八下第18章 《勾股定理》勾股定理知识点导航
一、勾股定理：
1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么
a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a ＋b ＝c ，那么这个三角形是直角三
角形。
2. 勾股数：满足a ＋b ＝c 的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样
也是勾股数组。）
*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13
3. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a +b=c，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角
三角形：勾三、股四、弦五）
其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。 （2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：
（1）确定最大边（不妨设为c ）；
（2）若c ＝a ＋b ，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形；
若a ＋b ＜c ，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a ＋b ＞c ，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）
4. 注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于
斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
5. 勾股定理的作用：
（1）已知直角三角形的两边求第三边。
A
E
b c
D
C
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b a
c
a
b
b
B
c
c b
a
a
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
（3）用于证明线段平方关系的问题。 （4）利用勾股定理，作出长为6、2、勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
B
b A
a
D b
n 的线段
E
a C
7、错误的描述方法：“当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 勾股定理：
（一）结合三角形：
1. 已知∆ABC 的三边a 、b 、c 满足(a -b )
2
+(b -c ) 2=0，则∆ABC 为三角形
2. 在∆ABC 中，若a =（b +c ）（b -c ），则∆ABC 是三角形，且∠90︒ 3. 在∆ABC 中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC 的长为 4、已知形状。
5、. 已知：在∆ABC 中，三条边长分别为a 、b 、c ，a =n 试说明：∠C=90︒。
6. 若∆ABC 的三边a 、b 、c 满足条件a 状。 7. 已知
2
2
x -+x +y - 与z 2-10z +25互为相反数，试判断以x 、y 、z 为三边的三角形的
2
-1，b =2n ，c =n 2+1（n >1）
+b 2+c 2+338=10a +24b +26c ，试判断∆ABC
的形
a -6+2b -8+(c -10) 2=0, 则以a 、b 、c 为边的三角形是
（二）、实际应用： 1. 梯子滑动问题：
（1）一架长2.5m 的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m （如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m ，那么梯子底端将向左滑动 米
（2）如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 1米，（填“大于”，“等于”，或“小于”）
（3）如图，梯子AB 斜靠在墙面上，AC ⊥BC ，AC=BC，当梯子的顶端A 沿AC 方向下滑x 米时，梯足B 沿CB 方向滑动y 米，则x 与y 的大小关系是（ ）
A. X+y B. x>y C. x
（4）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子吹到地面上还多1 m，当他把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为 米
第1题图 第2题图 第3题图
2. 直角边与斜边和斜边上的高的关系：
直角三角形两直角边长为a ，b ，斜边上的高为h ，则下列式子总能成立的是（ ） A. ab =b B. a 变：
如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，设AB=c，AC=b，BC=a，CD=h。
2
2
+b 2=2h 2 C.
111111
+= D. 2+2=2a b h a b h
C
111
求证：（1）2+2=2
a b h （2）a +b
（3）以a +b ，h ，c +h
为三边的三角形是直角三角形
试一试：（1）只需证明h （2）
（3）
2
A
D
B
(
11
+) =1，从左边推到到右边 a 2b 2
(a +b )2
(a +h )2+h 2=(c +h )2，注意面积关系ab =ch 的应用
3. 爬行距离最短问题：
1. 如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为10cm ，得到C 1处有一只昆虫甲，在盒子的内部有一只昆虫乙（盒壁的 忽略不计）
（1）假设昆虫甲在顶点C 1处静止不动，如图a ，在盒子的内部我们先取棱BB 1的中点E ，再连结AE 、EC 1，昆虫乙如果沿途径
A →E →C 1爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲，仔细体会其中的道理，
并在图b 中画一条路径，使昆虫乙从顶点A 沿这条路爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲。 （2）如图b ，假设昆虫甲从点C 1以1 厘米/秒的速度在盒子的内部沿C 1C 向下爬行，同时昆虫乙从顶点A 以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多少时间才能捕捉到昆虫甲？ 试一试：对于（2）
，当昆虫甲从顶点
沿棱C 1C 向顶点C 爬行的同时，昆虫乙可以沿不同的路径爬行，
利用勾股定理建立时间方程，通过比较得出昆虫乙捕捉到昆虫甲的最短时间
2. 如图，一块砖宽AN=5㎝，长ND=10㎝，CD 上的点F 距地面的高FD=8㎝，地面上A 处的一只蚂蚁到B 处吃食，要爬行的最短路线是 cm
3. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm 、3dm 、2dm ，A 和B 是这个台阶两相对的端点，A 点有一只昆虫想到B 点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B 点的最短路程是 分米？
4. 如图，一只蚂蚁沿边长为a 的正方体表面从点A 爬到点B ，则它走过的路程最短为（ ） A.
3a B. 1+2a C. 3a D.5
a
()
Q
A
B
P
N
5、如图，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A 处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B 处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫? （π取3）
6、如图为一棱长为3cm 的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下地面A 点沿表面爬行至右侧面的B 点，最少要花几秒钟？
7葛藤是一种刁钻的植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常饶着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线，总是沿着短路线—盘旋前进的。难道植物也懂得数学吗？ 如果阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？
如果树的周长为3 cm，绕一圈升高4cm ，则它爬行路程是多少厘米？
如果树的周长为8 cm，绕一圈爬行10cm ，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少厘米？
8、如图，A 、B 是笔直公路l 同侧的两个村庄， 且两个村庄到直路的距离分别是300m 和500m ， 两村庄之间的距离为d(已知d =400000m) ，现要在 公路上建一汽车停靠站，使两村到停靠站的距离之和最 小。问最小是多少？
2
2
B
A
4、实际问题
1. 小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树离地面
的高度是 米。
2. 如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是4平距离是 米。
3. 如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 。
4. 如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B 、C 两点，在江对岸取一点A ，使AC 垂直江岸，测得BC ＝50米，∠B ＝60°，则江面的宽度为 。
3米，则这两株树之间的垂直距离是____________米，水
5、如图，公路MN 和公路PQ 在P 点处交汇，点A 处有一所中学，AP=160米，点A 到公路MN 的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？
5、求边长：
1. 如图所示，在四边形ABCD 中，∠BAD=90，∠DBC=90，AD=3，AB=4，BC=12，求CD 。
6、方向问题：
1. 有一次，小明坐着轮船由A 点出发沿正东方向AN 航行，在A 点望湖中小岛M ，测得∠MAN ＝30°，当他到B 点时，测得∠MBN ＝45°，AB ＝100米，你能算出AM 的长吗？
2. 一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km，接着，它又掉头向正东方向航行15千米． ⑴ 此时轮船离开出发点多少km?
⑵ 若轮船每航行1km ，需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升?
M
A B N
7、折叠问题：
1. 如图，矩形纸片ABCD 的长AD=9㎝，宽AB=3㎝，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长是多少？
2. 如图，在长方形ABCD 中，将△ABC 沿AC 对折至 △AEC 位置，CE 与AD 交于点F 。
（1）试说明：AF=FC；（2）如果AB=3，BC=4，求AF 的长
3. 如图，在长方形ABCD 中，DC=5，在DC 边上存在一点E ，沿直线AE 把△ABC 折叠，使点D 恰好在BC 边上，设此点为F ，若△ABF 的面积为30，求折叠的△AED 的面积
4. 如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝， 现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合， 你能求出CD 的长吗？
A
D E
B
F C
5. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC=6，BC=8，将△ABC 折叠，使点B 与点 A 重合，折痕为DE ，则CD 等于（ ） A.
254
B.
223
C.
74
D.
5
3
6、如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm，BC=6cm，E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在CD 边上的点G 处，求BE 的长.
8、利用勾股定理测量长度
如图，水池中离岸边D 点1.5米的C 处，直立长 着一根芦苇，出水部分BC 的长是0.5米，把芦苇 拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求水池 的深度AC.
9、旋转问题
1、如图，P 是等边三角形ABC 内一点，
PA=2,PB=求△ABC 的边长。
2、如图1-3-11，有一块塑料矩形模板ABCD ，长为8cm ，宽为4cm ，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P 落在AD 边上（不与A 、D 重合），在AD 上适当移动三角板顶点P ：
①能否使你的三角板两直角边分别通过点B 与点C ？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由. ②再次移动三角板位置，使三角板顶点P 在AD 上移动，直角边PH 始终通过点B ，另一直角边PF 与DC 的延长线交于点Q ，与BC 交于点E ，能否使CE=2cm？若能，请你求出这时AP 的长；若不能，请你说明理由.
3、如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且FB 吗？为什么？
1
AB ，那么△DEF 是直角三角形4