平均品位计算新方法
张亮
（江西贵溪银矿，江西贵溪流335413）
摘要：本文采用三次多项式曲线拟合方法，对单位工程品位指标值多边形图进行分段拟合处理，使得多边形图成为一条连续光滑的复合曲线，并对拟合的复合曲线进行积分，求出品位平均值，并给出计算编程计算程序及使用说明。
关键词：单工程，三次多项式，拟合，平均品位计算，新方法。
1、引言
如图1所示，沿某一直线方向品位的直方图和多边形图，设图1中的直方图间距分别为L 1、L 2、…Ln 、且L=L1+L2+…+ Ln（L 取样品跨度），与其相对应的品位指标什值分别为C 1、C 2、…Cn 。现按常规的加权平均值法计算品位平均值，有C =
L 1. C 1+L 2+... +Ln . Cn
L 1+L 2+... Ln
又设S i =Li ×C i ，则上式变为
n
s 1+s 2+⋯+s n
C ==∑si /L „„(1)
L i =1
X
从（1）式计算公式，可以看出单工程平均品位加权平均值的计算方法实质上是在品位指标的直方图上进行了的，而品位指标值的直方图并不能反映品位指标值的变化情况。由于矿体指标值实际上大多具有连续和光滑的特点，也就是说，
指标值曲线形变化，更符合、更接近矿体的实际变化，因此，采用平均值的计算方法计算品位平均值，其计算结果显然不能较好的反映出平均品位指标值的真实情况。为此，欲使计算结果更接近实际结果，本文针对形图为一条连续光滑的曲线，最后运用积分方法求出品位指标值的平均值。 2、拟合方法
图1中，设X 为取样点至原点（起点）的距离，Y 为其相对应的品位指标什。其中P 0、P -1、P n+1、P n+2各点的品位均为表外矿品位，P 1点及Pn 点为最低可采品位点（边界品位点）。若P 0、P 1、P 2点必须可导，具有一阶导数。现将经过P 0，P 1，P 2，…， Pn ，P n+1各点的曲线分成P 0~P1，P 1~P2，…，P n-1~ Pn，Pn~ Pn+段，每段利用三次多项式曲线来拟合，各分段曲线间光滑连接，使得整个曲线成为一条由多段三次多段三次多项式曲线组成的连续光滑的复合曲线。
设每段三次多项式为y=a0+a1x+a2x 2+a3x 3 ……(2)
显然, 每段三次多项式曲线本身是连续光滑的, 欲使各分段曲线间的连接点光滑连接, 则曲线间连接点处必须具有一阶导数。现设曲线连接点P i （如图１所示）处的一阶导数t i, 根据曲线函数一阶导数的几何意义，P i 处的导数t i 可以用如下公式来拟合确定：
t i =
1⎛y i -y i -1y i +1-yi ⎫
⎪+⎪ „„(3) 2 x -x x -xi i -1i +1⎝i ⎭
式中x i-1、y i-1、x i 、yi 、x i+1、y i+1分别是取样点p i-1、p i 、p i+1的坐标。 用p i 点相邻邻两点的直线斜率之和之半来拟合p i 点的一阶导数，这样处理，其拟合曲线的变化趋势与矿体品位指标变化的实际情形基本一致。
点p i 处（i=2，3„,n-1）导数ti 可由(3)式计算可得,pi 点、pn 点的导数计算必须助于p 0点的坐标和p n+1处的导数计算可借助力p n+1点的坐标利用（3）式进行计算，同理，点p 0和p n+1处的导数计算可借助力于p -1点和p n+2点的坐标进行计算。上述p -1、p 0、p n-1、p n+2各点坐标仅供曲线拟合计算之用，不参与平均品位的计算。 3、拟合曲线方程系数求解
如图2，以曲线边p i ～p i+1为例，由于三次多项式曲线通过p i 点和p i+1点，将p i 点、p i+1点的坐标值代入（2）式有
yi=a0+a1x i +a2x 2i +a3x 3i „„(4)
y i+1=a0+a1x i+1+a2x 2i+1+a3x 3i +1 „„(5) 又由于曲线在p i 点、p i+1处有一阶导数ti 和t i+1, 则有 ti=al +2a2x i +3a 3x 2i „„(6) t i+1=a1+2a2x i+1+3a3x 2i+1 „„(7) 由(4)、(5)、(6)、(7)解方程组可得 a 3=
(x i +1-x i )(t i +1+t i )-2(y i +1-y i )
x i +1-x i 3
1⎛t i +1-t i 2 ⎝x i 1-x i
⎫3
⎪⎪-2a 3(x i +1+x i ) „„(8) ⎭
2
a 2=
a 1=t 1-2a 2x i -3a 3x i a 0=y i -a 1x i -a 2x i -a 3x i 4、平均值的计算
品位指标值平均也即为图2中复印合曲线函数的平均值，而复 y
2
3
合曲线函数的平均平均等于函数曲线与坐标轴所围成的面积除以函数曲线跨度。
如图2所示，复合函数曲线跨度（即取样总长）OG=L，P 1，P 2，．．．，Pn 为边形图转折点；H 点为P 0~P1段曲线与Y 轴的交点，其坐标为H （0，yh ）；
K 点为P n ~Pn+1段曲线与取样边界线（边界品位线）GK 的交点，交点坐标为K （L ，yk ）。
设HOEP 1所围成的面积为Sa ，EP 1PiPnF 所围成的面积为S b ，FPnKG 所围成的面积为Sc ，则复合曲线所围成的总面积为：
S =S a+S b +S c ．．．．．．（9） 由区边P ｉ~Pｉ+1所确定的面积为：
S i =⎰
X i +1
a 0+a 1X +a 2X 2+a 3X 3dX X i
()
3
11m +1m +1
= ∑．．．．．（10） i +1-∑i ．m =0m +1m =0m +1
3
利用（10）式可以计算每分段的面积，且（10）式中各分段曲线方程系数a m （m=0，1，2，3）由（8）式所得。由P 1~Pn 所围成的总面积S
S
．．．．．∑si ．
i =1n -1
b 为：
b=
（11）
同理可得： s a =⎰
3
x 1
(a 3
)dX +a X +a X 012
=∑
1
．．．．．（12） m X 1m +1 ．
m +1m =0
l xn
s c =⎰a 0+a 1X +a 2X 2+a 3X 3d X
311m +1m +1
=∑ ．．．．．．（13） m L -∑a m X n
m +1m +1m =0m =0
3
()
由（11）式，（12）式，（13）式可得总面积S ，故平均品位C
为：C=S/L ．．．．．．（14） 上述解算虽然简单，但计算点较我时，其计算工作量较大，如果采用计算机编程计算，那么上述计算十分方便、快捷。
5、计算程序设计 5．1计算程序
由于BASIC 语言是最基本且通用性较强的语言，故此，本文采用BASIC 语
言编制计算程序，程序如下： 10
PRINT “取样个数，取样长度分别为：”：
20 INPUT N ，L
30 DIM X（N+2），Y （N+2），T （N+1），A （3） 40 FOR I=0 T0 N+2 50 READ X （I ），Y （1） 60 NEXT I
65 FOR I=I TO N+1
70 T （I ）=1/2*（（Y （I ）-Y （I-1））/（X （I ）-X （I-1））+（Y （I+1） -Y （1））
X （N+2），Y （N+2）存多边形图中P 0~P n+2各点的坐标值 T （N+1）存多边形图中P 0~P n+1各点的导数值 A （3）存每间分段三次多项式曲线系数 X1，Y1为P-1点的坐标值 （2）运行过程
将多边形图中各点（P 0~P n+2）横纵坐标依次置入DATA 语句中，运行该程序，输入N ，L 入P -1点的坐标X1，Y ！的值后，转入子程序500语句计算P 0~P 1分段三次多项式系数，接着，转入子程序600语句计算H-P 1分段的面积S a 。自220语入~380语句，计算P1~K段的面积（Sb+Sc），最后计算并打印出品位平均值。 1、结束语
在进行三次多项式曲线拟合之前，应对特高品位进行处理。采用文中方法计算品位平均值，其结果更符合实际情况，更具有科学性，理论依据充分。而且很适用于计算机编程计算，方便快捷。由于此方法拟合的曲线严格通过了各点，因此在取样的偶然性的确定品位指标值的误差范围内，以及矿体连续较好的单工程平均品位的计算，采用本文计算方法优为方便、实用。
参考文献
[1]朱晓岚，何新义，陈于恒。矿体几何学，徐州：中国矿业学院出版社，1987 [2]同济大学教研室主编，高等数学，北京：高等教育出版社，1985 作者：张亮 男 工程师
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