静电场的环路定理电势

§4

静电场的环路定理 电势

静电场的环路定理

B

rB dr

一 静电力的功

1. 静电力的功

1)点电荷的情况

    q 元功: dA  F  dl  q0 E  dl  q0 Edl cos  1 q 已知 E  4 0 r 2

rA

r q0

 dl  E

dr  cos dl

q0 q dA  dr 2 4 0 r

A

1

AAB   dA

A

B

q0 q dA  dr 2 4 0 r

B



B A

1 q0 q dr 2 4π 0 r

rB

q

q0 q 1 1  ( - ) 4π 0 rA rB

rA

q0

AAB 只与 q0 的起点和终点位置有关 结论: 而与所经路径无关。

2

A

2)点电荷系的情况

q2 q1 rA2 rA1

q3 rA3 rAi qi

    dA  F  dl  q0 E  dl

AAB 

B A

B

A

dA

 Ei

A

q0

 E1

rAn

qn

  q0 E  dl

由场强的迭加原理:

n   E   Ei i 1

B n

 En

 4

i 1

n

qi

0 i

r

 r 2 i0

 E

 E3

 E2

B

AAB   q0 

A i 1

n    n qq 1  B 1 Ei  dl    qo Ei  dl   0 i ( ) A rAi rBi i 1 4πε0 i 1

试探电荷在任何静电场中移动时, 电场力所做的功只与试探 3 电荷的电量及路径的起点和终点的位置有关, 而与路径无关 .

结论:静电力------保守力; 静电场------保守力场 2. 静电场的环路定理

积分路径:由 A-------B--------A 为闭合路径   S1 A  dA  F  dl q0

S1

S2

B

     0   q E  dl   q0  E  dl  0 L

0

A

S2

 q0  0

L

静电场的环路定理:

  E  d l  0 

静电场中场强沿任意闭合环路的 线积分(环流)恒等于零。 是静电场保守性的另一种说法

4

二、电势能 电势

1、电势能

A保  EP  W

B WB

设 WA 和 WB 分别表示试探电荷 q 0 在起点A和终点B处的电势能

AAB  W  (WB  WA )  WA  WB

若取 B点 : WB  0

AAB  

B

A

   B  F  dl  q0  E  dl

A

A WA

"0"

q0 在 A 点处的电势能:W A

 AA"0"  q0 

A

  E  dl

1)电势能零点的选取是任意的, 一般视问题方便而定, 通常参 考点不同 ,电势能不同。对于有限带电体,一般选无限远为势 能零点 , 实际应用中或研究电路问题时常取大地、仪器外壳等 为势能零点;对于无限大带电体,常取有限远为势能零点; 2)电势能是属于系统的 (电场 + 试验电荷) 5

例:在带电量为Q 的点电荷所产生的静电场中,电量为 q 的

点电荷在 a 点处的电势能。

解:

E

W  0

Q   r 2 0 4 0 r

1

 r

Wa  Aa  q 

a

  E  dl

Q

ra

q

选取合适的积分路径

  dr  dl

Wa  Aa  q 



ra

1 Qq Q q dr  2 4 0 r 4πε 0 ra

a

  E  dr

6

2、电势

WA  q0 

WA  A q0

" 0"

"0"

A

  E  dl

比值与试探电荷无关, 反 映了电场在 A 点的性质 .

  E  dl

 "0" 

WA V   E  d l A  定义A 点的电势VA: A q0

注意: 1、电势零点与电势能零点选取规则相同 2、电势描述电场的性质,与试探电荷无关 3、电势是标量,可正可负,单位:V,伏特

7

3

电势差(电压)

 r2

q

P2

 r1

P1 把 q0从 P1处移到 P2 处电 场力做的功可表示为:

U12  V1  V2  r 2"0"   "0"    E  dl  " E  d l 0r " r  r2    E  dl

1 2

r1

把单位正电荷从 P1 处沿任意路 径移到 P2 处电场力做的功。

A  q0 V1  V2 

1

A

r2

r1

   r2  q0 E  dl  q0  E  dl  q0 V1  V2  r

8

注意:

1. V为空间标量函数 2. V具有相对意义,其值与零势点选取有关, 但 U ab 与零势点选取无关。 3. 遵从叠加原理 :

V  Vi

(零势点相同)

即点电荷系场中任一点的电势等于各点电荷 单独存在时在该点产生的电势的代数和。

9

4 电势的计算

1) 点电荷电场中的电势

v  0

VP 





P

q

r

q0

 P

P

E  dl

1

+q

P

q   r  d r 0 4 0 r 2 1 q dr 4 0 r 2

(各点电势为正)

-q

q VP  4πε 0 r

(各点电势为负)

电力线的方向指向 电势降落的方向

10

2) 点电荷系电场中的电势  "0"  VP   E  dl

P



"0" n

P

i 1

  Ei  dl

场强 -----迭加原理



i 1 n

n

"0"

P

  Ei  dl

n

  VPi  

i 1

i 1

qi 4πε 0 ri

电势 -----迭加原理

11

VP   VP i

i 1

n

连续分布的带电体系

dq

dV

dVP 

dq 4 0 r

r

p

dVP

电势-----迭加原理

VP   dVP  

Q

dq 4 0 r

12

Q

▲5. 电势计算例题:(两种基本方法)

1. 场强积分法(由定义求) 〈1〉由电势定义 V

 〈2〉确定 E 分布

A

 "0"  WA    E  dl A q0

  若路径上各段E 的表达式不同,应分段积分。

 选取零势点的原则:使场中电势分布有确定值 一般, 场源电荷有限分布 :选 V  0 注意: 场源电荷无限分布 :不选 V  0

许多实际问题中选 V地球

〈3〉选零势点和便于计算的积分路径

0

13

[ 例1] 均匀带电球面场中电势分布(

q , R)

q

由高斯定理

o R

E

 P r

 E

 E

0  qr 3 4 0 r

(r  R) (r  R)

r

o

R

令 V  0 沿径向积分 1 面外   2

r

qr  dr V外   E 外 dr   3 4 0 r P r 1   4 0 r r q

14

V外

面内

1   4 0 r r

 R 

q

q

o R

E

R

P

 P r

 E

V内   E  dr   E内  dr   E外 dr

P' P'

qr  dr q    恒量 3 4 0 r 4 0 R R

均匀带电球面内部各点电势与球 面处电势相等,

q

 r12

o

U

4 0 R

R

r

球面外电势与电量集中于球心的 点电荷情况相同。

1 r

R

15

o

r

例 2:

求:电荷线密度为 的无限长带电直线的电势分布。

 解: E  2 o r

V 

r

  E  dl

分析 : 选择某一定点为电势零点,

现在选距离线 a 米的 P0点为电势0点。

a

r

P0

  V   E  dr r a  V   dr r 2 r 0 a  ln ln  a  ln r  r 2 0

P0

V 

P0

r

  E  dl

16

2. 叠加法 〈1〉将带电体划分为电荷元

dq

或 V   dV

〈2〉选零势点,写出

dq 在场点的电势 dV

〈3〉由叠加原理: V   dV

[ 例3] 求均匀带电圆环轴线上的电势分布

dq r

R o

在圆环上取点电荷dq , 解:

V  0

dq 4 0 r

17

x

P

x

dV 

dq r

R o

x P x

V   dV  

q

dq 4 0 r

0

q  2 2 12 4 0 ( R  x )

18

例4.半径为R的均匀带电薄圆盘轴线上的电势分布。

解:以O为圆心,取半径为LL+dL的薄圆环,带电 dq=ds= •2L •dL 到 P点距离

r  x L

2

2

p

x

P点电势:

O L

R

dL

1 dq V  4 0 r

 1 4 0  2  

R 0

 2 2  ( R  x  x) 2 2 2 0 x L

LdL

19

例5

0 x a P

均匀带电细棒,长 L ,电荷线密度  , 求:沿线、距离一端 a 米处的电势。 解:

dQ  λ dx

d Q  dx dV  4 0 x

a

L

V   dV  

a L

a

  ln x 4 0

dx 4 0 x

a L a

aL

aL  ln  ln a  L   ln a a 4 0

x

20

练习: 已知:

RA , RB , q A , qB

qB qA

RB

求: V1 , V2 , V3 带电球面的电势分布: 球面内:V

o RA

1 2

3

 q 4 0 R  q 4 0 r

球面外: V

qA qB  由叠加原理: r  RA : V1  4 0 RA 4 0 RB qA qB RA  r  RB : V2   4 0 r 4 0 RB q A  qB r  RB : V3  4 0 r

21


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