学科：数学
专题：一元二次方程整数根问题
重难点易错点解析
题一：
题面：已知关于x 的一元二次方程x 2﹣bx +c =0的两根分别为x 1=1，x 2=﹣2，则b 与c 的值分别为（ ）
A ．b =﹣1，c =2 B ．b =1，c =﹣2 C ．b =1，c =2 D ．b =﹣1，c =﹣2
金题精讲
题一：
题面：k 取何值时，方程x 2+(k +1) x +(k +4) =0有两个相等的实数根? 并求出这时方程的根．
满分冲刺
题一：
题面：已知x 1, x 2是一元二次方程(a -6) x +2ax +a =0的两个实数根．
（1）是否存在实数a ，使-x 1+x 1x 2=4+x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；
（2）求使(x 1+1)(x 2+1) 为负整数的实数a 的整数值．
题二：
题面：求证：无论k 为何值，方程x -2(2k -1) x +4k (k -1) +3=0都没有实数根．
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课后练习详解
重难点易错点解析
题一：
答案：D
详解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣bx +c =0的两根分别为x 1=1，x 2=﹣2， ∴x 1+x 2=b =1+(﹣2)=﹣1，x 1•x 2=c =1×(﹣2)=﹣2．
∴b =﹣1，c =﹣2．故选D ．
金题精讲
题一：
答案：当k =5时，方程为：x 2+6x +9=0，x 1=x 2=-3
当k =-3时，方程为：x 2-2x +1=0，x 1=x 2=1
详解：根据题意，得b 2-4ac =(k +1) 2-4(k +4) =0, k 2-2k -15=0, k 1=5, k 2=-3. 当k =5或k =-3时，原方程有两个相等的实数根．
当k =5时，方程为：x 2+6x +9=0, x 1=x 2=-3
当k =-3时，方程为：x 2-2x +1=0, x 1=x 2=1．
满分冲刺
题一：
答案：（1）成立；（2）a 的整数值有12，9，8，7．
详解：（ 1）成立．
∵x 1, x 2是一元二次方程(a -6) x 2+2ax +a =0的两个实数根， ∴由根与系数的关系可知，x a
1x 2=a -6, x +x 2a
12=-a -6；
∵一元二次方程(a -6) x 2+2ax +a =0有两个实数根，
∴△=4a 2－4（a －6）•a ≥0，且a -6≠0，解得，a ≥0，且a ≠6．
由-x 1+x 1x 2=4+x 2得x 1x 2=4+x 1+x a 2
2，即a -6=4-a
a -6．
解得，a =24＞0，且a －6≠0．
∴存在实数a ，使-x 1+x 1x 2=4+x 2成立，a 的值是24．
2
（2）∵(x 1+1)(x 2+1) =x 1⋅x 2+x 1+x 2+1=a
a -6-2a
a -6+1=-6
a -6，
∴当(x 1+1)(x 2+1) 为负整数时，a －6＞0，且a －6是6的约数． ∴a －6=6，a －6=3，a －6=2，a －6=1．∴a =12，9，8，7．
∴使(x 1+1)(x 2+1) 为负整数的实数a 的整数值有12，9，8，7． 题二：
答案：方程x 2-2(2k -1) x +4k (k -1) +3=0都没有实数根．
详解：∵b 2-4ac =[-2(2k -1)]2-4[4k (k -1) +3]
=4(4k 2-4k +1) -4(4k 2-4k +3)
=4(4k 2-4k +1-4k 2+4k -3)
=4⨯(-2) =-8
∴无论k 为何值，方程x 2-2(2k -1) x +4k (k -1) +3=0都没有实数根．
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