行程问题答案及详解

关于行程问题

一、为什么小学生行程问题普遍学不好?

1、 行程问题的题型多,综合变化多。

行程问题涉及的变化较多,有的涉及一个物体的运动,有的涉及多个物体的运动。涉及两个物体运动的,又有“相向运动”(相遇问题)、“同向运动”(追及问题)和“相背运动”(相离问题)三种情况。行程问题每一类型题的考察重点都不一样,往往将多种题型综合起来考察。比如遇到相遇问题关键要抓住速度和,追击问题则要抓住速度差,流水行船中的相遇追及问题要注意跟水速无关等等。

2、 行程问题要求学生对动态过程进行演绎和推理。

奥数中静态的知识学生很容易学会。打个比方,比如数线段问题,学生掌握了方法,依葫芦画瓢就行。一般情况,静态的奥数知识,学生只要理解了,就能容易做出来。行程问题难就难在过程分析是动态的,甲乙两个人从开始就在运动,整个过程来回跑。学生对文字题描述的过程很难还原成对应的数学模型,不画图,习惯性的在脑海里分析运动过程。还有的学生会用手指,用橡皮模拟,转来转去往往把自己都兜晕了还是没有搞明白这个过程,更别说找出解题所需要的数量关系了。

二、行程问题“九大题型”与“五大方法”

很多学生对行程问题的题型不太清楚,对行程问题的常用解法也不了解,那么我给大家归纳一下。

1、九大题型:

⑴简单相遇追及问题;⑵多人相遇追及问题;⑶多次相遇追及问题;⑷变速变道问题;⑸火车过桥问题;⑹流水行船问题;⑺发车问题;⑻接送问题;⑼时钟问题。 2、五大方法:

⑴公式法:包括行程基本公式、相遇公式、追及公式、流水行程公式、火车过桥公式,这种方法看似简单,其实也有很多技巧,使用公式不仅包括公式的原形,也包括公式的各种变形形式,而且有时条件不是直接给出的,这就需要对公式非常熟悉,可以推知需要的条件。 ⑵图示法:在一些复杂的行程问题中,为了明确过程,常用示意图作为辅助工具。示意图包括线段图、折线图,还包括列表。图图示法即画出行程的大概过程,重点在折返、相遇、追及的地点。另外在多次相遇、追及问题中,画图分析往往也是最有效的解题方法。 ps:画图的习惯一定要培养起来,图形是最有利于我们分析运动过程的,可以说图画对了,意味着题也差不过做对了30%!

⑶比例法:行程问题中有很多比例关系,在只知道和差、比例时,用比例法可求得具体数值。更重要的是,在一些较复杂的题目中,有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的,在没有具体数值的情况下,只能用比例解题。

ps:运用比例知识解决复杂的行程问题经常考,而且要考都不简单。

⑷分段法:在非匀速即分段变速的行程问题中,公式不能直接适用。这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段,在每一段中用匀速问题的方法去分析,然后再把结果结合起来。 ⑸方程法:在关系复杂、条件分散的题目中,直接用公式或比例都很难求解时,设条件关系最多的未知量为未知数,抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解。

ps:方程法尤其适用于在重要的考试中,可以节省很多时间。

⑹假设法:在速度发生变化、或提前(晚)出发等数值发生变化的的行程问题中,假设速度没变或时间统一,往往非常起到意想不到的效果,极其有利于解决行程问题。

三、怎样才能学好行程问题? 因为行程的复杂,所以很多学生已开始就会有畏难心理。所以学习行程一定要循序渐进,不要贪多,力争学一个知识点就要能吃透它。学习奥数有四种境界: 第一种:课堂理解。就是说能够听懂老师讲解的题目。

第二种:能够解题。就是说学生听懂了还能做出作业。

第三种:能够讲题。就是不仅自己会做,还要能够讲给家长听。

第四种:能够编题。就是自己领悟这个知识了,自己能够根据例题出题目,并且解出来。 其实大部分学生学习奥数都只停留在第一种境界(有的甚至还达不到),能够达到第三种境界的学生考取重点中学实验班基本上没有什么问题了。而要想在行程上一点问题没有,则要求学生达到第四种境界。即系统学习,还要能深刻理解,刻苦钻研。而这四种境界则是学习行程的四个阶段,或者说是好的方法。

建议一:不论是什么问题,在学习之前有必要对于要学的东西有个纵向的了解,要系统地梳理一遍,这样有系统,有方向,学习的时候也不会迷茫。一般这个步骤需要家长和老师一起帮助孩子完成。这样把大的目标分为不同的小的目标,各个击破,孩子也会有信心。同时发现问题时,也可以有针对性的进行解决。

建议二:需要强调一点,就是在学习过程中不能捡芝麻丢西瓜,简言之就是要在每学一个知识的时候,都要对学过的知识进行练习。一定要要重视总结,把行程问题进行分类比较,这样孩子对于行程问题的理解会上升一个新的高度。

建议三:在学习过程中,可以积累孩子的错题,以便日后观察孩子在此部分知识点学习过程中的薄弱环节,这样我们以后的计划会更有针对性。在制定计划时慢慢的达到量身定做的效果。

行程问题的典型例题

行程问题中最基本的公式就是 路程=速度×时间,任何行程问题,不管是多么“波澜起伏或者是一波三折”,他的本质都是研究路程、速度、时间三者的关系,在此基础上衍生出其他问题,在每一个方面或几个方面发生了细微的改变。

类型一:相遇问题

相遇问题强调的是一个“和”的思想,两人在时间统一的前提下,路程和=速度和×时间。 当然他的使用,不仅仅局限于相遇这个现象,只要这个题目知道了“和”,我就可以利用这个公式进行求解。

【例 1】AB两地900米,甲乙两人在A处同时向B点出发,甲的速度60米/分,乙的速度40米/分,甲到达B地后立即返回,返回途中与乙相遇,甲乙两人多长时间相遇? 解:路程和=900×2=1800(米)

速度和=60+40=100(米/分)

相遇时间=1800÷100=18(分钟)

上面讲的是比较基本的相遇,到了高年级,可能等多的会涉及到多次或者是多人相遇。下面来说说多次相遇。

方法一:运用倍比关系解多次相遇问题 1. 两地相向出发:

第1次相遇,共走1个全程; 第2次相遇,共走3个全程; 第3次相遇,共走5个全程; „„„„, „„„„„„; 第N次相遇,共走2N-1个全程;

注意:除了第1次,剩下的次与次之间都是2个全程。即甲第1次如果走了N米,以后每次都走2N米。

2. 同地同向出发:

第1次相遇,共走2个全程; 第2次相遇,共走4个全程; 第3次相遇,共走6个全程; „„„„, „„„„„„; 第N次相遇,共走2N个全程;

3、多人多次相遇追及的解题关键 多次相遇追及的解题关键 几个全程

【例 2】 甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出,第一次在离A地95千米处相遇.相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回,第二次在离B地25千米处相遇.求A、B两地间的距离是多少千米?

【解析】 画线段示意图(实线表示甲车行进的路线,虚线表示乙车行进的路线):

可以发现第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离,第二次相遇意味着两车共行了三个A、B两地间的距离.当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时,甲车行了95千米,当它们共行三个A、B两地间的距离时,甲车就行了3个95千米,即95×3=285(千米),而这285千米比一个A、B两地间的距离多25千米,可得:95×3-25=285-25=260(千米).

【例3】小王、小李二人往返于甲、乙两地,小王从甲地、小李从乙地同时出发,相向而行,两人第一次在距甲地3千米处相遇,第二次在距甲地6千米处相遇(只算迎面相遇),则甲、乙两地的距离为 千米.

【解析】第一次相遇走了1个3千米,第二次相遇走了3个3千米即3×3=9(千米) 9+6=15(千米)——两个全程 15÷2=7.5(千米)

继续上面多次相遇问题,解多次相遇问题的工具——柳卡

柳卡图,不用基本公式解决,快速的解法是直接画时间-距离图,再画上密密麻麻的交叉线,按要求数交点个数即可完成。折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”,“相遇的地点”,以及“由相遇的地点求出全程”,使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。

【例4】 甲、乙两人在一条90米的直路上来回跑步,甲的速度3米/秒,乙的速度2米/秒。如果他们同时分别从直路的两端A、B两点出发,当他们跑12分钟,共相遇了多少次?(从出发后两人同时到达某一点算作一次相遇)。

【分析】 多次相遇,如图所示,甲用实线表示,乙用虚线表示。

在180秒内,甲、乙共相遇5次,最后又回到出发的状态。

【例5】甲、乙两人在一条长为30米的直路上来回跑步,甲的速度是每秒1米,乙的速度是每秒0.6米.如果他们同时分别从直路的两端出发,当他们跑了10分钟后,共相遇几次?

【解析】 采用运行图来解决本题相当精彩!

首先,甲跑一个全程需要30÷1=30(秒),乙跑一个全程需要30÷0.6=50(秒).与上题类似,画运行图如下(实线表甲,虚线表示乙,那么实虚两线交点就是甲乙相遇的地点): 从图中可以看出,当甲跑5个全程时,乙刚好跑3个全程,各自到了不同两端又重新开始,这正好是一周期150秒.在这一周期内两人相遇了5次,所以两人跑10分钟,正好是四个周期,也就相遇5×4=20(次)

备注:一个周期内共有5次相遇,其中第1,2,4,5次是迎面相遇,而第3次是追及相遇.

有些多次相遇的题目可以根据速度比m:n,设路程为m+n份。举个例子。

【例6】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,并在A、B两地间不断往返行驶。已知甲车速度是15千米/时,乙车速度是25千米/时,甲乙两车第一次相遇地点与第二次相遇地点之间相差100千米。A、B两地相距多少千米?(从出发后两人同时到达某一点算作一次相遇)。 【分析】甲车速度是15千米/时,乙车速度是25千米/时,甲、乙两车的速度之比为15:25=3:5 将A、B两地平均分成8小格,甲每走3小格,乙就走5小格; 如图所示,C1、C2分别表示第1、2次相遇的地点;

其中第一次相遇地点与第二次相遇地点之间相差4小格;

每小格的长度为100÷4=25千米;所以A、B两地相距25×8=200千米。

说了多次相遇,再来说说多人的相遇问题即多人行程。这类问题主要涉及的人数为3人,主要考察的问题就是求前两个人相遇或追及的时刻,第三个人的位置,解题的思路就是把三人问题转化为寻找两两人之间的关系。

【例7】甲、乙、丙三人行路,甲每分钟走60米,乙每分钟走50米,丙每分钟走40米。甲从A地,乙和丙从B出发相向而行,甲和乙相遇后,过了15分钟又与丙相遇,求A、B两地的距离。

【解析】3人相遇问题。先画图分析

整个题目说了两个相遇过程。

第一次相遇:甲和乙相遇。两人一共走了一个全程。 因此全程=(甲的速度+乙的速度)×时间 发现相遇的时间不知道。

第二次相遇:甲和丙的相遇。前提是“甲乙相遇后,再过15分钟”。发现走的路程是CD。 因此CD的距离=(甲的速度+丙的速度)×时间 =(60+40)×15=1500(米)

但是我们的目标是要求出甲乙相遇的时间,发现CD是在这段时间里乙、丙的路程差。 因此时间=路程差÷速度差=1500÷(50-40)=150(分钟) 因此全程=(60+50)×150=110×150=16500(米)

类型二:火车过桥

过桥问题是行程问题的一种。首先要弄清列车通过一座桥是指从车头上桥到车尾离桥。列车过桥的总路程是桥长加车长,这是解决过桥问题的关键。过桥问题也要用到一般行程问题的基本数量关系:

过桥问题的一般数量关系是: 过桥的路程 = 桥长 + 车长 车速 = (桥长 + 车长)÷过桥时间 通过桥的时间 =(桥长 + 车长)÷车速 桥长 = 车速×过桥时间 — 车长 车长 = 车速×过桥时间 — 桥长 后三个都是根据第二个关系式逆推出的。

火车通过隧道的问题和过桥问题的道理是一样的,也要通过上面的数量关系来解决。 火车在行驶中,经常发生过桥与通过隧道,两车对开错车与快车超越慢车等情况.

后三个都是根据第二个关系式逆推出的.

对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目,在分析题目的时候一定得结合着图来进行. 两列火车的"追及"情况,请看下图:

【例8】两人沿着铁路线边的小道,从两地出发,两人都以每秒1米的速度相对而行。一列火车开来,全列车从甲身边开过用了10秒。3分后,乙遇到火车,全列火车从乙身边开过只用了9秒。火车离开乙多少时间后两人相遇?

分析 根据题意图示如下:

A1、B1 分别表示车追上甲时两人所在地点, A2、B2 分别为车从甲身边过时两人所在地点, A3、B3 分别为车与乙相遇时两人所在地点,A4、B4分别为车从乙身边开过时两人所在地点。要求车从乙身边开过后甲乙相遇时间用A4到B4之间的路程除以两人速度和。 解:(1)求车速

(车速-1)×10=10×车速-10=车长 (车速+1)×9 = 9×车速+ 9=车长 比较上面两式可知车速是每秒19米。

(2)A3到B3的路程,即车遇到乙时车与甲的路程差,也是甲与乙的相距距离。 (19-1)×(10+190)=3420(米)

(3)A4到B4的路程,即车从乙身边过时甲乙之间的路程。 3420-(1+1)×9=3402(米)

(4)车离开乙后,甲乙两人相遇的时间为 3402÷(1+1)=1701(秒) 答:火车离开乙1701秒后两人相遇

【走进赛题】

1、铁路旁的一条平行小路上,有一行人与一骑车人同时向南行进。行人速度为3.6千米/小时,骑车人速度为10.8千米/小时。这时有一列火车从他们背后开过来,火车通过行人用22秒,通过骑车人用26秒。这列火车的车身总长是多少米?(第三届“迎春杯”第二题第1题)

2、一个人站在铁道旁,听见行近来的火车汽笛声后,再过57秒钟火车经过他面前.已知火车汽笛时离他1360米;(轨道是笔直的)声速是每秒钟340米,求火车的速度?(得数保留整数) (第4届“从小爱数学”竞赛第8题)

3、某人沿着铁路边的便道步行,一列客车从身后开来,在身旁通过的时间是15秒钟,客车长105米,每小时速度为28.8千米.求步行人每小时行多少千米?(第3届“祖冲之杯”数学竞赛第3题)

4、一条单线铁路上有A,B,C,D,E 5个车站,它们之间的路程如图所示(单位:千米).两列火车同时从A,E两站相对开出,从A站开出的每小时行60千米,从E站开出的每小时行50千米.由于单线铁路上只有车站才铺有停车的轨道,要使对面开来的列车通过,必须在车站停车,才能让开行车轨道.因此,应安排哪个站相遇,才能使停车等候的时间最短.先到这一站的那一列火车至少需要停车多少分钟?(第6届“迎春杯”数学竞赛第6题)

【走进赛题】

1、286米 2、22秒 3、3.6千米/小时 4、D站 5分钟

行程问题加难试题

1. 如图21-l,A至B是下坡,B至C是平路,C至D是上坡.小张和小王在上坡时步行速度是

每小时4千米,平路时步行速度是每小时5千米,下坡时步行速度是每小时6千米.小张和小王分别从A和D同时出发,1小时后两人在E点相遇.已知E在BC上,并且E至C的距离是B至C距离的.当小王到达A后9分钟,小张到达D.那么A至D全程长是多

51

少千米?

【分析与解】 BE是BC的

45

15

,CE是BC的,说明DC这段下坡,比AB这段下坡所用的时间

多,也就是DC这一段,比AB这一段长,因此可以在DC上取一段DF和AB一样长,如下图:

另外,再在图上画出一点G,使EG和EC一样长,这样就表示出,小王从F到C.小张从B到G.

小王走完全程比小张走完全程少用9分钟,这时因为小张走C至F是上坡,而小王走F至C是下坡(他们两人的其余行程走下坡、平路、上坡各走一样多). 因此,小王从F至C,走下坡所用时间是9÷

⎛6

-1⎪=18(分钟). ⎝4⎭

因此得出小张从B至G也是用18分钟,走GE或CE都用6分钟.走B至C全程(平路)要30分钟.

从A至曰下坡所用时间是60-18-6=36(分钟); 从D至C下坡所用时间是60-6=54(分钟); A至D全程长是(36+54)×

2. 如图2l-2,A,B两点把一个周长为l米的圆周等分成两部分.蓝精灵从B点出发在这个

圆周上沿逆时针方向做跳跃运动,它每跳一步的步长是

38

660

+30×

560

=11.5千米.

米,如果它跳到A点,就会经过

特别通道AB滑向曰点,并从B点继续起跳,当它经过一次特别通道,圆的半径就扩大一倍.已知蓝精灵跳了1000次,那么跳完后圆周长等于多少米? 【分析与解】

38

×4=

32

即蓝精灵跳4次到A点.圆半径扩大一倍即乘以2后,跳8次到A

点.

圆半径乘以4后,跳16次到A点.

依次类推,由于4+8+16+32+64+128+256+492=1000,所以有7次跳至A点.

3.已知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同;猫跑7步的路程与兔跑5步的路程相同.而猫跑3步的时间与狗跑5步的时间相同;猫跑5步的时间与兔跑7步的时间相同,猫、狗、兔沿着周长为300米的圆形跑道,同时同向同地出发.问当它们出发后第一次相遇时各跑了多少路程?

【分析与解】由题意,猫与狗的速度之比为9:25,猫与兔的速度之比为25:49.

设单位时间内猫跑1米,则狗跑

狗追上猫一圈需300÷(

兔追上猫一圈需300÷(25949

25259米,兔跑4925米. -1)= -1)= 6754625

2单位时间, 单位时间.

的整数倍,又是625

2 猫、狗、兔再次相遇的时间,应既是

675

46754的整数倍. 与625

2的最小公倍数等于两个分数中,分子的最小公倍数除以分母的最大

⎡675625⎤⎡⎣675,625]16875,==公约数,即⎢=8437.5. ⎥2⎦2(4,2)⎣4

上式表明,经过8437.5个单位时间,猫、狗、兔第一次相遇.此时,猫跑了8437.5米,狗跑了

8437.5×

4.一条环形道路,周长为2千米.甲、乙、丙3人从同一点同时出发,每人环行2周.现有自行车2辆,乙和丙骑自行车出发,甲步行出发,中途乙和丙下车步行,把自行车留给其他人骑.已知甲步行的速度是每小时5千米,乙和丙步行的速度是每小时4千米,3人骑车的速度都是每小时20千米.请你设计一种走法,使3个人2辆车同时到达终点.那么环行2周最少要用多少分钟?

【分析与解】 如果甲、乙、丙均始终骑车,则甲、乙、丙同时到达,单位“1”的路程只需时间1

20259=23437.5米,兔跑了8437.5×4925=16537.5米. ;乙、丙情况类似,所以先只考虑甲、乙,现在甲、乙因为步行较骑车行走单位“1”路程,耽搁的时间比为:

1⎫⎛11⎫⎛1-:- ⎪ ⎪=3:4 520420⎝⎭⎝⎭

而他们需同时出发,同时到达,所以耽搁的时间应相等.于是步行的距离比应为耽搁时间的倒数比,即为4:3;因为丙的情形与乙一样,所以甲、乙、丙三者步行距离比为4:3:3. 因为有3人,2辆自行车,所以,始终有人在步行,甲、乙、丙步行路程和等于环形道路的周长.

于是,甲步行的距离为2×

所以甲需要时间为(0.8

5+44+3+3=0.8千米;则骑车的距离为2×2-0.8=3.2千米; 3.2

20)×60=19.2分钟

环形两周的最短时间为19.2分钟.

参考方案如下:甲先步行0.8千米,再骑车3.2千米;

乙先骑车2.8千米,再步行0.6千米,再骑车0.6千米(丙留下的自行车) ; 丙先骑车3.4千米,再步行0.6千米.


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