黄山学院学课教
件学大物理学电教案子电势及其
算计
.471-、2静 电场的路环理定 电能 7.4-势 3电势
复
习 7 2.电 强场通量 度高斯理
定•• • •电场线 电强度通量场 斯定高 理高定理斯应举例用
73. 立根测密电定电荷的子验实
7.4
电静的场路定理环 势能电 电势
一、静电场作功力 一静、电力场作
1、点电功荷场电点
电荷 q固定原于O，点试电验荷 0q在 q 电场中由A的沿点任路径ACB意 到B点达取路，径元 d微 ，电场l力对q0的 功元:为 KK K Kd = F ⋅ dWl= 0 Eq⋅ dl K qK 1 何如计算 E？= e4π ε0 r2 qq0r K K1 1q0 dqr d = eWdl ⋅ =4ε π0 r2 r 4π 0ε r
2 q
K θOKK ldE BrK C Kdr r′ K er
K rr
AA
WB= ∫
r
rBA
q0q q0q1 1 −( ⋅)dr = 24 π 0εrA rB 4πε 0r
在点
荷的非匀电 强场电中电场，对力 验电荷试作的功与所 其移时动起始位置与终了 置有位关与其， 经历的路径无所关。
2、
意任带体电场
电意带任电体可都以看由许成点电荷组多成点电荷的， 根系据加原叠可知理点电，荷的系强为场点各电场荷强叠加
的
KK K E = 1 + E2E+ …
任意 电点荷系电的力所场的作为功
W
= q 0∫
L
K
K K KK E ⋅ dKl= q0 ∫ E1⋅ l d+q ∫ E0 ⋅ 2ld+ "
L
每L项一均与径无关，路故它的们数代和必然与也路径无关
。
3、论结在
空中真一，验电荷试静在电中场动时移，电静场力对它所 的作，功与仅试电验的电量、起荷与始终了置有位关，而 试验电与所经过荷路的无径关 静电场。是保守力，力电场是保静守场
。
、静电二的场环定路 理二静、场电的路环理定在
静电中场，试将验电荷沿合路闭径 到一周移时，场力电作的功为
所B D
C
W
=v∫ W
=q 0
L
K
KK K q E0⋅ d =l q0v ∫ E ⋅ l
dCD
A
∫
K
K E dl⋅ =−
KKE ⋅ d l= 0
qL
BC
A
K K∫E ⋅ l +d q0
L
AC
D
K∫K ⋅E dl
CDA
∫
K
KE ⋅l
d
A电
场力功作 路与径关
无q
0AD
C
W = ∫q0 v ∫
K K
⋅ El d 0=
AC
B∫
KK E ⋅l
d义：电场定强度沿任意合闭路 的径积线分叫电场度强环流的 静。电场路环理：在静定场电， 电场强度的中流为零环
。 v∫
L
K EK⋅ l = 0d
三电势能 三、电势能、
电荷电在场一定的位上置，有 一具的能定量，这能量叫种电势做。能 电场力对电静荷作所的等于电 势能功增的量负:
值AWB= −(EP B− EPA) = EP A E−B = q0 ∫
APB
q
0B
A
KK E ⋅ d
lK
E荷电在电中场一的电点势能与电该荷的荷量电电、荷所 在置位和势电零能点的择都选关有。电势系能的考零点参选 择任意是的。选若择E PB=0，则A 的点电能为势
： PAE= q0
∫
AB
K K
E⋅dl
结论 ：验试荷q0在电电场中点A的电势，在取值能等于 把它上从点A到到移电势能零处电场力的作的所功。
一、
势
电
一、电
1势电、
势7
4 . - 电3及其计算势
比 (E值p -A PB) E/q 0与0无q，关取决只电于场的质性场点的 位及，置个比这值反映电是场本性身质的物量理称之为电势， 。义定：电静场带中电体具所的电势能与有带该电的电体的 比量定值为电势义
。
E AP A = , q0V
z
EPB V =Bq0
K B
K PE −A PE =B ∫ ⋅ dl E= V − AB V A0q
场电中点的某势电在数上等于放 在该点的单位值电正荷的势电 z能 电中场点的电某势在值数上于把等单位 正电荷从点该移势到为能的零时点， 电场所力的功。
作
P V ∫
"0="
P
K K ⋅E d
当电l荷分在有布限空 间，时无限远取的 电处能和电势势为。零
2
、说
明势电标量，是正有有。 负1 -z 电的单位势伏：特1 V=1J.C 。 z 势电有相对意义具，它决于定势零点的电择。在选论理计
算z
中，
常通择无选远处穷的势为零；在电际工作中实，通选常择 面地的电势为。零z 但是对于“无 大限或”“无限长的”带电体只能在，有限的范围内人 选取某点为为电势零点的。
3、电
差势在静电
场，中任意点两A和B之间的点电之势，差为电 称 KK势差 也，叫压电。U =V- V =BE AB BA∫ ⋅ldA
静
电场中意任点两、BA之的间电势，在差值上等 数于单把正位电从点A移到点B荷，静时电场力所作的功。
AW = qB0∫
B
A
KKE ⋅ d l= 0qUAB = q 0 VA -V(B
)
二、点电荷电的电场 势、点电荷电二场的势电
V= ∫∞
r
K K∞E ⋅dl = ∫
r
q qdr 2= 4πεr 4πε00r
、电势三叠原加
1、理点电荷系电场电势
K的 …K，nq生产 =E ∑Ei
场由几个点电电荷1，q2q
d， V
正电荷=电势为正的，电荷 越远，电势越离；低 电荷的电势负负为，离荷电 越远电，越高势。
2、
续分布电荷电场的电势连
d qπ4 0 ε
rdq
KK K K =V∫ E dl⋅ = ∑∫ Ei ⋅dl K K= ∑∫ E ⋅ il =d Vi
∑V
∫=
dq 4π 0ε rV
∫= λ l 4πd ε0r L
K
Pr
Q
点电荷系所激发
电场中的某点 的电，势等于各点电单 荷独在时在该点存电势的代数的 。和这个论叫结静电场做电 势叠加原的理
。分线布 分布 体面分布
V
=∫∫ σ dS4 πε r S
0V= ∫ ∫∫V
ρdv 4π ε r
0、3电势计算的
计算势电的法方有两种 ： 用电利势的定义
V式 A= ∫
B
A
K KE⋅ d l + VB
步：骤(1) 算先强场，并定指势电点零;( 2 再选)合择适的径; (路) 最3对后场沿强经积分路
。
要意参考点注的选择只有，荷分布在有电限空的间时才， 能无选穷点的电远势为； 积零分径路的电场上度强的函数形式要已求知可或求。 步： 骤 用电利势叠加的原 (1理)把 带电体分为→无多d限 qq Vd =2)(由dq d→V 4πQ rε 0 3) 由d(V →V = ∫dV 要 求荷的电布区分是已域的； 当知荷电布分在限有区域内，可的选以
择无远穷点作电为的势零 点；当而发激电场的电荷布分伸到延穷远时无只，能据具根 体问题性质的，场中人为在择选点某为电的零势。点
∫势叠加原理电计算势电所采的用本基型模
：1、点荷模型电 线电荷状 元q 激d的发电
K势 dV r ()= dλ l4επ r
0
用于适匀均带直线(直杆电)均、匀带细电环、圆匀均电带框等。 2、板环圆型模 圆电荷元环 q 轴线上d一点激发电势
的dV (x) =
σ⋅ 2 rdπ r4π 0 x ε2 +R2
适用
于均匀带电圆、盘无限均大带匀电面、平均匀带球壳电等。 3球壳模型 球、壳电荷元 dq激 的发势
电⎧ρ ⋅ 4π r 2 ′rd ，r′> r ⎪ ′4ε 0 r Kπ⎪ dV(r ) =⎨2 ρ ′ 4πr dr′ ⋅ ⎪ ，r
适用球于称对电球带(体)层、无限 均大匀电带等体
。例题
均1带匀细圆电环轴线一点上的势。电
已知电荷
q均地匀分布在径为R半的圆环上 求圆环，轴的上线环心与距相 的x点的势。电
x
P
x
解法一(电势叠加法)：
在圆
上环一电荷元
取d =q 2πq R dl
r
R
OV
它在
点场P 生产电的为势
：Vd =dq4 πε0 r= 4 πε 0r 2π R1 ⋅q ld
dq
对
变 量l 圆周积分得场点沿的势为：电V=
⋅ 41επ0 rπ R2 q
v ∫ dl = π4 r
L 0
qε
=q
4π ε 0 R 2+x 2
O
x
法二（场强解积法）分均匀
电圆带轴环一点的场强线前面在的例题中已经求得 这，情况种指下无定 远处穷电的为势零，因此只将要场从 P强 点处开沿 始x 积分轴到穷远处就无得 到 点P的电势
。x
x
均P带电匀圆在环线轴上 x位置 的场处为 K强K qx ⋅ iE ()P= 3 2 2 42π ε ( 0 R + )
xO
R
dq
无
远处电势为穷，零取向x轴为积正路分径， 对 作x积 分得 到P 的点电势 ∞ K： Kxqq V P( )=∫ i ⋅ dx = 2 32x 2 2 R2 x4 επ+ 4π ε (0R + x 0
)
例
题2 匀均带薄电盘圆线上一点的轴电。 已知电荷势均q地分匀在布径为R的半盘圆上，求圆 盘轴线的与上盘心距x的点的相势。电解法 一(势叠电加)法：在 盘圆上半径r处取 宽为度dr 的圆环其电量，d为q σ· 2=πr d ，r其在场点P 的电势 为 1σ rr ddV= σ π 2rrd= 2 2ε 0 x22 + r2 4ε π0x + r 积得分场点 P的 电为势 R σr rdσ V ( ) = P∫⋅ =(x 2 + R 2 -x )0 2 εx2 +r 2ε2 00 当x >> R 时
2 R x 2 +2 R x≈+ 2x
P
x
RO
dr
当r=x时
0R
σ= ≠V02ε
q σ0 2 1 q R2 = R == V 2ε20 2 x 2ε 0πR x 4π2 ε0 x
强为场处零电，不势零为；电势为 零，场处不强零为
。
解法（场强积分二）
法匀均带电盘轴线圆一点场的在强 面前的例题中已经求得，种情况下 这定指无远处穷电的势零，为因只此要将 强场从P 点处开 沿始 x轴积分到 无穷处远就到得 P 的点电势
。RO
σx
P
KE( P
)x
均匀带电盘在圆线上轴 位置处x场强的 K为 ⎛⎞ K x E σP( =)1
− i⋅⎜ ⎟ 2 2ε2 0⎝ R +x ⎠ 无远穷处电势为，取正零x轴向为分积路，径对 作积分 x得 到 P点的势：电 ∞σ ⎞K⎛K σ x2 21 VP( = )∫ dxiR x − ⋅=+ − ⎜ ⎟x 22x 2ε 2ε 0 ⎝0 R +x
⎠
(
)
题例
均匀带3球壳电周围间空电的势。
已知荷 q电均匀地 分在半径布为R 球壳 上，求空间各的点的势电 。解由：斯定高理可求出电强场的分布度
K⎧ ⋅ q eKK ⎪ r ,2 E(r ) = ⎨ 4πε0 ⎪r , 0
⎩ qOR
K O r
VR
K r
rR r>R
K
r当> R ，时 V r() = ∫ r
∞
q4πε 0r
2
r =d
4qπε0 r
当 r ≤R 时，R
∞K V r ( )=∫ 0 ⋅ rd + ∫rR
q4π 0ε
2
dr r
q=4π ε 0R
Rr
例题
4均匀
电球带体的势电
已知电荷q 均 匀分地在半径为R布的球 体上求空，间点的电势。 各解：高由斯理可求定出场电度强的分布K
⎧ ⋅q e r,2 ⎪ ⎪ Kπ4 ε 0 E=r⎨ K ⎪r ⋅qe r, 3⎪⎩ π4ε 0
K R V r )=∫ ( r >当 R时
r，∞
R
qOR
rKO
r
rR r>R≤q
dr= 2 qπε40 r
∞
∞
4ε π0
rR
K
V ( r =)∫ 当r ≤ 时，R
q
R (2− r2) q dr + r d + = 32 3∫ πε 04R 4 R r48 R π επεπε 0 0 0 r R r qq
另解一法
将均匀：带电球体分解无穷多为均个匀带电 壳，球对每于一带电球个壳围周电势的布上 分已题解，这样求据根叠原理就可以加出算个整带 球体周围电的电。势
R
K
r OP qd
r′
r d
′
半径在为 ’r处半径为取 d’的r薄壳，球所其带量电为 :π4 R 33 其在点P处场激发电势： 的qd= ρ ⋅ v d= q⋅ 4π r 2 dr′ ′= 3 q r2′ dr ′ 3
RR
⎧ q 3dr q2′ d ′r, r> r ′⎪ πε 4r= 3 4 ε 0π Rr ⎪0 V d=⎨ ⎪ dq = 3 q r′dr ′ , r ≤r 3 ′′⎪ r 4 πε 4R ε 0π0
⎩r′K O Prdq
dr
′
通过
积分算可出整个电带体在点 P处场产 的生电： 势 当r >R ，
V时=∫
R0
R
3
qq 2 ′ ⋅ ′=r d r4π 0 r 4εε π 0 R 3
rK
O r P qdd
r ′
′
dr ′r
当
r ≤ 时R以，为r限界球体分为将部两分
：
() r 1
rR
dq
r′ OK
r d′
(2
) r >′r R dq
r
P
K r
r′OP
2 2 R
qr 3′dr′ 3 qq ( R− r ) 2 q′ ′ V= ⋅r ∫rd+ ∫ +=3 r 4π R 3 0 4πεεR 3 r 4πε 0 R8πε R 0 0
0
r例题
求5限无长均匀电带线周直电场的电势围布。
分
：解设假电荷密线为度λ，场则为：
强
λE= 2π 0εr
方向 垂直于带直电
线若
仍选取无穷然为远电零势点，则积由可分知各点电 将为势无限而失大意义去。此时，们可以选取我一距带某直 导线电为Br的点B为势零点电则，距带电线为直的Pr点的电：
势V=∫ ∫=
B
P BKKK K KAK E ⋅ l =d ∫ E ⋅dl + ∫ E⋅ ld
A
Pr
rB
λ r d =λ lnrB 2πε r02π ε0r
r
λ
P A
B由
此看例，当电出分布荷扩到无穷远 时展电，零势不点再能在选穷远处。无
rB
z
论：
讨Ø电势零点不 同，势表式电同不 ； Ø意
任两点电的之势与电差零势点选择无关 Ø ；选电势择点的零原是则使电表势式取最简形单。
z式使 线积分用法注的意事
Ø项 荷分电在布有空间限里才，能选 ∞V= 0 ； Ø积分路可径任选取，意求要E使dl之与间或垂直或行平 或夹角 恒 定并，该且径路E的上函表达数式应知已 Ø 如；积果分路径上强表场式各达不同段积，分分应进行段，在 某 一区域分积就，须用该必区域场强的达式。表 Ø步：骤图如示。所
小
结7.
-4 2静电场环的路理定电势 能
静电场力所•的功作• 静电的环路场定理• 势能电
7.4-
3电
• 势势电 • 点电荷场电电势的• 电 势加叠理原