双曲复数与Cauchy —Riemann 方程
摘要: 利用Clifford 代数的双曲虚单位引入双曲复数和双曲复平面的概念，并讨论了它 们的性质，然后给出了Cauchy-Riemann 方程的几种不同的表达形式. 关键词: Clifford 代数; 双曲复数; 双曲复平面; Cauchy—Riemann 方程
用Clifford 代数表述非欧几何及近代物理的有关问题已经成为人们关注的课题[1]. 文献［2］以 Clifford 代数为工具，讨论 Minkowski 空间的几何性质及狭义相对论的时空结构. 文献［3］介绍了双曲复数，双曲复变函数及双曲正则函数，并且给出了Cauchy-Riemann 方程的代数表达式，本文在此基础上给出了Cauchy-Riemann 方程的极坐标表达式、向量形式和旋量形式的表达式，为讨论双曲正则函数奠定了基础.
1 双曲复数与双曲复平面 1．1 双曲复数的性质
形如z =x +jy 的数，称为双曲复数，其中x , y ∈R (实数域) ，j 为Clifford 代数的双曲虚单位，有j 2=1, j ∉R , j *=-j ，将双曲复数的全体记为H ={x +jy x , y ∈R }，H 是Clifford 代数的偶子代数C l 2. 事实上，Clifford 代数C l 2是基为{1,e 1, e 2, e 12}的4维实代数，基元素的乘法表为：
e 1 e 2 e 12 e 1e 12 e 2
e 2-e 12 -1 e 1 e 12-e 2 -e 1 1
基元素生成的子空间由纯量1、向量e 1和e 2、以及双向量e 12组成，且C l 2=R ⊕R ⊕∧R . 令C l 2=R ⊕∧R (称为偶部) ，C l 2=R ，(称为奇部) ，则Cl 2=Cl 2⊕Cl
2
2
2
2
+
+22-2+-2
. 偶部不仅
是子空间而且是子代数，它有形如x +ye 12的元素组成，这里x , y ∈R 且e 12=1，所以C l 2的偶子代数C l 2同构于H ，记j =e 12.
∀z 1=x 1+jy 1, z 2=x 2+jy 2∈H , 定义H 的加法和乘法运算为:
z 1+z 2=(x 1+x 2) +j (y 1+y 2),
z 1z 2=(x 1x 2+y 1y 2) +j (x 1y 2+x 2y 1).
+
--------------------------------- H 的加法和乘作成二维实交换代数.
定义H 的内积为：
z 1⋅z 2=x 1x 2+jy 1(jy 2) =x 1x 2-y 1y 2.
2222
特别地∀z =x +jy ∈H ，z ⋅z =x -y ，令x -y =0，则有
*
z =x (1+j ) 或 z =x (1-j ) .
若设N ={z x -y =0}，N 1={x (1+j ) x ∈R },N 2={x (1-j ) x ∈R }，则N 1, N 2是
H 的子空间，且有N =N 1 N 2，H =N 1+N 2, N 1 N 2={0}. H 的所有零因子所成的
22
集为N =N 1 N 2，N 1和N 2互为共轭零因子集，即N 1={x (1+j ) }={x (1-j )}=N 2，
N 1, N 2作为H 的子代数均与实数域R 同构，有同构映射：
f :N 1→N 2,1+j
1-j ; g :N 1→R , (1+j ) /
**
1.
∀z =x +jy ∈H \N ，z 有逆元z -1=
1x +jy
=
x -jy x -y
2
2
.
定理1 H \N 关于H 的乘法作成Abel 群.
1．2 双曲复平面的对称性
与双曲复数对应的平面称为双曲复平面，又称H 平面. 引入二元实函数
f :H ⨯H →R , (x 1+jy 1, x 2+jy 2) x 1x 2-y 1y 2，则H 平面成为一个Minkowski 平面.
∀z =x +jy ∈
H , 定义它的间隔数为σ(z ) =
=，
间隔数为0的数称为迷向数，H 平面的迷向数所成的集合恰为二维实代数H 的所有零因子所成的集合，H 平面的迷向数将H 平面分为四个部分，记为H (t ), t =1, 2, 3, 4:
H (1)={x +jy ∈H x >y {0} H (2)={x +jy ∈H y >x {0}， H (3)={x +jy ∈H -x >y {0}
H (4)={x +jy ∈H -y >x {0}
H (t ), t =1, 2, 3, 4中的非零元均为非迷向数，定义非迷向数z =x +jy 的示向数为
⎧1x +jy ∈H (1)⎪
⎪j x +jy ∈H (2)
δ(z ) =⎨
-1x +jy ∈H (3)⎪⎪
⎩-j x +jy ∈H (4)
H 平面的间隔数与传统的模长
(z =
) 概念不同，它具有如下性质：
(1)σ(z ) ≥0, σ(z ) =0⇔z 为迷向数；
(2)σ(λz ) =λσ(z ) ；
(3)σ(z 1+z 2) ≥σ(z 1) +σ(z 2)
其中z 1, z 2∈H (t ), t =1, 2, 3, 4.
定义其幅角为
θ=arctan h (sgn(xy ) min{x , y /max{x , y ，
任意非迷向数z =x +jy 的指数式及双曲函数表达式依次为
z =δ(z ) σ(z ) exp(j θ),
z =δ(z ) σ(z )(coshθ+j sinh θ).
直角坐标与极坐标的转化关系为
⎧x ⎪⎪x ⎨⎪x ⎪x ⎩
=σ(z ) cosh θ, =σ(z ) sinh θ,
y =σ(z ) sinh θ, x +jy ∈H (1);y =σ(z ) cosh θ, x +jy ∈H (2);
=-σ(z ) cosh θ, y =-σ(z ) sinh θ, x +jy ∈H (3);=-σ(z ) sinh θ, y =-σ(z ) cosh θ, x +jy ∈H (4);
所有迷向数所成的集合为有N =N 1 N 2，N 为H 平面上的两正交直线，由原点将其分为四个部分，记为N (t ), t =1, 2, 3, 4：
N (1)={x +jy ∈H y =x ≥0}， N (2)={x +jy ∈H y =-x ≥0}， N (3)={x +jy ∈H y =x ≤0}， N (4)={x +jy ∈H y =-x ≤0}.
z =x +jy ∈N 的示向数为
⎧(1+j ) /z ∈N (1)⎪⎪⎪-(1-j ) /z ∈N (2)
ε(z ) =⎨
⎪-(1+j ) /z ∈N (3)⎪⎪⎩(1-j ) /z ∈N (4)
定义其迷向间隔为d (z ) =∀z =jx +iy ∈N ，z 可以表示为z =d (z ) ε(z ) .
∀z 1, z 2∈M , z 2-z 1∈N 时，定义迷向距离d
:
d (z 1, z 2) =
定理2 H (t )(t ∈{1,2, 3, 4})具有如下性质：
(1)H (t )(t ∈{1,2, 3, 4})关于M 的加法作成有恒等元的半群，且相互同构. (2)H (t )(t ∈{1,2, 3, 4})是半环R +上的半线性空间，且相互同构. (3) 在H (t )(t ∈{1,2, 3, 4})上定义二元运算
:(x 1+jy 1) (x 2+jy 2) =(x 1+jy 1) δt (x 2+jy 2)
则H (t )(t ∈{1,2, 3, 4})成为半环R 上半线性空间，且相互同构. 其中x 1+jy 1, x 2+jy 2
∈H (t ), δt =δ(x 1+jy 1), t ∈{1,2, 3, 4}.
+
由双曲复平面的对称性可知，双曲复平面的若干性质可以借助某个H (t ), t ∈{1,2, 3, 4}
加以讨论.
1．3 双曲复数的矩阵表示
在几何代数中向量ω旋转α角可表示成
ω'=ω(cosα+e 12sin α) ， 分量为
ω1'=ω1cos α+ω2sin α
ω2'=ω1sin α+ω2cos α
写成矩阵形式为
ω1'ω2'=(ω1ω2复数的矩阵表达式为
⎛11=
⎝0
⎛ω'
1
这时，
-ω'⎝2
()
⎛cos α
) sin α⎝sin α⎫
⎪ cos α⎭
y ⎫⎪. x ⎭
0⎫⎛0，e =12⎪ 1⎭⎝11⎫⎛x
，z =x +jy =⎪ 0⎭⎝y ⎪
-ω1⎭⎝sin α
⎛ω⎪= 1
-ω2
-ω1'⎪⎭⎝
ω2'⎫
ω2⎫⎛cos α
sin α⎫
⎪ cos α⎭
⎛1
因此有 e 1=
⎝00⎫⎛0⎪，e 2= -1⎭⎝-11⎫
⎪. 0⎭
2 Cauchy-Riemann 方程
2．1 代数形式的Cauchy-Riemann 方程
w =f (z ) =u (x , y ) +jv (x , y ) 称为双曲复变函数，其中u (x , y ), v (x , y ) 都是实变量
) 某个x , y 的实值函数，分别叫作w =f (z ) 的实部与虚部. 如果u (x , y ) , v (x , y 在H (t ) , (t ∈
{1, 2, 3, 4w =f (z ) 在该H (t ) 内连续可微的，且 内是连续可微的，则
f '(z ) =lim
f (z +∆z ) -f (z )
∆z
∆z →0
=
(∆x , ∆y ) →(0,0)
lim
∆u +j ∆v ∆x +j ∆y
其中∆u =u (x +∆x , y +∆y ) -u (x , y ) ，∆v =v (x +∆x , y +∆y ) -v (x , y ) ， 由于∆z =∆x +j ∆y 沿任意方向趋于零时极限都存在，所以 当取∆z =∆x 时， f '(z ) =
∂u
∂x ∂x
∂v ∂u
当取∆z =j ∆y 时， f '(z ) = +j
∂y ∂y
+j
∂v
比较上面两式有
∂u ∂x
=
∂v ∂u ∂v
， (2.1) , =
∂y ∂y ∂x
它是最简单的一阶双曲型方程组，它与椭圆型方程理论中的Cauchy-Riemann 方程组相对应，
称之为双曲型方程理论的Cauchy-Riemann 方程组，简称为C.-R. 方程，把C.-R. 方程的连续可微的解w =f (z ) 称为双曲正则函数.
C.-R. 方程(2.1)能被简写成
(
∂∂x +j
∂∂y
)(u -jv ) =0. (2.2)
定理3 设f (z ) =u (x , y ) +jv (x , y ) 在某个H (t ), (t ∈{1,2, 3, 4})内有定义，则
w =f (z ) 在点z =x +j y 可微的充要条件是u (x , y ), v (x , y ) 在点(x , y ) 可微，且满足
∂u ∂x
=
∂v ∂u ∂v ∂u ∂v ∂v ∂u ∂u ∂u ∂v ∂v
，这时f '(z ) =. , =+j =+j =+j =+j
∂y ∂y ∂x ∂x ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y ∂y ∂x
证明 略.
令z =x +jy , =x +(jy ) =x -jy ，则x =
*
z +2
, y =
z -2j
，
∂f ∂=
∂u ∂+j
∂v ∂-
=(
∂u ∂x ∂x ∂+
∂u ∂y ∂y ∂-
) +j (1∂v 2j ∂y
∂v ∂x ∂x ∂)
+
∂v ∂y ∂y ∂)
=(
1∂u 2∂x
1∂u 2j ∂y
) +j (
1∂v 2∂x
=
1∂u ∂v j ∂v ∂u (-) +(-) 2∂x ∂y 2∂x ∂y
∂f ∂=0. (2.3)
故C.-R. 方程(2.1)又能被简写成
定理4 设函数f (z ) 在H 平面内可微，以下两个条件是等价的： (1) (2)
∂f ∂z
=0.
∂u ∂x
=
∂v ∂u ∂v
, =
∂y ∂y ∂x
2．2 极坐标形式的C.-R. 方程
由H 平面的对称性只须在H (1)中讨论即可.
为方便令σ(z ) =r ，则∀z =x +jy ∈H (1)，它的双曲函数表达式为
z =r (coshθ+j sinh θ) ，
直角坐标与极坐标的转化关系为
x =r cosh θ, y =r sinh θ。
函数w =f (z ) =u (x , y ) +jv (x , y ) 又可以表示成w =f (z ) =u (r , θ) +jv (r , θ) .
此时，
∂u ∂r
=====
∂u ∂x ∂v ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
cosh θ+sinh θ+sinh θ+cosh θ+
∂u ∂y ∂v ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
sinh θ，
1∂v r ∂θ1∂u r ∂θ∂v ∂r
cosh θ， cosh θ， sinh θ，
由(2.1) 知
∂u ∂r 1∂v ∂v 1∂u
, =. (2.4) r ∂θ∂r r ∂θ
此为C.-R. 方程在极坐标系下的表达形式.
j θ
(, , ) θ(vr , ) 定理5 设w =f (z ) =u (r , θ) +jv (r , θ) ，若u r z =r δ(z ) e ，
θ在点(r , θ) 可
微，且满足(2.4)，则f (z ) 在点z 是可微的且
f '(z ) =(coshθ-j sinh θ)(
∂u ∂r +j
∂v ∂r )
证明 仅在H (1)内讨论，同理可以证明其它三种情况.
z =r (coshθ+j sinh θ) ，令x =r cosh θ，y =r sinh θ，它们有一阶连续偏导数，且
∂x
∂(x , y ) ∂(r , θ)
=∂y
∂x
=cosh θsinh θ
r sinh θr cosh θ
=r ≠0(r >0) ，由反函数存在定理知
∂y
∂r ∂θ∂r ∂θ
⎧x =r cosh θ
存在唯一的具有一阶连续的偏导数的反函数组⎨
⎩y =r sinh θr =r (x , y ) θ, =θ(x , y ) (x , y ) 可微，且有 在点
⎧r =r (x , y )
，所以⎨
⎩θ=θ(x , y ) sinh θr r
∂r ∂x ∂r ∂y
∂u ∂x +
=
∂y ∂θ∂x ∂θ
∂(x , y ) ∂(r , θ)
=cosh θ，
∂θ∂x ∂θ∂y
=-=
∂y ∂r ∂x ∂r
∂(x , y ) ∂(r , θ) ∂(x , y ) ∂(r , θ)
=-=
，
=-
∂(x , y ) ∂(r , θ)
=-sinh θ，
cosh θ
又因为u (r , θ), v (r , θ) 在点(r , θ) 可微，则复合函数u (x , y ), v (x , y ) 在点(x , y ) 可微，且
=∂u ∂r ∂r ∂x
+∂u ∂θ∂θ∂x
=
1∂v ∂r r ∂θ∂x
∂v ∂x
+r
∂v ∂θ∂r ∂x
=
1∂v ∂v ∂v (r sinh θ+r cosh θ) cosh θ+r (cosh θr ∂x ∂y ∂x ∂v ∂y
cosh θ-
2
∂v ∂y
sinh θ)(-sinh θ) r =∂u ∂y
=∂v ∂x
sinh θcosh θ+
∂v ∂x
sinh θcosh θ-
∂v ∂y
sinh θ=
2
∂v ∂y
同理有，故f (z ) 在点z 是可微的.
+j
∂v ) =[(
∂u ∂r
+∂u ∂θ
) +j (
∂v ∂r
+∂v ∂θ
)]
f '(z ) =(
∂u
∂x ∂x ∂r ∂x ∂θ∂x ∂r ∂x ∂θ∂x
∂u ∂u sinh θ∂v ∂v sinh θ=(cosh θ+(-)) +j (cosh θ+(-)) ∂r ∂θr ∂r ∂θr ∂u ∂v ∂v ∂u =(cosh θ-sinh θ) +j (cosh θ-sinh θ)] ∂r ∂r ∂r ∂r
∂u ∂v
=(coshθ-j sinh θ)(+j )
∂r ∂r
2．3 向量形式的C.-R. 方程
由(2.2)知(
∂∂x ∂∂x +j
∂∂y
)(u -jv ) =0，j =e 12，左乘和右乘e 1，利用e 1和e 2的结合性)(ue 1+ve 2) =0 (2.5)
2
和反交换性，有(e 1+e 2
2
∂∂y
此为向量xe 1+ye 2∈R 到ue 1+ve 2∈R 的C. —R. 方程的表达式.
注意这里 e 1=-e 2=1, e 1e 2=-e 2e 1.
定义1 若二元实函数ϕ(x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 存在对自变量的偏导数，则称向量
(∂ϕ∂x
P 0
2
2
,
∂ϕ∂y
) 为ϕ在点P 0的梯度，记作grad ϕ=(P 0
∂ϕ∂x
P 0
,
∂ϕ∂y
P 0
) .
定义9 若二元实函数ϕ(x , y ) 在某个H (t ), (t ∈{1,2, 3, 4})内有二阶连续偏导数且满足
2
2
Laplace 方程∆ϕ=
∂ϕ∂x
2
-
∂ϕ∂y
2
=0，则称ϕ(x , y ) 该H (t ) 内的调和函数.
定理6 若向量(u , v ) 是调和函数ϕ的梯度，则有(e 1 证明 grad ϕ=(而∆ϕ=
∂ϕ∂x
22
∂∂x
+e 2
∂∂y
)(ue 1+ve 2) =0.
∂ϕ∂ϕ∂ϕ∂ϕ
， , ) ，故u =, v =
∂x ∂y ∂x ∂y =∂u ∂x ,
-∂v ∂y
=0，因此∂ϕ∂x ∂y
2
-=
∂ϕ∂y
22
2
∂u ∂x
=
∂v ∂y
；
∂u ∂y
=∂v ∂x
又
(e 1
∂∂x
∂u ∂y
∂ϕ∂y ∂x
∂v ∂x
=，由于二阶偏导数连续，故，所以有
+e 2
∂∂y
)(ue 1+ve 2) =0.
2
向量xe 1+ye 2∈R 到Clifford 代数C l 2的偶部Cl 2+={u +ve 12u , v ∈R } H 的C. —R. 方程表示为(e 1
∂∂x -e 2
∂∂y
)(u +ve 12) =0. (2.6)
2．4 旋量形式的C.-R. 方程
由复数的矩阵表示知1=
2
2
⎛1⎝00⎫⎛0
, e =⎪12 1⎭⎝1
2
1⎫⎛1
，e =1⎪ 0⎭⎝0
2
0⎫⎛0
, e =⎪2 -1⎭⎝-11⎫
⎪ ， 0⎭
且满足：e 1=1, e 2=-1, e 12=-e 21, e 21=1，向量xe 1+ye 2∈R 对应着旋
⎛u
uf 1+vf 2=
⎝v
0⎫⎪， 0⎭
0⎫⎪ 0⎭0⎫
⎪ ， 0⎭
这里 f 1=
f 2=
⎛12
f 1=
⎝0
0⎫⎛1⎪ 0⎭⎝0
0⎫⎛1⎪= 0⎭⎝0
1
⎛1
(1+e 1) = 2⎝0
1
⎛0(e 12-e 2) = 2⎝1
0⎫
⎪=f 1，即f 1是幂等的. 0⎭
旋量空间S =Cl 2f 1={af 1a ∈Cl 2}是C l 2的左理想，这是因为∀a ∈Cl 2, ψ∈S , a ψ∈S . 又由于
(e 1
∂∂x
e 1f 1=f 1, e 2f 1=-f 2,
e 1f 2=-f 2, e 2f 2=f 1
，故有
+e 1f 2
∂v ∂x ∂v ∂x -e 2f 1∂u ∂y ∂u ∂y
∂u ∂y -e 2f 2∂v ∂y )
∂v ∂y
-e 2
∂∂y
)(uf 1+vf 2) =e 1f 1
=f 1
∂u ∂x
∂u ∂x ∂u ∂x
-f 2-
+f 2-f 1-∂v ∂x
=f 1(
∂v ∂y
) +f 2(
由于
∂u ∂x
=
∂v ∂y
，
∂v ∂x
=
∂u ∂y
, 故有
∂-e 2
∂∂y
)(uf 1+vf 2) =0. (2.7)
(e 1
∂x
此为旋量空间S 中的C. —R. 方程表达式.
定理7 设函数f (z ) 在H 平面内可微，以下个条件是等价的
(1) (e 1(2) (e 1
∂∂x ∂∂x +e 2-e 2
∂∂y ∂∂y
)(ue 1+ve 2) =0. )(uf 1+vf 2) =0.
参 考 文 献
[1] Baylis W E. Clifford(Geometric) Algebra with Applications to Physics, mathematics,and engineering[M]. Birkhauser, Boston,1996.
[2] 李武明. Clifford 代数与Minkowski 空间的性质[J]. 吉林大学学报，2000,(4)：13—16. [3] Wen Guocoshun,Luo Zhaofu. Hyperbolic Complex Functions and Hyperbolic Pseudoregular Functions. 宁厦大学学报，1998(1)：12—18.
[4] Yu Xuegang and Li wuming, The Four-dimensional Hyperbolic Spherical Harmonics[J]. Advances in Applied Clifford Algebra, 2000, 10(2):163-171
[5] Pertti Lounesto. Clifford Algebras and Spinor[M] . CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS ,1996
[6] 闻国椿. 非线性偏微分复方程. 北京：科学出版社，1999. [7] 于学刚. 双曲复函与相对论［J ］，数学物理学报，1995,15 (4)：435-441.
The Hyperbolic Complex and Cauchy—Riemann Equation