导数的应用（单调性、极值、最值）
蓝园高级中学 数学组 陈秋彬
1. 了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。
2. 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；理解极大值、极小值的概念；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值。
3. 会用导数求不超过三次的多项式函数在定区间上的最大值、最小值。
从进几年的高考试题来看，利用导数研究函数的单调性、极值和最值是导数的基本问题，每年必考，分值较大，需要考生重点练习、熟练应用。
导数及其应用占据着非常重要的地位，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性等；还包括将导数内容和传统内容中有关不等式、函数、解析几何等知识有机地结合在一起，设计综合试题。随着导数作为考试内容的考查力度逐年增大，导数已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的必不可少的工具。
导数一般考法比较简单，就是讨论单调区间求最值。但也有的省市考得较难，与不等式结合，放在最后一题的位置，往往需要我们理解其几何意义，才能找到方向。
考点1 函数的单调性与导数
1. 在某个区间(a , b ) 内，如果f '(x ) >0，那么函数y =f (x ) 在这个区间内单调递增；如果f '(x )
因为f (x ) = ，所以f '(x ) = . 当f '(x ) >0，即 时，函数f (x ) = 单调递增； 当f '(x )
函数f (x ) = 的单调增区间为 ，单调减区间为 .
3. 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时函数的图像就比较“陡峭”(向上或向下) ；反之，函数的图像就“平缓”一些. 考点2 函数的极值与导数
1. (1)如果函数y =f (x ) 在点x =a 的函数值f (a ) 比它在点x =a 附近其他点的函数值都小, 那么点a
叫做y =f (x ) 的极小值点，f (a ) 叫做函数y =f (x ) 的极小值；
(2)如果函数y =f (x ) 在点x =b 的函数值f (b ) 比它在点x =b 附近其他点的函数值都大，那么点b
叫做y =f (x ) 的极大值点，f (b ) 叫做函数y =f (x ) 的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值. 2. (1)求函数y =f (x ) 的极值的方法(充分条件) ： 解方程f '(x ) =0. 当f '(x 0) =0时：
①如果在x 0附近的左侧f '(x ) >0，右侧f '(x ) 0，那么f (x 0) 是极小值. (2)必要条件:函数y =f (x ) 在一点取得极值的必要条件是函数y =f (x ) 在这一点的导数值0。 考点3 函数的最大(小) 值与导数
1. 一般地，如果在区间[a , b ]上函数y =f (x ) 的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
2.求函数y =f (x ) 在[a , b ]上的最大值与最小值的步骤： ①求函数y =f (x ) 在(a , b ) 内的极值；
②将函数y =f (x ) 的各极值与断点处的函数值f (a ) ，f (b ) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
考点1 函数的单调性与导数 典例求下列函数的单调区间：
(1).f (x ) =x -2x +3； (2).f (x ) =2x -x 2；
解题思路 在对函数求导以前，先求出函数的定义域，然后求函数的导数，利用导数大于零和小于零解
出单调增区间和减区间。
4
解题过程 (1).函数f (x ) 的定义域为R ，f '(x ) =x -4x =4(x -1)(x +1) x
4
2
令f '(x ) >0，得-11．
∴函数f (x ) 的单调递增区间为（－1，0）和(1, +∞) ； 令f '(x )
∴函数f (x ) 的单调递减区间为(-∞, -1) 和（0，1）． (2).函数定义域为0≤x ≤2.
f '(x ) =
(2x -x 2) '22x -x
2
=
1-x 2x -x
2
.
令f '(x ) >0，得0
∴函数f (x ) 的单调递减区间为（1，2）． (3).函数定义域为x ≠0, f '(x )=1-
b 1
=(x -)(x +). 22x x
令f '(x ) >0，得x >b 或x
∴函数f (x ) 的单调递增区间为(-∞, -) 和(, +∞) ； 令f '(x )
∴函数f (x ) 的单调递减区间是(-b , 0) 和(0, b ) ．
易错点拨 为了提高解题的准确性，在利用求导的方法确定函数的单调区间时，也必须先求出函数的定
义域，然后再求导判断符号，以避免不该出现的失误．学生易犯的错误是将两个以上各自独立单调递增（或递减）区间写成并集的形式，如将例(1) 中，函数f (x ) 的单调递增区间和递减区间分别写成
(-1, 0) (1, +∞) 和(-∞, -1) (0, 1) 的错误结果．这里我们可以看出，除函数思想方法在本题中的重要
作用之外，还要注意转化的思想方法的应用． 变式1 函数f (x ) =x +
b
(b >0) 的单调递增区间为 x
/
单调递减区间为 。
点拨 求函数的导数，令导数f (x ) >0解出即可，注意答案的填写。 答案 (-∞, -) 和(, +∞) ；(-b , 0) 和(0, b ) ． 变式2 函数y =log 1 1+
⎛2⎝1⎫
⎪在区间(0, +∞) 上是（ ） x ⎭
A ．增函数，且y >0 B ．减函数，且y >0 C ．增函数，且y
点拨 关键理解符合函数的单调性和对定义域的考虑，注意对数的性质。 答案 C
考点2 函数的极值与导数
典例 已知函数
1
f (x ) =ax 3+bx 2+x +3, 其中a ≠0，当a , b 满足什么条件时, f (x ) 取得极值?
3
解题思路 求函数f (x ) 的导数，令f /(x ) =0转变为含参数的一元二次方程问题，通过讨论方程是否有
跟，层层深入解决问题。
解题过程 由已知得f '(x ) =ax 2+2bx +1, 令f ' (x ) =0, 得ax 2+2bx +1=0,
f (x ) 要取得极值, 方程a x 2+2b x +1=0必须有解, 所以△=4b 2-4a >0, 即b 2>a , 此时方程a x 2+2b x +1=0
-2b -b -2b -b 的根为x 1=x 2=, =
=
2a a 2a a
所以f '(x ) =a (x -x 1)(x -x 2)
a >0所以f (x ) 在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.
所以f (x ) 在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.
2
综上, 当a , b 满足b >a 时, f (x ) 取得极值.
易错点拨 对含参数方程或不等式的讨论容易出错，可借助函数图象。
变式1 已知函数f (x ) =ax +bx +cx 在点x 0处取得极
大值5，其导函数
3
2
y =f '(x ) 的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.
求：（Ⅰ）x 0的值；（Ⅱ）a , b , c 的值.
点拨 理解极值的意义和本质，借助导函数的图象来研究原函数的性质。 答案 x 0=1, a =2, b =-9, c =12
变式2 （2012陕西理7）设函数f (x ) =xe ，则（ ）
x
（A ） x =1为f (x ) 的极大值点 （B ）x =1为f (x ) 的极小值点 （C ） x =-1为f (x ) 的极大值点 （D ）x =-1为f (x ) 的极小值点
点拨求函数f (x ) 的导数，令f /(x ) =0，进而判断极大值和极小值。 答案 D
考点3 函数的最大、最小值与导数
典例1已知f (x ) =ax 3+bx 2-2x +c 在x =-2时有极大值6，在x =1时有极小值，求a 、b 、c 的值；
并求f (x ) 在区间[－3，3]上的最大值和最小值.
解题思路 先通过极值的意义求出a 、b 、c 的值，然后对函数y =f (x ) 的各极值与端点处的函数值
f (-3) 、f (3) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
解题过程f /(x ) =3x 2-x -2，令f /(x ) =0得x =-∵当x
2
或x =1. 3
22⎫⎛
或x >1时, f /(x ) >0∴y =f (x ) 在 -∞, -⎪和(1, +∞)上为增函数, 33⎭⎝
2
处有极大值, 在x =1处有极小值. 3
在 -, 1⎪上为减函数, ∴f (x ) 在x =-极大值为f (-3) =5
⎛2⎫⎝3⎭
22
, 而f (2) =7, ∴f (x ) 在[-1, 2]上的最大值为7. 27
若对于任意x ∈[-1, 2]都有f (x ) 7. 易错点拨 区别极值和最值，容易混淆，计算易出错。 变式 已知函数f (x ) =x 3+ax 2+bx +c 在x =-
（1）求a ，b 的值与函数f （x ）的单调区间
（2）若对x ∈[-1, 2]时，不等式f (x )
【方法提炼】 利用导数法求函数的单调区间，应按照求单调区间的一般步骤，注意函数单调性是函数在其定义域上的局部性质，函数的单调区间是函数的定义域的子区间，求函数单调区间时千万不要忽视函数的定义域．
作业：复习课本巧练模拟
2
2
与x=1时都取得极值。 3