3.2 数列的求和
[教学目的]：
1、通过一些特殊数列求和问题的学习，使学生掌握数列求和问题的基本解法(公式法、倒序法、错位相减法、通项展开法、裂项法、分组法) 。
2、帮助学生运用化归的思想方法，把特殊数列问题转化为常见的简单数列的问题。培养和提高学生观察问题、分析问题的能力及解题能力。
[教学重点]：
一些特殊的数列求和的问题，掌握典型问题的基本解法。
[教学难点]：
化归思想方法的运用，把特殊数列问题转化为常见简单数列的问题。
[教学过程]：
[知识复习]：
1、 回忆等差数列和等比数列的前n 项和公式？
2、 这两个公式分别是用什么方法推导得出的？
等差数列求和公式的推导方法是将要解决的问题通过“逆序求和”转化为常数列问题从而得到解决。
等比数列求和公式的推导则是利用“错项相减”的方法达到消去相同项的目的。
以上两种求和的思路在解决某些特殊数列求和问题时经常用到。这节课我们就来研究既非等差数列又非等比数列的一些特殊数列的求和问题。
[知识要点]:
1、 用求和公式
等差、等比数列求和公式
11+2+3+… …+n=n(n+1) 2
112+22+32+……+n2=n(n+1)(2n+1) 6
113+23+33+……+n3=n 2(n+1)2 4
2、 倒序相加求和法
根据推导等差数列前n 项和的方法，利用a 1+a n =a 2+a n -1= 得出。
3、 错位相减法
适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的新数列求和。
4、 拆项，裂项法
利用解析式变形，将一个数列分成若干个可以直接求和的数列，即进行拆项重组；或将通项分裂成两项或n 项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和。常 拆项公式有： 11 =1-111 =1(-) 111 =1(-)
a +=a +b (n =1) ⎧a (a -) a n =⎨1 ⎩S n -S n -1(n ≥2)
[例题分析]：
例1． 求数列9,99,999, ┅, 的前n 项和.
[同类变式]
1． 数列1,(1+2), ,(1+2+ +2n -1), , 的前n 项和为S n ，则S n 等于（ ）
(A ) 2n (B ) 2n -n (C ) 2n +1-n (D ) 2n +1-n -2
2． 1 2+24+38+ +101024=_____
[ 能力提高]求下列各式和：
n 个
（1） 4+0.44+0.444+┅+0. 44 4
22) 2+(a 3+) 2+ +(a n +) 2(a ≠±1, 0) （2） (a +) +(a +23n
例2． 已知数列a ,2a 2,3a 3, , na n , (a ≠0) , 求前n 项和
3n 2[同类变式]求和：1 +++ +n 2a a a
例3． 已知{a n }为等差数列，且公差为d ，试求数列：项之和
[同类变式]：
（1） 求和
（2） 已知数列{a
n }通项为a n =
[ 能力提高]求下列各式和：
（1）求数列1；前n 项和 +++ +的前n a 1a 2a 2a 3a 3a 4a n a n +11111, , , , , 1⨯32⨯43⨯5n (n +2) ，求数列的前n 项之和 }
1111（2）1, , , , +
⎧6n -5(n 为奇数) 例4．已知数列{a n }的通项a n =⎨n ，求其前n 项和S n ． (n 为偶数) ⎩2
解：奇数项组成以a 1=1为首项，公差为12的等差数列，
偶数项组成以a 2=4为首项，公比为4的等比数列；
n +1n -1当n 为奇数时，奇数项有项，偶数项有项， 22
n +1n -1(1+6n -5) 4(1-42) (n +1)(3n -2) 4(2n -1-1) ∴S n =， +=+21-423
n 当n 为偶数时，奇数项和偶数项分别有项， 2
n n (1+6n -5) 4(1-42) n (3n -2) 4(2n -1) ∴S n =， +=+21-423
⎧(n +1)(3n -2) 4(2n -1-1) +(n 为奇数) ⎪⎪23所以，S n =⎨． n ⎪n (3n -2) +4(2-1) (n 为偶数) ⎪23⎩
（1） 例3．
巩固练习：
1． 设数列1⨯3,2⨯4,3⨯5, , n (n +2), 的前n 项和为S n ，则S n 等于（ ）
n (n +1)(2n -1) n (n -1)(n -2) n (n -1)(2n +1) n (n 2-1) A ． B. C. D. 33
2． 数列{a n }中，a 1=-60且a n +1=a n +3，则这个数列前30项的绝对值的和是（ ） A.495
B. 765 . C. 3105 D. 2721
23． 数列{a n }的前n 项和S n =2n -3n +1，则a 4+a 5+a 6+ +a 10=（ ） A.171 B.
21 . C. 10 D. 161
24． 数列{a n }的前n 项和S n 与通项a n 满足关系S n =na n +2n -2n ，则a 100-a 10=（ ）
A. －90 B. －180 . C. －360 D. －400
5． 设f (x ) =，利用课本中推导等差数列前n 项公式的方法，求f(-5)+f(-4)+….+f(5)+f(6)2x +2
的值. （ ）
A.171 B. 21 . C. 10 D. 161
-1, 则前n 项和S ＝______ 6． 数列{a n }的通项为a n =2n
2n 2
7． sin 1+sin 2+sin 3+ +sin 89=_______
8． 数列{a n }的前n 项和S n =1-5+9-13+ +(-1) n -1(4n -3) ，则S 22-S 11=______
三、解答题
9． 求数列1,3+4,5+6+7,7+8+9+10,9+10+11+12+13,„的前n 项的和
22(2n ) 210． 求和： ++ +1⨯33⨯5(2n -1) ⨯(2n +1) 2 2 2 2
11． 数列{a n }的前n 项和S n =2n +p (p ∈R ) ，数列{b n }满足b n =log 2a n ，若{a n }是等比数列，
（1） 求p 的值及通项a n
（2） 求和T n =(b 1) 2-(b 2) 2+(b 3) 2„+(-1) n -1(b n ) 2(n ∈N *)
12． 是否存在常数a 、b 、c ，使等式
n (n +1) 12·+22·3+32·4+……+n2(n+1)=(an2+bn+c)对一切自然数n 都成立？并证明你12
的结论。
分析：这是一个开放性命题，可以从两个角度来解决。
解一：∵n 2(n+1)=n3+n2
∴12·2+22·3+…….+n2(n+1)
=(13+12)+(23+22)+(33+32)+……+(n3+n2)
=(13+23+33+……+n3)+(12+22+32+……+n2) 11=n 2(n+1)2+n(n+1)(2n+1) 46
1=n(n+1)[3n(n+1)+2(2n+1)] 12
1=n(n+1)[3n2+7n+2] 12
令a=3, b=7, c=2，则对任意n ∈N 。都有原命题成立。
解二：假设命题成立，在等式中令n=1, 2, 3, 得 1⋅2 12·2=(a+b+c) 12
2⋅3 12·2+22·3=(4a+2b+c) 12
3⋅412·+22·3+32·4=(9a+3b+c) 12
即 4a+2b+c=28
9a+3b+c=50
解之，得a=3, b=7, c=2
往下再用教学归纳法证明。
n (n +1) 12·2+22·3+32·4+„„+n2(n+1)=(3n2+7n+2) 12
对一切n ∈N 都成立。（略）