全等,等边三角形动点问题

全等三角形，等边三角形，直角三角形与动点问题

例1. 如图，已知△ABC 中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D 为AB 的中点.

（1）如果点P 在线段BC 上以3cm/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动. ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP 全等？

（2）若点Q 以②中的速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？

变式如图，在等边△ABC 中，AB=9cm，点P 从点C 出发沿CB 边向点B 点以2cm/s的速度移动，点Q 点从B 点出发沿BA 边向A 点以5cm/s速度移动．P 、Q 两点同时出发，它们移动的时间为t 秒钟．

（1）你能用t 表示BP 和BQ 的长度吗？请你表示出来．（2）请问几秒钟后，△PBQ 为等边三角形？

（3）若P 、Q 两点分别从C 、B 两点同时出发，并且都按顺时针方向沿△ABC 三边运动，请问经过几秒钟后点P 与点Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？

例题2．如图，等边△ABD 和等边△CBD 的长均为a ，现把它们拼合起来，E 是AD 上异于A 、D 两点的一动点，F 是CD 上一动点，满足AE+CF＝a ．

(1)E、F 移动时，△BEF 的形状如何?

(2)当E 、F 运动到什么位置时，△BEF 面积的最小？

变式：（2012•遵义）如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，P 是AC 边上一动点，由A 向C 运动（与A 、C 不重合），Q 是CB 延长线上一点，与点P 同时以相同的速度由B 向CB 延长线方向运动（Q 不与B 重合），过P 作PE ⊥AB 于E ，连接PQ 交AB 于D ．

（1）当∠BQD=30°时，求AP 的长；

（2）当运动过程中线段ED 的长是否发生变化？如果不变，

求出线段ED 的长；如果变化请说明理由．

例3：已知，如图△ABC 是边长3cm 的等边三角形. 动点P 从点A 出发，沿AB 向点B 运动，动点Q 从点B 出发，沿BC 向点C 运动，如果动点P 、Q 都以1cm/s的速度同时出发. 设运动时间为t （s ），那么t 为何

A

例题5. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠D＝90°，

在BC ，CD 上分别找一点M ，N ，使△周长最小，求∠AMN＋∠ANM的度数．

例题6. 在平面坐标系中有一点P （-1，2），若有一动点A 在坐标轴上使得△AOP 是等腰三角形，则A 点的个数有_____个。

当堂检测. 如下图，已知正方形ABCD 中，边长为10厘米，点E 在AB 边上，BE=6厘米．

（1）如果点P 在线段BC 上以4厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CD 上由C 点向D 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，△BPE 与△CQP 是否全等，请说明理由；

②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时能够使△BPE 与△CQP 全等？

（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿正方形ABCD 四边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在正方形ABCD 边上的何处相遇？