06、基本知识 怎样推导压杆的临界力和临界应力公式（供参考） 同学们学习下面内容后，一定要向老师回信（[email protected]），说出你对本资料的看法（收获、不懂的地方、资料有错的地方），以便考核你的平时成绩和改进我的工作。回信请注明班级和学号的后面三位数。
1
* 问题的提出及其对策 . .......................................................................................................... 1
1.1 问题的提出及其对策 . ....................................................................................................... 1 1.2 压杆稳定分析概述——与强度、刚度分析对比 ............................................................ 2 压杆临界压力F cr 的计算公式 . ................................................................................................ 3 2.1 压杆稳定的力学模型——弯曲平衡 . ............................................................................... 3 2.2梁的平衡理论——梁的挠曲微分方程 . ............................................................................ 4 2.3 按梁的平衡理论分析两端铰支的压杆临界压力 ............................................................ 6 2.4 按梁的平衡理论分析一端固定一端自由的压杆临界压力 ............................................ 8 2.5 按梁的平衡理论分析一端固定一端铰支的压杆临界压力 .......................................... 10 2.6 按梁的平衡理论分析两端固定的压杆临界压力 .......................................................... 14 2.7 将四种理想压杆模型的临界力公式及其推导分析图示的汇总 ................................ 18
2
1
* 问题的提出及其对策
1.1 问题的提出及其对策
试计算长度为400mm ，宽度为10mm ，厚度为1mm 的钢锯条，在一端固定、一端铰支的情况下，许用的轴向压力。材料的许用应力为160MPa 。 解：1、按轴向拉压强度计计算
σ=
F N F N
=≤[σ]=160MPa =160N /mm 2 A 20mm ⨯1mm
F N ≤20mm ⨯1mm ⨯160N /mm 2=3200N =3. 2kN
2、按压杆稳定临界力公式计算
I Z =
13153
bh =⨯20mm ⨯(1mm )=mm 4 12123
F CR
π2EI π2⨯200000MPa ⨯10mm 4
===12. 28N 22
μl 2⨯400mm ⨯3
分析：1、按轴向拉压杆的强度条件计算结果，该钢板尺可以安全承压3.2kN 。这是一
2
个什么概念呢？一袋水泥重50kg ，对应重力W =mg =50kg ⨯10m /s =500N ，即该钢
板尺可以安全承压6.4袋水泥，这显然是不可能的。
2、按压杆稳定临界力计算公式的结果，该钢板尺在承压12.28N 时，就可能变弯了。这又是一个什么概念呢？一小袋食盐重0.5kg ，对应重力W =mg =0. 5kg ⨯10m /s 2=5N ，即该钢板尺当承压两袋半食盐时，就可能由直线平衡状态，转变为弯曲平衡状态了。这与实际情况差不多。
结论：对于钢板尺这样的细长杆件，在承受压力时，一定不要用轴向拉压强度条件来判断它的安全承载力，这会出大问题的。需要按弯曲平衡建立力学模型，按梁的理论来分析。
1.2 压杆稳定分析概述——与强度、刚度分析对比
在材料力学里，分析杆件的强度、刚度和稳定性是十分重要的课题，它们是材料力学的核心内容。
压杆的稳定性分析，与强度和刚度的分析的侧重面不同。
在强度和刚度分析中，重点在推导工作量的计算公式，如：轴向拉压杆的拉压应力
扭转的剪
轴向
工作量。
而在强度条件工作应力≤许用应力和刚度条件工作应变≤许用应变表达式不等号大于端的许用值（用方括号括起来的量），如
[σ]、[τ]和[∆l ]、[ϕ]、[y ]、[θ]等，
其中，两种许用应力是由材料试验获得，并由各种规范所确认；各种许用变形值的大小，则与结构的功能（性质、用途等）分不开。
位于不等号然而，在稳定性分析中，
大于端≤的许用值
[σcr ]中的压杆临界应力σcr 。
杆在失稳之前是轴向受压杆。
式中的压杆临界应力与材料无关，它是实
际的、具体的“压杆装置”的函数，对每一根压杆都要单独计算才行。
因此，压杆稳定分析的重点是针对各种各样的“压杆装置”，提出几种简化的力学计算模型，然后从理论上推导出它们的临界压力F cr 计算公式，分析计算出临界压力F cr 后，按
临界压力F cr 代替轴力F N ，即可得到压杆的临界
2
压杆临界压力F cr 的计算公式
2.1 压杆稳定的力学模型——弯曲平衡
生活和生产的常识告诉我们：压杆在承受的压力比较小时，处于直线平衡状态；当压力逐渐增大到某一值时，压杆会突然变弯，处于微弯曲的平衡状态，称为临界平衡；当压力超过某一值时，压杆会突然变弯折断，退出工作。
使压杆处于临界平衡的压力称为临界压力。计算表明，临界压力远远小于按轴向拉压杆计算得出的许用压力。
如：一根长300mm ，宽20mm ，厚1mm 的钢板尺，设其材料的许用应力为160Mpa ，则按轴向拉压杆强度公式计算，σ=
F
≤[σ]，F ≤A [σ]=20⨯1⨯160=3200N ，即该钢A
板尺可以安全地承受3200N 的压力。然而，常识告诉我们，把钢板尺直立于桌面上，轻轻用手指一压它就会弯曲。这种现象在力学上称为失稳（丧失稳定性），它可用压杆稳定理论予以说明。
如果将钢板尺按力学模型：两端铰支的压杆装置，进行压杆稳定计算，可得到丧失稳定的压力为F cr =的实际值。
π2EI
l
2
=
π2⨯200000MPa ⨯1. 67mm 4
300mm 2
=36. 7N ，此值接近于钢板尺变弯
bh 320mm ⨯(1mm )==1. 67mm 4。得到钢板尺丧失稳定的压力式中的惯性矩I z =1212
3
为36.7N ，仅是按强度计算的安全压力的1/87。差异如此之巨，我们得高度重视。
以上的计算结果表明，对于较长的压杆，按强度计算存在极大的风险。事实上，生活常识告诉我们，压杆越长越容易变弯而丧失稳定性，因此，对于较长的压杆，按强度计算是违背事实的，必须另辟蹊径，寻找压杆稳定分析的力学模型。
究其原因，在强度计算中，钢板尺处于直线平衡状态，属于轴向拉压变形，应该用杆的轴向拉压理论来分析；而压杆稳定分析的研究对象是处于微弯平衡状态，属弯曲变形，显然，应该用梁的理论来分析。
下面先谈谈梁的平衡理论，然后，分别就1、两端铰支、2、一端固定一端自由、3、一端固定一端铰支、4、两端固定，这四种压杆力学模型进行力学、数学分析。
2.2梁的平衡理论——梁的挠曲微分方程
图2-2-1说明梁的挠曲微分方程的来历和相关量的正负号规定。可一目了然。分析是从
梁的dx
y ''1+(y ')2
3/2
M (x )= EI
1+(y ')y ''
平坦曲线
23/2
≈±y ''
M
dx 梁段弯曲及挠曲线
按左图得：y ''=-
M (x )
梁的挠曲微分方程
EI
注1：正弯矩箭头指向y 负。
注2：正曲率曲线凸向y 负。图示为负曲率。
图2-2-1梁的挠曲微分方程
在下面的图2-2-2中，四种压杆装置（两端铰支、一端固定一端自由、一端固定一端铰支和两端固定）的力学模型，及其三种状态（稳定平衡、临界平衡和丧失稳定）可一目了然。
l=2l
1-1稳定平衡
1-2临界平衡
1-3丧失稳定
微弯曲线半个正弦波为μl=l 模型1两端铰支的压杆装置
2-1稳定平衡 2-2临界平衡
2-3丧失稳定
微弯曲线半个正弦波为μl=2l
模型2一端固定一端自由的压杆装置
3-1稳定平衡
3-2临界平衡
3-3丧失稳定
微弯曲线半个正弦波为μl=0.7l
模型3一端固定一端铰支的压杆装置
4-1稳定平衡
4-2临界平衡 4-3丧失稳定
微弯曲线半个正弦波为μ
l=0.5l
模型4两端固定的压杆装置
图2-2-2 四种典型压杆的力学模型及其三种状态
图2-2-3则是四种压杆模型在临界状态下的支反力种类及其真实方向，亦可一目了然。 模型1两端铰支
注1：模型1、2为静定结构
注2：模型3、4为超静定结构，其支反力种类由支座形式确定；方向由变形曲线确定：弯矩箭头指向挠曲线的凹侧；剪力可参考悬臂梁受集中力的情况，即剪力指向恰恰与弯矩指向相反。如下图所示：
M 悬臂梁挠曲线与支反力方向关系
F 模型2一端固定一端自由
模型4两端固定
模型3一端固定一端铰支
图2-2-3 四种典型压杆微弯平衡支反力及其真实方向
上述内容对于分析压杆，正确设置压杆两端支反力的方向和转向，导出临界应力公式十分重要，否则，压杆两端支反力的方向和转向设定错误，将无法导出正确的临界力公式。请
读者好好加深理解。
2.3 按梁的平衡理论分析两端铰支的压杆临界压力
为了确定长l 、两端铰支的细长压杆AB 临界力，研究图2-3-1。设作用在杆上端的压力恰为临界力F=Fcr ，杆处于临界平衡状态。临界平衡状态有两种形式：直杆平衡和微弯平衡 ，即临界平衡状态具有分叉特性，形态不唯一。在这里，不能以直线平衡为研究对象（在轴向拉压变形里研究过，并在2.1节什么它不能够解释钢板尺等压杆突然变弯的现象。），而应该以微弯平衡状态作为力学模型，才能够体现出压杆临界平衡的本质特征（这与前面研究轴向拉压、扭转、弯曲都不同，那里杆处于直线平衡状态）。
2.3.1 截面弯矩表达式
F =F
y
临界微弯平衡 x 截面内力分析 cr
图2-3-1两端铰支压杆临界力分析
两端铰支压杆装置：下端固定铰支端有2个约束反力（F NA 、F QA ），上端链杆支座有1个约束反力（F QB ），共3个约束反力未知数（F NA 、F QA 和F QB ），而一根杆件只能够建立三个平衡方程，求解三个未知数。故，两端铰支压杆装置是静定结构，支座反力完全可以用临界力F cr 来表达。
如图2-3-1所示，由图中x 长的粱段平衡，可得距原点为x 、挠度为y 的任意截面上弯矩为
M (x )=F y (2. 3-1)
M (x )=F cr y (2. 3-1)
2.3.2 压杆微弯平衡微分方程的建立及其通解 在小变形条件下，如果杆内应力不超过材料的比例应力σp ，AB 杆弯曲后的挠曲线可以
在如图2-3-1所示坐标系下，挠曲线的近似微分方程为
a ）可写为
令
这是一个常系数二阶齐次线性微分方程，其通解是 y =A sin kx +B cos kx (d )
式中，A 、B 是积分常数，k 为待定值。它们由压杆两端的约束情况而定。
2.3.3 利用压杆两端边界条件确定通解中的常数，从而导出压杆临界力F cr
对于两端铰支的压杆，A 端边界条件：x=0、y=0，将其代入（d ）可得B=0，于是通解（c ）改写为 y =A sin kx (e )
再由B 端边界条件：x=l、y=0，将其代入（e ）得 A sin kl =0 (f ) 若要满足（f ），只有两种可能：A=0 或 sinkl =0。从问题的力学意义来看，若A=0，则通解（e ）成为y=0，这表示杆AB 没有弯曲，与压杆处于微弯状态的前提条件相矛盾。因此，只有 sin kl =0 (g ) 成立。
要（g ）成立，必须 kl =n π (n =0, 1, 2, 3 ) (h )，即kl =0, π，2π, 3π (h ')
0π2π(b )F cr
k =, , =由此得
(i ') l l l EI
n 2π2EI π2EI 4π2EI (n =0, 1, 2, 3 ) (j )，即F cr =0, 2, (j ') F cr =22
l l l
从理论上讲，n 是任意的整数，故临界力F cr 的数值有很多个。但是，从工程实际出发，
有意义的是F cr 的最小值，因为荷载一达到此值时，压杆就会丧失稳定性。取n 的最小值时，不能取n=0，因为此时的F cr =0，成为没有意义的结果。故有意义的最小值应取n=1，于是
得到两端铰支压杆装置的临界力为
（2.3-2）式亦称，欧拉公式。值得注意的是，压杆总是在抗弯能力最弱的纵向平面内弯曲
失稳，所以公式中的惯性矩I 应该取其横截面的最小惯性矩I min 。
从公式（2.3-2）可以得出，临界力F cr 与杆长l 的平方成反比。这就是说，杆越细长，其临界力越小，即压杆越容易失稳。
现在又得出，两端铰支细长压杆的长度系数μ=1。
长度系数μ是微弯曲线的半个正弦波长与压杆压杆长度之比，故在这里μ=1表示两端铰支细长压杆微弯曲线的半个正弦波长恰好等于杆长。
2.3.4 将k 值代入微分方程通解，从而导出压杆挠曲线方程 从上面的推导，还可以得到压杆处于临界状态时，压杆的微弯挠曲线表达式。此时，n=1
，y =
A sin kx (e )式，得
两端铰支细长压杆失稳时的挠曲线为 即0~l对应一条半
波正弦曲线。当x=l/2时，y=A，常数A 是半波正弦曲线的中点位移。其值充分小。但A 无定值，它随干扰力大小而异。
2.3.5 两端铰支压杆临界力公式推导的图示小结
F N =Fcr
y
x 截面内力分析
M (x )=F cr y (2. 3-1)
临界微弯平衡
图2-3-1两端铰支压杆临界力分析
2.4 按梁的平衡理论分析一端固定一端自由的压杆临界压力
为了确定长l 一端固定一端自由的细长压杆AB 临界力，研究图2-4-1。设作用在杆上
端的压力恰为临界力F=Fcr ，杆处于临界平衡状态。临界平衡状态有两种形式：直杆平衡和微弯平衡 ，即临界平衡状态具有分叉特性，形态不唯一。在这里，不能以直线平衡为研究对象（在轴向拉压变形里已经研究），而应该以微弯平衡状态作为力学模型，才能够体现出压杆临界平衡的本质特征（这与前面研究轴向拉压、扭转、弯曲都不同，那里杆处于直线平衡状态）。
2.4.1 截面弯矩表达式
’ F N
y
F cr
δ M x =-F cr δ-y 2. 4-1
临界微弯平衡 x 截面内力分析
图2-4-1一端固定一端铰支压杆临界力分析
一端固定一端自由压杆装置，下端为固定支座有3个约束反力（F NA 、F QA 、M A ），上端自由，没有约束反力，压杆装置共3个约束反力未知数（F NA 、F QA 和M A ），而一根杆件只能够建立三个平衡方程，求解三个未知数。故，一端固定一端自由压杆装置是静定结构，支座反力完全可以用临界力F cr 来表达。
如图2-4-1所示，由图中x 长的粱段平衡，可得距原点为x 、挠度为y 的任意截面上弯矩为
()()()
M (x )=-F cr (δ-y ) (2. 4-1)
2.4.2 压杆微弯平衡微分方程的建立及其通解 在小变形条件下，如果杆内应力不超过材料的比例应力σp ，AB 杆弯曲后的挠曲线可以
用梁的弯曲变形公式来表达。在如图2-4-1所示坐标系下，挠曲线的近似微分方程为
a ）可写为
令 这是一个常系数二阶非齐次线性微分方程（在前面研究过的两端铰支对应的是齐次二阶微分
方程）。
其对应的常系数二阶齐次线性微分方程通解是 y *=A sin kx +B cos kx (d ) 式中，A 、B 是积分常数，k 为待定值。它们由压杆两端的约束情况而定。
原非齐次线性微分方程的一个特解是 y **=δ (d )，其中δ也是待定值。 原常系数二阶非齐次线性微分方程的通解等于齐次微分方程通解与非齐次特解之和，即
y =y *+y **=A sin kx +B cos kx +δ (e )
2.4.3 利用压杆两端边界条件确定通解中的常数，从而导出压杆临界力F cr
把一端固定一端自由的压杆下端A （固定端）的边界条件：x=0、y=0、y ’=0，代入（e ）和它的一阶导数中，
y 0=B +δ=0，得 B =-δ，代入（e ）有
y
(e ), B =-δ
=
A sin kx -δcos kx +δ (f )
2
'=Ak =0，k =y '=Ak cos kx +δk sin kx ，y 0
y =δ(1-cos kx ) (g )
(f )
(f )
(a )F
cr
EI
≠0，所以A =0，代入（f ）得
再把一端固定一端自由的压杆上端B （自由端）的边界条件：x=l、y=δ，代入（g ）中，
y l =δ(1-cos kl )=δ，得cos kl =0 (h )，于是 kl =
从工程实际出发，有意义的是F cr 一端固定一端自由压杆装置的临界力为
(g )
π
3π
22,
, =l
(a )
F cr
(i ) EI
（2.3-2）式亦称，欧拉公式。值得注意的是，压杆总是在抗弯能力最弱的纵向平面内弯曲失稳，所以公式中的惯性矩I 应该取其横截面的最小惯性矩I min 。
将公式（2.4-2）与（2.3-2（2.4-2）可以改写为如下
形式
前面已经求得，两端铰支细长压杆的长度系数μ=1，表示两端铰支细长压杆的杆长恰好对应着它的微弯曲线的半个正弦波长。现在又得出，一端固定一端自由细长压杆的长度系数μ=2。
长度系数μ是微弯曲线的半个正弦波长与压杆压杆长度之比，故在这里μ=2表示一端固定一端自由细长压杆微弯曲线的半个正弦波长为杆长的2倍。
y =
δ(1-cos kx ) (g )，得一端固定一端铰支
细长压杆失稳时的挠曲线为 当x=l时，y=δ，常数δ是微弯曲线（半个半波余弦）的幅值，压杆自由端（顶端）位移。其值充分小。但无定值。它随干扰力大小而异。
2.4.5 一端固定、一端自由压杆临界力公式推导的图示小结
M x =-F cr δ-y 2. 4-1
’ F N
y
F cr δ 临界微弯平衡 x 截面内力分析
()()()
图2-4-1一端固定一端铰支压杆临界力分析
2.5 按梁的平衡理论分析一端固定一端铰支的压杆临界压力
为了确定长l 一端固定一端铰支的细长压杆AB 临界力，研究图2-5-1。设作用在杆上端的压力恰为临界力F=Fcr ，杆处于临界平衡状态。临界平衡状态有两种形式：直杆平衡和微弯平衡 ，即临界平衡状态具有分叉特性，形态不唯一。在这里，不能以直线平衡为研究对象（在轴向拉压变形里已经研究），而应该以微弯平衡状态作为力学模型，才能够体现出压杆临界平衡的本质特征（这与前面研究轴向拉压、扭转、弯曲都不同，那里杆处于直线平
衡状态）。
2.5.1 截面弯矩表达式
F M (x )=F cr y -F Q A (l -x ) (2. 5-1)
Q (x)
y
F QA F QA =FM =F A M A
图2-5-1一端固定一端铰支压杆临界力分析
一端固定一端铰支压杆装置，下端为固定支座有3个约束反力（F NA 、F QA 、M A ），上端为链杆支座有1个约束反力（F QB ），共4个约束反力未知数（F NA 、F QA 、M A 和F QB ），而一根杆件只能够建立三个平衡方程，求解三个未知数。
现有4个约束反力未知数和3个平衡方程，还差1个方程，这必须根据变形条件建立1个补充方程。
故，一端固定一端铰支压杆装置是一次超静定结构。在它的任意横截面弯矩表达式中，必然存在1个与临界力F cr 不能够直接相关的未知反力（如F QA ）。
如图2-5-1所示，由图中x 长的粱段平衡，可得距原点为x 、挠度为y 的任意截面上弯矩为
M (x )=F cr y -F Q A (l -x ) (2. 5-1)
2.5.2 压杆微弯平衡微分方程的建立及其通解
由于有1个与临界力F cr 不能够直接相关的未知力，故通过梁的挠曲平衡方程建立的二阶平衡方程式必然是非齐次二阶微分方程，这会给求解临界力造成一点困难（在前面研究过的两端铰支压杆装置（静定结构）对应的是齐次二阶微分方程，一端固定一端自由压杆装置（静定结构）对应的是非齐次二阶微分方程）。
在小变形条件下，如果杆内应力不超过材料的比例应力σp ，AB 杆弯曲后的挠曲线可以用梁的弯曲变形公式来表达。在如图2-5-1所示坐标系下，挠曲线的近似微分方程为
a
）可写为 令 这是一个常系数非齐次二阶线性微分方程，因为存在自由项（指与y 无关的项）
k 2
F QA (l -x )F cr
。
数学知识告诉我们，（a ）式对应的齐次方程通解是 y *=A sin kx +B cos kx (d ) 式中，A 、B 是积分常数，k 为待定值。它们由压杆两端的约束情况而定（F QA 则无法确定）。
（a ）式对应的非齐次方程特解是 y
**
=
F QA (l -x )F cr
(d )
于是，非齐次方程通解为
2.5.3 利用压杆两端边界条件确定通解中的常数，从而导出压杆临界力F cr
把一端固定一端铰支的压杆下端A （固定端）的边界条件：x=0、y=0、y ’=0，代入（f ）式和它的一阶导数中，可得待定常数A 、B 的表达式（g ）和（i ）。
y
0=B +
(f ), x =0
F QA l F cr
=0
对（f ）求导，有
(h ), x =0
'=Ak -y
F QA F cr
=0再把一端固定一端铰支的压杆上端B （铰支端）的边界条件：x=l、y=0，代入（f ）式中，可得待定常数A 和B 之间的关系式（k ）。
y l =A sin kl +B cos kl =0，A sin kl +B cos kl =0 (j )
最后，
(f ), x =l
代入上端边
值条件A sin kl +B cos kl =0 (j )，即可求得临界力表达式（2.5）
F QA kF cr
sin kl -
F QA l F cr
cos kl =0，sin kl -kl cos kl =0，tan kl =kl (k )
为求得满足（l ）式的kl 最小值，以便求出压杆的临界力，现用试凑法求解。经过几次试凑，取kl=257.453397°=4.493409448弧度，代入（k ）得
tan 257. 453397︒=4. 49340952=4. 493409448+0. 0000004=kl
取kl=4.493409，有 (kl )
2
(b )
2
F cr 24. 493409EI π2EI 2
=l =4. 49340，9F cr =≡22
EI l μl
即一端固定一端铰支压杆装置的临界力为
（2.5）式亦称，欧拉公式。值得注意的是，压杆总是在抗弯能力最弱的纵向平面内弯曲失稳，所以公式中的惯性矩I 应该取其横截面的最小惯性矩I min 。
将公式（2.5-1）与（2.3-1
统一表达式。
（2.5-1）可以改写为如下
前面已经求得，两端铰支细长压杆的长度系数μ=1；一端固定一端自由细长压杆的长度系数μ=2。现在又得出，一端固定一端铰支细长压杆的长度系数μ=0.7。
长度系数μ是微弯曲线的半个正弦波长与压杆压杆长度之比，故在这里μ=0.7表示一端固定一端铰支细长压杆微弯曲线的半个正弦波长为杆长的0.7。
2.5.4
将k 值代入微分方程通解，从而导出压杆挠曲线方程
⎛
π⎫2
k = ⎪⎝0. 7l ⎭
2
F QA l ⎛0. 7x ⎫y =sin kx -cos kx -+1⎪ F cr
⎝πl ⎭
一端固定一端铰支细长压杆失稳时的
挠曲线方程为
式中F 是压杆上下端的水平约束反力，是一次超静定结构中无法由平衡方程所确定的。
2.5.5 一端固定、一端铰支压杆临界力公式推导的图示小结
F M (x )=F cr
y -F Q A (l -x ) (2. 5-1)
F QA M A
Q (x)
y
F QA =FM A =F图2-5-1一端固定一端铰支压杆临界力分析
2.6 按梁的平衡理论分析两端固定的压杆临界压力
为了确定长l 两端固定的细长压杆AB 临界力，研究图2-6-1。设作用在杆上端的压力
恰为临界力F=Fcr ，杆处于临界平衡状态。临界平衡状态有两种形式：直杆平衡和微弯平衡 ，即临界平衡状态具有分叉特性，形态不唯一。在这里，不能以直线平衡为研究对象（在轴向拉压变形里已经研究），而应该以微弯平衡状态作为力学模型，才能够体现出压杆临界平衡的本质特征（这与前面研究轴向拉压、扭转、弯曲都不同，那里杆处于直线平衡状态）。
2.6.1 截面弯矩表达式
= FQA =Fcr B =MA -F QA l
F =F
= FQA
(x)
F M (x )=F y -M +F x (2. 6-1)
F cr
cr
A
Q A
F cr
图2-6-1两端固定压杆临界力分析
两端固定压杆装置，下端为固定端有2个约束反力和1个约束反力偶（F NA 、F QA 和M A ），上端为固定端有2个约束反力和1个约束反力偶（F NB 、F QB 和M B ），共6个约束反力未知数（F NA 、F QA 、M A 和F NB 、F QB 、M B ），而一根杆件只能够建立三个平衡方程，求解三个未知数。有6个约束反力未知数和3个平衡方程，还差3个方程，这必须根据变形条件建立3个补充方程，故，两端固定压杆装置是3次超静定结构。
在它的任意横截面弯矩表达式中，可能存在3个未知反力（如：F NA 、F QA 、M A ）与临界力F cr 不能够直接相关联，但是，F NA =FNB =FCR ，故，只有F QA 和M A 不能够直接与临界力F cr 相关联。
如图2-6-1所示，由x 长的粱段平衡，可得距原点为x 、挠度为y 的任意截面上弯矩为
M (x )=F cr y -M A +F Q A x (2. 6-1)
2.6.2 压杆微弯平衡微分方程的建立及其通解
由于有两个与临界力F cr 不能够直接相关的未知力，故通过梁的挠曲平衡方程建立的二阶平衡方程式必然是非齐次二阶微分方程，这会给求解临界力造成一点困难（在前面研究过的两端铰支压杆装置（静定结构）对应的是齐次二阶微分方程，一端固定一端自由压杆装置（静定结构）对应的是非齐次二阶微分方程，一端固定一端铰支压杆装置（超静定结构）对应的是非齐次二阶微分方程）。
在小变形条件下，如果杆内应力不超过材料的比例应力σp ，AB 杆弯曲后的挠曲线可以用梁的弯曲变形公式来表达。在如图2-6-1所示坐标系下，挠曲线的近似微分方程
M A -F QA x ⎫d 2y (a ), (2. 6-1) F cr ⎛d 2y M (x ) ⎪=-y - (b ) ()=- a 具体表达为22 ⎪EI ⎝F cr dx EI dx ⎭
b ）可写为
令
这是一个常系数非齐次二阶线性微分方程，因为存在自由项（指与y 无关的项）
k 2
M A -F QA x
F cr
。
数学知识告诉我们，（b ）式对应的齐次方程通解是 y =A sin kx +B cos kx (e )
*
式中，A 、B 是积分常数，k 为待定值。它们由压杆两端的约束情况而定（M A 、F QA 则无法
确定，是超静定结构的冗力）。
（b ）式对应的非齐次方程特解是 y **=
M A -F QA x
F cr
(f )
于是，非齐次方程通解为
2.6.3 利用压杆两端边界条件确定通解中的常数，从而导出压杆临界力F cr
把一端固定一端铰支的压杆下端A （固定端）的边界条件：x=0、y=0、y ’=0，代入（g ）式和它的一阶导数中，可得待定常数A 、B 的表达式（h ）和（j ）。
(g ), x =0
y
0=B +
M A
=0F cr
对（g ）求导，有
(i ), x =0
'=Ak -y
F QA F cr
=0再把一端固定一端铰支的压杆上端B （铰支端）的边界条件：x=l、y=0，代入（g ）式和它的一阶导数（i ）中，可得待定常数A 和B 之间的关系式（k 和l ）。
(i ), x =l
F QA F cr
y
l '=Ak sin kl -Bk cos kl -
=0最后，
。 2.6-2）
M A -F QA l M A
由（h ）、（j ）代入（k ）得sin kl -cos kl +=0
kF cr F cr F cr
F QA
F Q A
sin kl -M A k cos kl +k (M A -F Q A l )=0由（h ）、（j ）代入（l ）得
F QA M A k cos
kl +k sin kl =kF cr F cr F cr
由（m ）=（n ）得 (kl -sin kl )sin kl =(1-cos kl )
2
F QA
kl sin kl -sin 2kl =1-2cos kl +cos 2kl ，2-2cos kl -kl sin kl =0 (0)
显然，各值能够满足（0）式。应该取最小的非零值kl =2π, 于是
(c )
(kl )
2
=(2π)=
2
F cr 2
l ，得 EI
两端固定压杆的临界力公式
（2.6-2）式亦称，欧拉公式。值得注意的是，压杆总是在抗弯能力最弱的纵向平面内
弯曲失稳，所以公式中的惯性矩I 应该取其横截面的最小惯性矩I min 。
前面已经求得，两端铰支细长压杆的长度系数μ=1；一端固定一端自由细长压杆的长度系数μ=2；一端固定一端铰支细长压杆的长度系数μ=0.7。现在又得出，两端固定细长压杆的长度系数μ=0.5。
长度系数μ是微弯曲线的半个正弦波长与压杆压杆长度之比，故在这里μ=0.5表示两端固定细长压杆微弯曲线的半个正弦波长为杆长的一半。
2.6.4 将k 值代入微分方程通解，从而导出压杆挠曲线方程
⎛π⎫2
k = ⎪⎝0. 5l ⎭
2
F QA
M A -F QA x M A y =sin kx -cos kx +
kF cr F cr F cr
y =
F QA F cr
M EI Fcr
sin x -A cos F cr EI F cr
M A -F QA x Fcr
x +， EI F cr
两端固定细长压杆失稳时的挠曲线方程为
式中F QA 是压杆上下端的水平约束反力，M A 是压杆下端的约束反力偶。这2个未知量是两
端固定细长压杆2次超静定结构，无法由平衡方程所确定的。
为什么说两端固定细长压杆不是3次超静定结构？因为两端都固定了，是没有办法压弯的，故模型中必须假设上端固定支座是可以向下移动的，也就是说上端不是固定支座，而是定位支座（滑移支座），这样上端仅有2个未知反力，两端固定细长压杆是2次超静定结构。这样在它的挠曲线方程中，不是3个无法确定的广义力，而是两个。
2.6.5 两端固定压杆临界力公式推导的图示小结
= FQA =Fcr
M (x )=F cr y -M A +F Q A x (2. 6-1) B =MA -F QA l
= FQA F =F
2.7 将四种理想压杆模型的临界力公式及其推导分析图示的汇总
F =F y
x 截面内力分析
M (x )=F cr y (2. 3-1)
临界微弯平衡
图2-3-1两端铰支压杆临界力分析
’ F N M (x )=-F cr (δ-y ) (2. 4-1)
y
F cr δ
临界微弯平衡 x 截面内力分析
图2-4-1一端固定一端铰支压杆临界力分析
F M (x )=F cr y -F Q A (l -x ) (2. 5-1)
Q (x) y
= FQA =Fcr B =MA -F QA l
= FQA
M (x )=F cr y -M A +F Q A x (2. 6-1)
M A -F QA x ⎫d 2y (a ), (2. 6-1) F cr ⎛ ⎪=-y - (b ) 2 ⎪EI F dx cr ⎝⎭
A
F =F
(x)
F F cr
F cr
图2-6-1两端固定压杆临界力分析