相似三角形性质与判定复习专题
-知识回顾与梳理：
1. 相似三角形的定义：三角 2. 三角形相似的判定
(1)两角 的两个三角形相似.
(2)两边 并且 的两个三角形相似. (3)三边 的两个三角形相似. 3, 相似三角形的性质：
(1)相似三角形的三边 ，三角 . (2)相似三角形的对应 、对应 与对应 之比都等于相似比. (3)相似三角形周长之比等于 ，相似三角形面积之比等于 . 如何寻找和发现相似三角形
正A
子母型 A 型
斜A 型形
相
垂直型 似
三 角 正 X 型 形 的X 型
基
本
斜X
图 混合型（双A 型、双X 型、双垂直型、A 、X 混合型等）
典例剖析
一、 两个三角形相似的判定 例题1. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F. (1)ΔABE 与ΔADF 相似吗？说明理由. (2)ΔAEF 与ΔABC 相似吗？说说你的理由.
练习1. （2011•泰州，24，10分）如图，四边形ABCD 是矩形，直线l 垂直平分线段AC ，垂足为O ，直线l 分别与线段AD 、CB 的延长线交于点E 、F ． （1）△ABC 与△FOA 相似吗？为什么？ （2）试判定四边形AFCE 的形状，并说明理由．
练习2. （2011泰安，27，10分）已知：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，BC ＝2AD ，E 是BC 的中点，连接AE ．AC ．
（1）点F 是DC 上一点，连接EF ，交AC 于点O （如图1），求证：△AOE ∽△COF ； （2）若点F 是DC 的中点，连接BD ，交AE 与点G （如图2），求证：四边形EFDG 是菱形．
二、相似三角形的性质和判定的综合运用
例题2．如图所示，△ABC 中AB=AC，D 为CB 的延长线上一点，E 为BC 延长线上一点，满足2
AB =DB·CE 。
（1）求证：△ADB ∽△EAC ；
（2）若∠BAC=40°，求∠EAD 大小。
A
练习1. （2011•江苏宿迁，28，12）如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB ＝1，BC ＝
D
E
1
，2
以点C 为圆心，CB 为半径的弧交CA 于点D ；以点A 为圆心，AD 为半径的弧交AB 于点
E ．
（1）求AE 的长度；
（2）分别以点A 、E 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点F （F 与C 在AB 两侧），连接AF 、EF ，设EF 交弧DE 所在的圆于点G ，连接AG ，试猜想∠EAG 的大小，并说明理由．
三、有关三角形的内接矩形或正方形的计算问题
例题3、已知：如图，正方形DEFG 内接于△ABC，AM⊥BC于M 交DG 于N ，BC=18，AM=12。求正方形边长.
练习1、某课题学习小组在一次活动中对三角形的内接正方形的有关问题进行了探讨：
定义：如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上，那么我们就把这个正方形叫做三角形的内接正方形． 结论：在探讨过程中，有三位同学得出如下结果：
甲同学：在钝角、直角、不等边锐角三角形中分别存在 个、 个、 个大小不同的内接正方形．
乙同学：在直角三角形中，两个顶点都在斜边上的内接正方形的面积较大．
丙同学：在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小． 任务：（1）填充甲同学结论中的数据；
（2）乙同学的结果正确吗？若不正确，请举出一个反例并通过计算给予说明，若正确，请给出证明；
（3）请你结合（2）的判定，推测丙同学的结论是否正确，并证明．
四、相似三角形中的函数问题
例题4．已知：如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，P 是AB 上一点，且点P 不与点A 重合，过点P 作PE ⊥AB 交AC 于E ，点E 不与点C 重合，若AB ＝10，AC ＝8，设AP ＝x ，四边形PECB 的周长为y ，求y 与x 的函数关系式．
练习1、 （已知抛物线y=x2-2x+m-1与x 轴只有一个交点，且与y 轴交于A 点，如图，设它的顶点为B ． （1）求m 的值；
（2）过A 作x 轴的平行线，交抛物线于点C ，求证：△ABC 是等腰直角三角形； （3）将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C′，且与x 轴的左半轴交于E 点，与y 轴交于F 点，如图．请在抛物线C′上求点P ，使得△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形．
五-相似三角形中的动点问题
例题5. 如图，在矩形ABCD 中，AB=18cm，AD=9cm，点M 沿AB 边从A 点开始向B 以2cm/s的
速度移动，点N 沿DA 边从D 点开始向A 以1cm/s的速度移动．如果点M 、N 同时出发，用t （s ）表示移动时间（0≤t ≤9），求： （1）当t 为何值时，∠ANM =45︒ ？
（2）计算四边形AMCN 的面积，根据计算结果提出一个你认为合理的结论； （3）当t 为何值时，以点M 、N 、A 为顶点的三角形与△BCD 相似？
练习1. （2011•郴州）如图，Rt △ABC 中，∠A=30°，
N
A
M
BC=10cm，点Q 在线段BC 上从B 向C 运动，点P 在线段BA 上从B 向A 运动．Q 、P 两点同时出发，运动的速度相同，当点Q 到达点C 时，两点都停止运动．作PM ⊥PQ 交CA 于点M ，过点P 分别作BC 、CA 的垂线，垂足分别为E 、F ． （1）求证：△PQE ∽△PMF ；
（2）当点P 、Q 运动时，请猜想线段PM 与MA 的大小有怎样的关系？并证明你的猜想； （3）设BP=x，△PEM 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，当x 为何值时，y 有最大值，并将这个值求出来．
六、相似三角形的实际应用 例题6．如图, 甲楼AB 高18米, 乙楼坐落在甲楼的正东面, 已知当地下午3时, 物高与影长的比是 0.5 :1,已知两楼相距21米, 那么甲楼的影子落在乙楼上有多高?
D E
A
C
练习1、一天，某校数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的“圆
锥形坑”的深度，来评估这些深坑对河道的影响．如图是同学们选择（确保测量过程中无安全隐患）的测量对象，测量方案如下： ①先测量出沙坑坑沿圆周的周长约为34.54米；
②甲同学直立于沙坑坑沿圆周所在平面上，经过适当调整自己所处的位置，当他位于点B 时，恰好他的视线经过沙坑坑沿圆周上的一点A 看到坑底S （甲同学的视线起点C 与点A 、点S 三点共线）．经测量：AB =1.2米，BC =1.6米．
根据以上测量数据，求“圆锥形坑”的深度（圆锥的高）．（π取3.14，结果精确到0.1
米）
课堂检测： 一、判断
1．两个等边三角形一定相似。（ ）
2．两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为1∶2。（ ） 3．两个等腰三角形一定相似。（ ）
4．若一个三角形的两个角分别是40°和70°，而另一个三角形的两个角分别是70°、 70°，则这两个三角形不相似。（ ） 二、填空：
5、若△ABC ∽△A ' B ' C ' , 且AB =2, A ' B ' =3, 则这两个三角形对应中线之比为 对应高的比为, 面积之比为周长之比为6、若△ABC ∽△A ' B ' C ' , 且BC =10, AC =8, AB =6, △A ' B ' C ' 的最长边为5, 则 △A ' B ' C ' 的周长为面积为 .
7、CD 是直角△ABC 斜边上的高，若AB=25cm，BC=15cm，则BD=_______，CD=_____． 8、如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1，S 2，
则S 1＋S 2的值为（ ）
三、解答题
9．如图，某同学身高AB ＝1.60m ，他从路灯杆底部的点D 直行4m 到点B ，此时其影长PB ＝2m, 求路灯杆CD 的高度。
10、如图, ⊿ABC 是等边三角形, 点D,E 分别在BC,AC 上, 且BD=CE,AD与BE 相交于点F. (1)试说明⊿ABD ≌⊿BCE 。
(2)⊿AEF 与⊿ABE 相似吗? 说说你的理由。
2
(3)BD=AD·DF 吗? 请说明理由。
11、. 在正方形ABCD 中，AB = 2， P 是BC 边上与 B 、C 不重合的任意点，DQ ⊥AP 于Q 。 (1)试说明ΔDQA ∽ΔABP 。
(2)当P 点在BC 上变化时，线段 DQ 也随之变化。 设PA= x,，DQ= y，求 y 与 x 之间的函数关系式？
12、如图，在 ABCD 中，∠ABC 的平分线BF 分别与AC 、AD 交于点E 、F ． （1）求证：AB =AF ； （2）当AB =3，BC =5时，求
AE
的值． AC
13、如图，□ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，DE =⑴求证：△ABF ∽△CEB;
⑵若△DEF 的面积为2，求□ABCD 的面积。
1
CD 。 2
E
F A
D
B 第21题图 C
14、如图8，四边形ABCD 是平行四边形．O 是对角线AC 的中点，过点O 的直线EF 分别交AB 、DC 于点E 、F ，与CB 、AD 的延长线分别交于点G 、H ．
（1）写出图中不全等的两个相似三角形（不要求证明）；
（2）除AB =CD ，AD =BC ，OA =OC 这三对相等的线段外，图中还有多对相等的线段，请选出其中一对加以证明．
图
8
15、如图10所示，E 是正方形ABCD 的边AB 上的动点， EF ⊥DE 交BC 于点F ． （1）求证： ∆ADE ∽∆BEF ；
（2）设正方形的边长为4， AE =x ，BF =y ．当x 取什么值时， y 有最大值? 并求出
这个最大值．
16、如图，在△ABD 和△ACE 中，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE ，连结BC 、DE 相交于点F ，BC 与AD 相交于点G .
（1）试判断线段BC 、DE 的数量关系，并说明理由
（2）如果∠ABC=∠CBD ，那么线段FD 是线段FG 和FB 的比例中项吗？为什么？