知识点 函数值域求法
1、直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
1
例1 求函数y = 的值域
x
1
解： x ≠0 ，∴ ≠0 显然函数的值域是：（ -∞，0 ）∪（0 ，+∞）。
x 例2 求函数y = 3 -x 的值域。
解： x ≥0 ∴- x ≤0 3- x ≤3 故函数的值域是：[ -∞，3 ]
2 、配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例1、求函数y=x 2-2x+5，x ∈[-1，2]的值域。
解：将函数配方得：y=（x-1）2+4， x ∈[-1，2]， 由二次函数的性质可知：
当x = 1时，y min = 4 当x = - 1，时y max = 8 故函数的值域是：[ 4 ，8 ] 例2、求函数y =2x -3+4x -13的值域。 解：y =
1
=
2
11
4x -6+24x -13=(4x -13)+24x -13+7 224x -13+1+3，所以y ≥
2
()[]
)
2
77
，故所求函数值域为[ ，+∞]
22
3 、判别式法
1+x +x 2
例1 求函数y = 的值域。 2
1+x
解：原函数化为关x 的一元二次方程（y-1 )x 2+（y - 1 ）x= 0
(1）当y ≠1时， x∈R ,△ = (-1)2-4(y-1)(y-1) ≥0
13
解得：≤y ≤
22
（2）当y=1，时 ，x = 0,而1∈[
1313
, ] 故函数的值域为[，] 2222
例2 求函数y=x+x (2-x ) 的值域。
解：两边平方整理得：2x 2-2（y+1）x+y2=0
x ∈R ，∴△=4（y+1）2-8y ≥0
解得：1-2≤y ≤1+2
但此时的函数的定义域由x （2-x ）≥0，得：0≤x ≤2。
由△≥0，仅保证关于x 的方程：2x 2-2（y+1）x+y2=0在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由△≥0求出的范围可能比y 的实
13
际范围大，故不能确定此函数的值域为[，]。可以采取如下方法进一步确定原函数的
22
值域。
0≤x ≤2，∴y=x+
x (2-x ) ≥0，∴
y
min
=0，y=1+2代入方程（1），解得：
2+2-222+2-22
时，原函数的值域为：[0，1+2]。 x 1=∈[0，2]，即当x 1=
22【注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的
定义域，将扩大的部分剔除。】 4、反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
3x +4
例1 求函数y=值域。
5x +6解：由原函数式可得：x =
4-6y 4-6y
则其反函数为：y =
5x -35y -3
33
其定义域为：x ≠ 故所求函数的值域为：（- ∞，）
55
5 、函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
e x -1例1求函数y = x 的值域。
e +1
解：由原函数式可得：e x =
y +1
y -1
e x ＞0，∴
y +1
＞0 解得：- 1＜y ＜1。 y -1
故所求函数的值域为( - 1 , 1 ) .
cos x
例2 求函数y = 的值域。
sin x -3
解：由原函数式可得：ysinx-cosx=3y 可化为：y 2+1 sinx（x+β）=3y
即 sinx（x+β）=
3y y +1
2
∵x ∈R ，∴sinx （x+β）∈[-1，1]。即-1≤
3y y +1
2
≤1
解得：-
2222≤y ≤ 故函数的值域为[-，]。 4444
x -5
6 、函数单调性法 例1 求函数y = 2解：令y 1=2
x -5
+log 3
x -1 （2≤x ≤10）的值域
x -1，则 y1 ， y 2在[ 2， 10 ]上都是增函数。 所以
，y 2= log
3
y= y1 +y 2在[ 2 ，10 ]上是增函数。 当x = 2 时，y min = 2-3+log
3
1
2-1= 当x = 10 时，y max = 25+log 38
=33。
1
故所求函数的值域为：[ ，33]。
8
例2 求函数y= x +1-x -1的值域。 解：原函数可化为： y=
2x +1+x -1
令y 1 = x +1，y 2= x -1，显然y 1 ，y 2在[1，+∞）上为无上界的增函数，所以y= y 1 +y 2在[1，+∞）上也为无上界的增函数。所以当x = 1时，y=y1 +y 2有最小值2，原函数有最大值
22
= 2。
显然y ＞0，故原函数的值域为( 0 , 2]。
7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。 例1、求函数y =x --2x 的值域。 解：由1-2x ≥0，得x ≤
1
。令-2x =t (t ≥0) 2
11-t 21-t 212
-t =-(t +1)+1，因为t ≥0，所以y ≤。故所求得x =，于是y =
2222
1
函数值域为[-∞， ]。
2
例2、求函数y =x -x 2+x 2的值域。
π⎫⎛
解：设x =sin α ≤⎪，则
2⎭⎝
1112⎛π⎫
y =sin αcos α+sin 2α=sin 2α+(1-cos 2α)=+sin 2α-⎪。
22224⎭⎝
⎡1-21+2⎤1-21+2
所以，故所求函数值域为⎢≤y ≤⎥。 2222⎣⎦
例3 求函数y = x + x -1的值域。 解：令x-1=t，（t ≥0）则x=t 2+1
13
∵y=t 2+t+1=(t +) 2+，又t ≥0，由二次函数的性质可知
24
当t=0时，y min = 1， 当t →0时，y →+∞。 故函数的值域为[ 1 ，+∞）。
例4求函数y =x+2+-(x +1) 2的值域 解：因1-(x +1) 2≥0 ，即(x +1) 2≤1 故可令x+1=cosβ，β∈[ 0 ，∏] 。
∴y=cosβ+1+-cos 2B =sinβ+cosβ+1=2sin （β+∏/ 4 ）+1 ∵0≤β≤∏，0 ≤β+∏/4≤5∏/4 ∴ -
2
≤sin （β+∏/4）≤1 2
∴ 0 ≤2sin （β+∏/4）+1≤1+2 故所求函数的值域为[0，1+2]。
x 3-x
例5 求函数 y=4的值域 2
x +2x +1
2x 1-x 21
解：原函数可变形为：y=-⨯ ⨯
21+x 21+x 2
2x 1-x 2
可令x=tgβ，则有=sin2β，=cos2β 2
1+x 21+x
11
sin2β⨯ cos2β= -sin4β 24
1
当β= k∏/2-∏/8时，y max =。
41
当β= k∏/2+∏/8时，y min = -
4
而此时tg β有意义。
11
故所求函数的值域为[-，] 。
44
例6 求函数y=（sinx+1）（cosx+1），x ∈[-∏/12∏/2]的值域。 解：y=（sinx+1）（cosx+1）=sinxcosx+sinx+cosx+1
1
令sinx+cosx=t，则sinxcosx=（t 2-1）
2
11
y = （t 2-1）+t+1= (t +1) 2
22
∴y=-
由t=sinx+cosx=2sin （x+∏/4）且x ∈[- ∏/12，∏/2] 可得：
2
≤t ≤2 2
2233
+2，当t=时，y=+ 2422233+ ，+2] 。 422
∴当t=2时，y max =
故所求函数的值域为[
例7求函数y=x+4+5-x 2的值域 解：由5-x ≥0 ，可得∣x ∣≤5 故可令x =cos β，β∈[0，∏]
y=5cos β+4+5sin β=sin （β+∏/4）+ 4 ∵ 0 ≤β≤∏， ∴ ∏/4≤β+∏/4≤5∏/4
当β=∏/4时，y max =4+，当β=∏时，y min =4-。 故所求函数的值域为：[4-5，4+]。
8 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题
目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例1 求函数y=
(x -2)
2
+
x +8)
2
的值域。
解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8
∣
上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2 ），B （- 8 ）间的距离之和。 由上图可知：当点P 在线段AB 上时，y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB ∣=10 当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时， y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB ∣=10 故所求函数的值域为：[10，+∞） 例2 求函数y=
x
2
-6x +13 +
x
2
2
+4x +5的值域
2
解：原函数可变形为：y=
(x -3) +(0-2) +(x +2)
2
+(0+1)
2
上
式可看成x 轴上的点P （x ，0）到两定点A （3，2），B （-2 ，-1 ）的距离之和，由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时， ymin =∣AB ∣=
3+2)
x
2
2
+(2+1) =43，
2
故所求函数的值域为[43，+∞）。 例3 求函数y=
-6x +13 -
x
2
2
+4x +5的值域
2
解：将函数变形为：y=
(x -3) +(0-2) -(x +2)
2
+(0-1)
2
上式可看成定点A （3，2）到点P （x ，0 ）的距离与定点B （-2，1）到点P （x ，0）的距离之差。即：y=∣AP ∣-∣BP ∣ 由图可知：（1）当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时，如点P ¹，则构成△ABP ¹，根据三角形两边之差小于第三边， 有 ∣∣AP ¹∣-∣BP ¹∣∣＜∣AB ∣=
(3+2) +(2-1)
22
= 26 即：-26＜y ＜26
（2）当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时， 有 ∣∣AP ∣-∣BP ∣∣= ∣AB ∣= 26。
综上所述，可知函数的值域为：（-26，-26]。 注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A ，B 两点在x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使两点A ，B 在x 轴的同侧。 如：例17的A ，B 两点坐标分别为：（3 ，2 ），（- 2 ，- 1 ），在x 轴的同侧； 例18的A ，B 两点坐标分别为：（3 ，2 ），（2 ，- 1 ），在x 轴的同侧。 9 、不等式法
利用基本不等式a+b≥2ab ，a+b+c≥33abc （a ，b ，c ∈R ），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例1 求函y=（sinx +1/sinx）+（cosx+1/cosx）的值域 解：原函数变形为：
y=（sin x +cos x ）+1/sin x +1/cos x = 1+ csc x +sec x = 3+tg x +ctg x ≥3
2
2
2
2
2
2
2
2
+
2
x ctg x + 2=5
2
当且仅当tgx=ctgx，即当x=k∏±∏/4时（k ∈z ），等号成立。 故原函数的值域为：[ 5，+∞）。
例2求函数y=2sinxsin2x的值 解：y=2sinxsinxcosx =4sin x cosx
2
y
2
=16sin x cos x
2
2
2
42
=8sin x sin x （2-2sin x ） ≤8（sin x +sin x +2- sin x ） =8[（sin x +sin x +2- sin x ）/3]
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
=
64 27
当且当sin x =2-2sin x ，即当sin x =时，等号成立。 由y ≤
2
648383，可得：-≤y ≤
2799
故原函数的值域为：[-
838，）。 99
10、多种方法综合运用 例1 求函数y=
x +2
的值域 x +3
解：令t=x +2 （t ≥0），则x+3=t 2+1 （1） 当t ＞0时，y=所以0＜y ≤
1
。 2
1
]。 2
11
≤， 当且仅当t=1，即x=-1时取等号 2
t +1/t 2
t +1
t
=
（2） 当t=0时，y=0。综上所述，函数的值域为：[0，注：先换元，后用不等式法。 例 2 求函数y=
1+x -2++1+2x +x
4
2
4
2
3
4
的值域。
解：y=
1-2+2
2
1+2x +x
+4
x +2
3
1+2x +x
=(4
1-x +x
) 2
1+x 1+x
2
2
2
β1-x =2β，x =1sin β，
令x=tg，则() cos 2
221+x 2
2
2
1+x
2
∴y=cos β+ =-(sin
2
112
sin β=-sin β+ sin β+1 22
1+17 β-) 16
4
∴当sin β=
117
时，y max =。当sin β=-1时，y min =-2。 416
β17
此时tg 都存在，故函数的值域为：［－２，］。
216
【注：此题先用换元法。后用配方法，然后再运用sin β的有界性。】
课上习题
一、选择题
⎧log 2x (x >0) 1
1. 已知函数f (x ) =⎨x ，则f ［f （）］的值是
43(x ≤0) ⎩
A.9
1
B. C. -9
91
D. -
9
x
⎧⎫⎪⎪⎛1⎫
2. 若集合S =⎨y |y = ⎪-1, x ∈R ⎬, T ={y |y =log 2(x +1), x >-1}，则S T 等
⎪⎪⎝2⎭⎩⎭
于
A ．{0} B．{y |y ≥0} C．S D．T 3. 下列函数中值域是（0，+∞）的函数是
A. y =5
12-x
1
B.y =
() 1-x C.y =
D.
2
y =
4. 定义在R 上的函数y =f (x ) 的值域为［a ，b ］, 则f (x +1) 的值域为
A. ［a , b ］ B.［a +1,b +1］ C.［a －1, b －1］ D.无法确定
2
5. 函数y =的定义域是(-∞，1) [2,5]，则其值域是
x -1
11
A.(-∞,0) [,2] B.(-∞,2) C.(-∞, ) [2,+∞]
22
D.(0,+∞)
6. 函数y =lg[x 2+(k +3) x +4]的值域为R ，则实数k 的取值范围是
A ．-7≤k ≤1 B ．k ≤-7或k ≥1 C．-1≤k ≤7 D ．k 1
11
7. 已知函数f (x ) 满足2f (x ) -f () =, 则f (x ) 的最小值是
x |x |
A ．2 B．22 C．8. 函数y =|x -3|-|x +1|
2
3
D ．
22
3
A. 最小值为0，最大值为4 B.最小值为-4，最大值为0 C. 最小值为-4，最大值为4 D.没有最大值，也没有最小值 9. 已知f (2x +1) 的最大值为2，f (4x +1) 的最大值为a ，则a 的取值范围是 A ．a 2 C．a =2 D．以上三种均有可能
111
10. 已知a >0, b >0, a 、b 的等差中项是, 且α=a +, β=b +, 则α+β的最小
2a b
值是 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
11-x 2
-2x , f [g (x )]=2(x ≠0) , 则f () = 11. 已知g (x ) =1
2x
A ．15
二、填空题：
B ．1 C ．3 D ．30
1112
14. 定义在R 上的函数f (x ) 满足关系式:f (+x ) +f (-x ) =2, 则f () +f ()
2288
7
+ +f () 的值等于________
8
) (2=．15. 已知函数f (x ) 对一切实数a ，b , 均满足f (a +b ) =f (a ) ⋅f (b ) ，且f 1则
f 2() 3) (f
+f 1) (2() f 4() f
3) (f 2(007) f
+2(006) f
16. 设f (x ) =
ax +b
（a >0）的值域为[-1，4]，则a , b 的值为_________ 2
x +1
x ≤0⎧2x +3
⎪
17. 函数y =⎨x +301⎩
18．已知a , b 为常数，若f (x ) =x 2+4x +3, f (ax +b ) =x 2+10x +24, 则5a -b =
三、解答题：
19. 求下列函数的值域
4（1）y =2； x -4x -5
（2）y =-x +-2x ；
（3）y =2x -1 x
2x 2+bx +c (b
21．设函数f (x ) =x 2+x -1， 4
（1）若定义域为[0，3]，求f (x ) 的值域；
11（2）若定义域为[a , a +1]时，f (x ) 的值域为[-, ]，求a 的值. 216
.
课外习题
⎧-1(x >0) (a +b ) +(a -b ) ⋅f (a -b ) (a ≠b ) 的值为 1. 设函数f (x ) =⎨，则2⎩1(x
A. a
2．函数f (x ) =B. b C.a 、b 中较小的数 D.a 、b 中较大的数 19∑x -n 的最小值为
n =1
A ．190 B．171 C ．90 D ．45
3．求下列函数的值域
23x +1y =(x ≤1) （3
）y =2x +4）
（1）y =2） y =x +4 22+x x -2
4．已知x , y ≥0, 2x +y =6，求Z =4x 2+3xy +y 2-6x -3y 的最值。
5．求下列函数的值域
2sin x x 2-x y =y =（1）y =1-x （2）（3） x +224-2+52-cos x x -x +1
x +1x 2+3(x >-1) 呢？ (x >-1) 的最值？y =26. 如何求函数y =x +3x +1
7．求下列函数的值域
x 2+1(x ≥2) （2
）y =2x -（1）f (x ) =x
（3）y =|x -1|+|x +4| （4）y =
8. 已知函数：f (x ) =x +1-a (a ∈R 且x ≠a ) a -x 1-sin x 2-cos x
（1）证明：f (x ) +2+f (2a -x ) =0对定义域内的所有x 都成立.
（2）当f (x ) 的定义域为[a +1
2, a +1]
（3）设函数g (x ) =x 2+|(x -a ) f (x ) |,
时，求证：f (x ) 的值域为[-3, -2]；求g (x ) 的最小值