
，则y =t +(t ≥2)
t
1
由于函数y =t +在[2,+∞) 上是单调递增函数，
t
15
从而有y min =2+=
22
5
故所求函数的值域为：[, +∞) .
2
令t =
∴ 0 ≤2sin （β+
π
）+1≤1+2
4
故函数的值域为[0,1.
八、数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例18
求函数y =
七、换元法
形如y =ax +b a , b , c , d 为常数，
a ≠0) 常用代数换元；
解：原函数可化简得：y =|x -2|+|x +8|
形
如y =a x +b 数，a ≠0) 常用三角换元。
例16 求函数y = x + x -1的值域。 解：令x -1= t ，（t ≥0）则x =t +1
2
∵ y =t + t +1=(t +) +
2
为d 常d , a , b , c
上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2 ），
B （- 8 ）间的距离之和。
由上图可知：当点P 在线段AB 上时，
12
2
3， 4
又t ≥0，由二次函数的性质可知
当 t =0时，y min =1， 当t →0时，y →+∞。 故函数的值域为[1,+∞) .
例17
求函数y =x +2
y =|x -2|+|x +8|=|AB |=10
当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时，
y =|x -2|+|x +8|>|AB |=10
故所求函数的值域为：[10,+∞) .
例19
求函数y =
解：因1-(x +1) ≥0，即(x +1) ≤1 故可令x +1=cos β, β∈[0,π].
∴y =cosβ
22
的
值域。
解：原函数可变形为：
y =
=sinβ+cosβ+1
π
）+1 4
π5π
0≤β≤π∴0≤β+≤
44
=2sin （β+∴ -
π2
≤sin （β+）≤1
42
29
有 ∣∣AP ∣-∣BP ∣∣= ∣AB ∣= 26。
综上所述，可知函数的值域为：(. 注：由例19，20可知，求两距离之和时，要将函 数式变形，使A ，B 两点在x 轴的两侧，而求两距 离之差时，则要使A ，B 两点在x 轴的同侧。
上式可看成x 轴上的点P （x ，0）到两定点 A （3，2），B （-2 ，-1 ）的距离之和， 由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时，
九 、不等式法
利用基本不等式a +b +c ≥a , b , c ∈R +) ，
其题型特a +b ≥(a , b ∈R +) 求函数的值域，征是当解析式是和式时要求积为定值，当解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例21 求函数y =2sin x sin 2x 的值域。 解：y =4sin x sin x cos x =4sin x cos x
2
y min =|AB |==
故所求函数的值域为+∞) . 例20
求函数y =
的
值域。
解：将函数变形为：
y =
y 2=16sin 4x cos 2x =8sin 2x sin 2x (2-2sin 2x ) sin 2x +sin 2x +2-2sin 2x 3 ≤8()
3
64=27
22
当且当sin x =2-2sin x ，即当sin x =
2
2
时，3
等号成立。
上式可看成定点A （3，2）到点P （x ，0 ）的距离与定点B （-2，1）到点P （x ，0）的距离之差。即：y =∣AP ∣-∣BP ∣，由图可知：
（1） 当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交 点时，如点P '，则构成△ABP '，根据三角形两边之差小于第三边，有||AP '|-|BP '||
=由y ≤
2
64≤y ≤，可得：-
2799
故原函数的值域为：[-
8383
，]. 99
十、求导数法
利用导数求高次函数的值域。
例22求函数y =x -5x +5x +2(x ∈[-1,2])的
5
4
3
即：-26＜ y ＜26
（2）当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时，
30
值域。
解：y '=5x 4-20x 3+15x 2, 令y '=0 即5x -20x +15x =0
4
3
2
1-x 22x
) + =( 22
1+x 1+x
令x =tan
β
2
，则有
解之得：x =0或x =1或x =3，由于3∉[-1,2]；故比较f (-1) ，f (0)，f (1)，f (2)即可。 易知f (x ) 的最大值是3，最小值是 - 9 故所求函数的值域为[-9,3].
十一、多种方法综合运用
例23
求函数y = 解：
令t t ≥0) ，则x +3=t 2
+1
（1） 当t ＞0时，y =
t 11
t 2
+1=， t +1≤2t
当且仅当 t =1，即x = - 1时取等号 所以0＜y ≤
12
。 （2） 当 t =0时，y =0。 综上所述，函数的值域为：[0，1
2
]。 注：先换元，后用不等式法。
1+x -2x 2+x 3+x 4
例 24 求函数y =1+2x 2+x 4的值域。解：y =1-2x 2+x 4x +x 3
1+2x 2+x 4+1+2x 2+x
4
(1-x 21+x 2
) 2=cos 2
β
，x 1+x 2= 12sin β， ∴y =cos 2
β+
1
2sin β =-sin 2β+1
2sin β+1
=-(sinβ-117
4) 2+16
∴当sin β=117
4
时，y max =16；
当sin β=-1时，y min =-2。 此时tan
β
2
都存在，故函数的值域为：17
16
］。注：此题先用换元法。后用配方法，然后再运用sin β的有界性。
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法、有界性和基本不等式法，然后才考虑用其他方法；我认为在教学中要善于抓住知识之间的相互联系，渗透化归与转化的数学思想。如果我们的学生能在学习中主动去寻找和发现知识间的联系，掌握化归与转化等数学思想，学会用数学思想解决数学问题，那么我们的数学教学将肯定会是成功的。
31