第20卷5期V o l . 20 No . 5
四川文理学院学报
S i c h u a n U n i v e r s i t y o f A r t s a n dS c i e n c e J o u r n a l
2010年09月S e p . 2010
玻尔兹曼分布与费米—狄拉克分布的统一
张 洁
(西华师范大学物理与电子信息学院, 四川南充637002)
摘 要:用数值方法讨论了玻尔兹曼分布和费米-狄拉克分布, 发现在一定的条件和范围内, 它们是相互统一的. 在研究这个统一时, 有两个影响因素:化学势和温度. 在温度稳定而化学势变化的情况下, 在化学势远大于0时, 两者差别比较大; 化学势较小时, 基本符合. 在化学势稳定而温度变化的情况下, 随着温度的增加, 费米—狄拉克分布几率更接近于玻尔兹曼分布几率.
关键词:玻尔兹曼分布; 费米—狄拉克分布; 温度; 化学势
中图分类号:O 413. 1 文献标志码:A 文章编号:1674-5248(2010) 05-0028-03
1 引言
物理量, 运用统计物理知识得到理想气体分子动能在仅考虑平均动能和在保守力场下的能量分布律, 得到了:
m 2∞=4v d v . 2
N ∫2πv d v 04π
2
2
m v 2
[2]
玻尔兹曼分布和费米—狄拉克分布都属于最概然统计. 统计物理中最概然理论分为三部分, 分别是玻尔兹曼统计、玻色统计和费米—狄拉克统计. 玻尔兹曼统计主要研究定域系统和满足经典极限条件的近独立粒子系统的平衡性质; 玻色统计和费米统计主要研究由近独立的玻色子和费米子组成的量子系统的平衡性质. 玻尔兹曼统计满足玻尔兹曼分布; 而费米统计满足由自旋为 /2的奇数倍的粒子组成的系统, 它的分布函数被称为费米—狄拉克分布; 玻色统计满足由自旋为 的整数倍的粒子组成的系统, 它的分布函数被称为玻色—爱因斯坦分布. 电子、质子、中子、中微子等都属于费米子, 光子, π介子, K 介子等属于波色子. 对这些基本问题的研究对于相关教学和科研都是有用的, 本文将用数值方法来讨论玻尔兹曼分布和费米—狄拉克分布的统一条件.
[1]
2m v
3
(1)
(1) 式其实就是麦克斯韦速率分布, 所以有时将玻尔兹曼能量分布又叫麦玻能量分布. 为了更清楚的看到玻尔兹曼分布, 将(1. 1) 式中速率积分元换成能量积分元, 因为ε=m 2m
v , d ε2v d v =m 22
1/2
2ε2
d v =d v , 将v 和d v =m m
1/2
-ε/kT
(2m ε) d ε代入式(1. 1) 中, 有
d N e
∞-ε
/kN ∫0e
-ε/k2ε
ε
2πεe
3/2. ε
(πk T )
(2)
(2) 式表示分子能量在ε到ε+d ε间隔内出现的概率, 遵循归一化条件. 我们将(2) 表示为
2ε-ε/kT
d f f ε) d εd ε, 1=B M (3/2e
k T ) (
1/2
(3)
2 玻尔兹曼分布和费米—狄拉克分布的基本公式
玻尔兹曼根据平衡时各态概率均等原理和概率归一化条件, 运用经典力学的观点把能量看成是可连续变化的
＊收稿日期:2010-05-28
其中d f 到ε+d ε几率, f ε) 为B o l t z -1表示粒子出现在εB M (m a n n 分布函数. T 表示温度, ε表示粒子动能(ε不包括静能) , k 是B o l t z m a n n 常数. 如果现在我们将其在0～∞区域进行积分, (3) 式变为
[3]
基金项目:国家自然科学基金资助项目(10778719) ; 四川省教育厅青年基金资助项目(09Z B 087, 07Z B 089) ; 西华师范大学校级基金资助项目(09A 004)
作者简介:张 洁(1979—) , 女, 山东人。讲师, 博士研究生, 主要从事天体物理研究。
-ε/kT
f f ε) d εd ε, 1=B M (3/2e
k T ) (
1/2
(4)
∞E E -1
n d E , e 3∫1
1+e x p [(E -μ-1) /kT ]λe e
λh /m c 为电子的C o m p t o n 波长. e =e
(7)
这里f 能量从0到无穷的粒子总几率. 由1的物理意义是:于归一化, f 1. 图1给出了不同温度下归一化的波尔兹1=曼分布函数, 可以发现温度越大
, 高能粒子所占比例越大.
如果要计算电子处在E 1和E 2之间的几率f 2, 则需要先算出E 1到E 2的积分, 得出之间的粒子数密度, 再除以总的数密度, 即
d e 1+e x p [(E -μ1) /kT ]e -f . 2E E -1∞
∫d E 1
1+e x p [(E -μ1) /k T ]e -E 2E 1
2
2
(8)
如果要算动能0. 02-0. 05M e V 的粒子几率, 先化成m c 为单位, 对应于0. 0391-0. 0978m c , 积分区间要包e e 括静止能量1m c , 所以E 0391m c 和e 1和E 2分别为1. e 1. 0978m c . 此外还要注意积分上限取法, 值偏大或偏少, e
图1 不同温度下归一化的波尔兹曼分布函数. 实线、
点线和长划线分别为温度0. 1M e V 、0. 3M e V 和0. 5M e V
2
2
2
都会造成数值积分的误差, 所以应该调大到最大的值, 然后左右调一点但是值不变就是它合理的上限.
下面以电子为例介绍费米—狄拉克分布, 由全同费米子组成的平衡理想气体, 其数密度为
g 3
n f p , e 3∫F D d
h
(5)
3 数值结果和分析
[4-8]
表1给出了在不同温度和化学势下玻尔兹曼分布和费米—狄拉克分布的比较. 其中左列为温度k T =0. 5M e V , 电子动能0. 5-1M e V 的几率; 右列为k T =0. 05M e V , 电子动能0. 05-0. 5M e V 的几率. f 1和f 2分别代表玻尔兹曼分布和费米—狄拉克分布的结果. 由于玻尔兹曼分布不受化学势的影响, 故化学势变化保持恒值; 费米—狄拉克分布的值随化学势减小而变大. 当温度较高, 如左列, 在化学势很小时, 它们的分布几率是相差不大的. 但随温度降低, 如右列, 它们偏离会增加. 随着k T 值的增大, 物态越接近于理想气体, 故两种分布几率越接近.
表1 在不同温度和化学势下玻尔兹曼分布和费米—狄拉克分布的比较
2
μ(m e c ) e
其中n 为电子数密度, g =2为电子的简并参数, f {1e F D =+e x p [(E -μ1) /K T ]}是费米—狄拉克分布函数, p 为e -动量. 我们可以发现相比于波尔兹曼分布, 费米-狄拉克分布中多了一个参量, 化学势μ, 即为电子气体的化学e 势, 可以理解为让电子产生或者消失所需要的能量. 图2是不同化学势的费米-狄拉克分布函数. 各向同性时(
5) 式为
k T=0. 5M e V
f f f 121/f2k T=0. 05M e V
f f f 121/f2
54321
0. 31090. 07294. 26440. 57220. 026721. 42210. 31090. 12302. 52860. 57220. 034716. 49140. 31090. 17071. 82170. 57220. 048311. 85370. 31090. 23531. 32150. 57220. 07167. 99580. 31090. 28291. 09910. 57220. 09835. 82210. 31090. 30771. 01050. 57220. 12484. 58550. 31090. 31430. 98920. 57220. 14463. 9583
图2 不同化学势的费米-狄拉克分布函数. 从左到右依次为μ, -0. 5, 0, 0. 5, 1m e c e =-1
2
2
0-1
p
n d p , e 32
h 1+e x p [(E -μ-m c ) /k T ]e e
2
22
24
(6)
化学势主要跟密度有关, 随密度增大而增大, 因此我们在处理物质由低密向高密方向发展时, 必须考虑什么时候费米-狄拉克分布和玻尔兹曼分布能够统一. 当然温度也是重要的影响因素, 在密度一定时, 化学势随温度增加而降低. 注意在处理费米—狄拉克分布时单位换算成m c e
2
其中, E 为电子的能量(包括静止质量) , 利用相对论质能公式有E =p c +m c . 为了简化, 把所有的能量以m c e e 为单位, 动量以m c 为单位, 上式化为e
2
很容易简化计算, m c =0. 511M e V , 如果玻尔兹曼分布用e 单位M e V , 注意它们的换算关系. 总之, 影响分布的是两个因素:温度和化学势. 当温度稳定而化学势变化的情况下,
2
在化学势远大于0时, 差别比较大; 化学势小时, 基本符合. 在化学势稳定而温度变化的情况下, 随着温度的增加, 费米—狄拉克分布几率越接近于玻尔兹曼分布几率.
参考文献:
[1]Wa t t s DJ , S t r o g a t z S H . C o l l e c t i v e d y n a m i c s o f `sm a l l -w o r l d ' n e t w o r k s [J ]. N a t u r e , 1998, (393) :440. [2]A l b e r t R , J e o n g H , B a r a b a s i AL . I n t e r n e t-D i a m e t e r o f t h e W o r l d -W i d e W e b [J ].N a t u r e , 1999, (401) :130. [3]B a r a b a s i AL , A l b e r t R .E m e r g e n c e o f s c a l i n gi nr a n d o mn e t w o r k s [J ]. S c i e n c e , 1999, (286) :509. [4]S t r o g a t z S H . E x p l o r i n gc o m p l e x n e t w o r k s [J ]. N a t u r e , 2001, (410) :1268.
[5]秦 洁, 于洪洁. 超混沌R o s s l e r 系统构成的星形网络的混沌同步[J ]. 物理学报, 2007, (56) :6828.
[6]H a k e n H . S y n c h r o n i z a t i o na n d p a t t e r n r e c o g n i t i o n i n ap u l s e -c o u p l e dn e u r a l n e t [J ]. P h y s i c a D , 2005, (205) :1. [7]高 洋, 等. 多重边融合复杂动态网络的自适应同步[J ]. 物理学报, 2008, (57) :2081.
[8]于洪洁, 郑 宁. 非线性函数耦合的C h e n 吸引子网络的混沌同步[J ]. 物理学报, 2008, (57) :4712.
[责任编辑 唐华生]
U n i f o r m B e t w e e nB o l t z m a n n D i s t r i b u t i o n a n dF e r m i -D i r a c D i s t r i b u t i o n
Z H A N GJ i e
(P h y s i c s a n dE l e c t r o n i c I n f o r m a t i o n I n s t i t u t e , C h i n a We s t N o r m a l U n i v e r s i t y , N a n c h o n g S i c h u a n 637002, C h i n a )
Ab s t r a c t :B o t h t h e B o l t z m a n nd i s t r i b u t i o na n dF e r m i-D i r a c d i s t r i b u t i o n a r e s t u d i e dw i t h a m e t h o do f n u m e r i c a l v a l u e . I t i s f o u n d t h a t i n c e r t a i n c o n d i t i o n s a n d r a n g e , t h e y a r e u n i f o r m . T h e r e a r e t w o f a c t o r s a f f e c t i n g t h e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n s :t h e c h e m i c a l p o t e n t i a l a n d t e m p e r a t u r e . T h e r e s u l t s s h o wt h a t , f o r a f i x e dt e m p e r a t u r e , t h e y a r e q u i t d i f f e r e n t a s c h e m i c a l p o t e n t i a l i s g r e a t e r t h a n z e r o , w h i l e c o i n c i d e n t w e l l a s c h e m i c a l p o t e n t i a l i s s m a l l .A n d f o r a f i x e d c h e m i c a l p o t e n t i a l , t h e i r d i f f e r e n c e d e c r e a s e s a s t e m p e r a t u r e i n c r e a s e s . Ke y w o r d s :B o l t z m a n nd i s t r i b u t i o n ; F e r m i -D i r a c d i s t r i b u t i o n