反函数性质在解高考题中的应用
本文旨在由反函数的概念给出反函数问题的几个引申性质，再列举近几年高考试题进行分类解析，供同学们学习时参考．
一、反函数的几个性质
１． 原象与象的惟一互对问题．
设函数ｆ（ｘ）存在反函数ｆ－１（ｘ），若函数ｆ（ｘ）将定义域Ａ中的元素ａ映射成值域Ｃ中的元素ｂ，则它的反函数ｆ－１（ｘ）恰好将值域Ｃ中的元素ｂ惟一还原成Ａ中的元素ａ，即ｆ（ａ）＝ｂ ｆ－１（ｂ）＝ａ．
２． 定义域与值域的互换问题．
若函数ｆ（ｘ）定义域为Ａ，值域为Ｃ，则它的反函数ｆ－１（ｘ）的定义域为Ｃ，值域为Ａ，即反函数的定义域和值域分别是原函数的值域与反函数的定义域．
３． 图象的对称问题．
在同一直角坐标系中，互为反函数的两个函数的图象关于直线ｙ＝ｘ对称，反之亦然．
４． 奇偶性问题．
奇函数ｙ＝ｆ（ｘ）（ｘ∈Ａ）若存在反函数，则它的反函数ｙ＝ｆ－１（ｘ）（ｘ∈Ｃ）也是奇函数．
５． 单调性问题．
若函数ｙ＝ｆ（ｘ）（ｘ∈Ａ）是单调函数，则它的反函数ｙ＝ｆ－１（ｘ）（ｘ∈Ｃ）也是单调函数，且它们的单调性相同． 单调函数
一定具有反函数，但反之不一定成立，如函数ｆ（ｘ）＝具有反函数，但它在整个定义域范围内不是单调函数．
二、应用
１． 求反函数的函数值或值域
例１ （２００４年北京春招试题）若ｆ－１（ｘ）为函数ｆ（ｘ）＝ｌｇ（ｘ＋１）的反函数，则ｆ－１（ｘ）的值域是＿＿＿＿＿＿＿＿．
分析 根据互为反函数的两个函数的定义域与值域的互换关系，由性质２可知ｆ－１（ｘ）的值域为（－１，＋∞）．
２． 求反函数的定义域
例２ （１９９９年上海高考试题）函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ＋１（ｘ≥４）的反函数ｆ－１（ｘ）的定义域是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
分析 ∵ ｘ≥４， ∴ ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ＋１≥ｌｏｇ＋１＝３． 由反函数的性质（２）可知，反函数ｆ－１（ｘ）的定义域是函数ｆ（ｘ）的值域，即填 ３，＋∞）．
３． 确定反函数的图象
例３ （２０００年北京春招试题）函数ｆ（ｘ）＝＋２（ｘ≥０）的反函数ｆ－１（ｘ）的图象是（ ）
分析 已知函数关系式可变形为ｘ＝（ｙ－２）２（ｘ≥０，ｙ≥２），它的图象是以（０，２）为顶点，以ｙ＝２为对称轴，开口向右的抛
物线的上半支，由反函数的性质（３）可知，函数ｆ－１（ｘ）的图象是以（２，０）为顶点，以ｘ＝２为对称轴，开口向上的抛物线的右半支，故选（Ｃ）．
４． 确定反函数的奇偶性和增减性
例４ （１９９２年全国高考试题）函数ｙ＝的反函数是（ ） （Ａ）奇函数，它在（０，＋∞）上是减函数
（Ｂ）偶函数，它在（０，＋∞）上是减函数
（Ｃ）奇函数，它在（０，＋∞）上是增函数
（Ｄ）偶函数，它在（０，＋∞）上是增函数
分析 本题若是直接考查其反函数ｆ－１（ｘ）＝ｌｎ（ｘ＋）（ｘ∈Ｒ）的奇偶性和单调性，虽然可行，但很复杂，有悖于考查能力命题的初衷． 由于已知函数是奇函数，且在区间（０，＋∞）和（－∞，０）上都是增函数，由反函数的性质（４）和性质（５）可知，其反函数既是奇函数，又是增函数，故选（Ｃ）．
以上问题主要考查反函数的概念及性质，要求对反函数与原函数的联系有深刻透彻的理解，并注意数形结合思想及方程思想的合理运用
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