动量定理
考试要求
框架
知识点1 冲量 1． 定义
力F和该力作用时间t的乘积Ft叫做该力的冲量，通常用符号I表示，即I=Ft．单位：牛·秒，符号是N⋅s． 2． 理解要点
（1）矢量性：冲量的方向由力的方向决定，如果力的方向不变，则冲量的方向跟力的方向相同；如果
力的方向是变化的，则要借助于动量定理来确定，为此段时间内平均作用力的方向．冲量的运算遵循矢量运算的平行四边形定则．
（2）冲量的时间性．冲量是描述力F对作用时间t的累积效果的，是一个过程量．有力且有作用时间
就有冲量，与物体的运动状态无关． （3）冲量的计算
①恒力的冲量，应用公式I=Ft计算． ②变力的冲量可利用动量定理进行计算．
③F-t图象中F
图线与时间t轴所围面积就等于F在该段时间内的冲量．如图所示，F-t图线下的面积就等于变力F在O至t1时间内的冲量．
（4）区别冲量和功
冲量、功是两个重要的物理量，两者之间既有相似之处，又有相异之点．相似之处：①都跟力有关，是过程量；②都能引起物体的机械运动状态发生变化．相异之点：①冲量是力的时间积累I=Ft，功是力的空间积累W=Fs；②冲量是矢量，功是标量；③两者单位不同，冲量单位为
N⋅s，功单位为J；④作用效果不同．冲量引起物体动量变化（动量定理），功引起物体动能变化
（动能定理）．只有深刻理解两者的异同，才能正确判断那些似有而非的问题．要注意的是：恒力在一段时间内可能不做功，但一定有冲量．
例题
【例1】 下列关于力的冲量的说法中正确的是（ ）
A．作用在物体上的力大，力的冲量不一定大 B．恒力的作用时间越长，则它的冲量就越大
C．F1与其作用的时间t1的乘积F1t1等于F2与其作用的时间t2的乘积F2t2，则这两个冲量相同 D．置于水平面上的物体在水平力F作用下仍然静止，则力F的冲量一定为零
【例2】 放在水平面上的物体，用水平推力F推它t秒，物体始终不动，则在这t秒内，关于合力的冲量
与摩擦力冲量的大小，下列说法正确的是（ ） A．合力的冲量及摩擦力的冲量大小均为零 B．合力的冲量及摩擦力的冲量大小均为F⋅t C．合力的冲量大小为零，摩擦力的冲量大小为F⋅t D．合力的冲量大小为F⋅t，摩擦力的冲量大小为0
【例3】 如图所示，重为100N的物体，在与水平方向成600角的拉力F=10N作用下，
以2m/s的速度匀速运动，在10s内，拉力F的冲量大小等于______N⋅S，摩擦力的冲量大小等于______N⋅S。
【例4】 斜面倾角为θ=37︒，有一物体质量为2kg放在斜面上，它和斜面间的动摩擦因数为μ=0.2，物
体沿斜面下滑2s，求这段时间内物体所受各力的冲量和合外力的冲量．
【例5】 如图所示，物体在粗糙的水平面上向右做直线运动．从a点开始受到一个水平向左的恒力F的作
用，经过一段时间后又回到a点，则物体在这一往返运动的过程中，下列说法中正确的是（ ） A．恒力F对物体做的功为零 B．摩擦力对物体做的功为零 C．恒力F的冲量为零 D．摩擦力的冲量为零
知识点2 动量 1． 动量概念
动量是描述运动特征的物理量，表达式p=mv，是矢量，方向为该状态速度的方向．物体的动量总是指物体在某一时刻的动量，计算时相应的速度应取这一时刻的瞬时速度．由于物体的运动速度与参考系的选取有关，所以物体的动量具有相对性． 2． 动量的变化∆p
动量的变化是指某段过程（或时间间隔）末状态的动量p'跟初状态的动量p的差．即∆p=p'-p．由于动量是矢量，求动量变化时，应利用矢量运算定则——平行四边形定则，如果物体
在同一直线上运动，那么选定正方向后，动量的方向可以用正、负号表示，将矢量运算化为代数运算．
例题
【例6】 若两个物体的动量相同，则（ ）
A．两物体的质量一定相等 B．两物体的速度一定相等 C．两物体的运动方向一定相同 D．质量大的物体的运动速度小
【例7】 两个质量不同的物体：
A．若它们的动量大小相等，则两物体的动能与它们的质量成正比 B．若它们的动量大小相等，则两物体的动能与它们的质量成反比 C．若它们的动能相等，则两物体的动量的大小与它们的质量成正比
D．若它们的动能相等，则两物体的动量的大小与它们的质量的平方根成正比
【例8】 A物体的质量是2kg，速度是3m/s，方向向东；B物体质量是3kg，速度是4m/s，方向向西．它
们的动量之和是多少？动能之和是多少？
【例9】 一个质量是0.1kg的钢球，以6m/s的速度水平向右运动，碰到一个坚硬的障碍物后被弹回，沿
着同一直线以6m/s的速度水平向左运动，碰撞前后钢球的动量各是多少？碰撞前后铜球的动量变化了多少？
【例10】 以初速度v0竖直上抛一物体，物体的质量为m，不计空气阻力，从抛出到落回抛出点的过程
中，有 ( )
A．物体动量变化的大小为零 B．物体动量变化的大小为2mv0，方向竖直向下 C．物体动量变化的大小为mv0，方向竖直向上 D．物体动量变化的大小为mv0，方向竖直向下
【例11】 质量为m的质点以速度v绕半径R的圆周轨道做匀速圆周运动，在半个周期内动量的改变量大小
为( )
A．0 B．mv C．2mv D．条件不足，无法确定
【例12】 将质量为0.5kg的小球以20m/s的初速度竖直向上抛出，不计空气阻力，g取10m/s2．以下判断
正确的是（ ）
A．小球从抛出至最高点受到的冲量大小为10N⋅s B．小球从抛出至落回出发点动量的增量大小为0 C．小球从抛出至落回出发点受到的冲量大小为0 D．小球从抛出至落回出发点受到的冲量大小为20N⋅s
【例13】 如图所示的四个图描述的是竖直上抛物体的动量增量随时间变化的曲线和动量变化率随时间变
化的曲线。若不计空气阻力，取竖直向上为正方向，那么正确的是：
A
B
CD
知识点3 动量定理
1． 内容：物体所受合外力的冲量等于物体的动量变化，即Ft=mv'-mv0． 2． 理解要点
（1）公式Ft=mv'-mv0是矢量式，两边不仅大小相等，而且方向相同．公式中Ft是物体所受合外力的
冲量．可以先求出物体的合外力，若为恒力，则直接代入公式用I=Ft求得；若不能求出合力，则先求出每一个分力的冲量，再将诸个分力的冲量合成，亦可得合外力的冲量．
（2）公式F⋅t=p'-p除表明两边大小、方向关系外，还说明了两边的因果关系，即合外力的冲量是动
量变化的原因．
（3）动量定理说明的是合外力的冲量与动量变化的关系，反映力对时间的积累效果，与物体的初、末
动量无必然联系．动量变化的方向与合外力的冲量方向相同，而物体在某一时刻的动量方向跟合外力的冲量方向无必然联系．
（4）定理不仅适用于单个物体，亦适用于物体系．对物体系，只需分析系统受的外力，而不必考虑系
统内力，系统内力不改变系统的总动量．
（5）动量定理不仅适用于宏观物体的低速运动，对于微观现象和高速运动仍然适用．
（6）动力学问题中的应用：在不涉及加速度和位移的情况下，研究运动和力的关系时，用动量定理求
解一般较为方便．因为动量定理不仅适用于恒力作用，也适用于变力，而且也不需要考虑运动过程的细节．
例题
【例14】 下面关于物体动量和冲量的说法正确的是（ ）
A．物体所受合外力冲量越大，它的动量也越大 B．物体所受合外力冲量不为零，它的动量一定要改变 C．物体动量增量的方向，就是它所受合冲量的方向 D．物体所受合外力越大，它的动量变化就越快
【例15】 A、B两个物体都静止在光滑水平面上，当分别受到大小相等的水平力作用，经过相等时间，则
下述说法中正确的是（ ）
A．A、B所受的冲量相同 B．A、B的动量变化相同 C．A、B的末动量相同 D．A、B的末动量大小相同
【例16】 做平抛运动的物体，在相等的时间内，物体动量的变化量 （ ）
A．始终相同 B．只有大小相同 C．只有方向相同 D．以上说法均不正确
【例17】 在课外活动中，甲、乙两同学站在旱冰场的水平面上，开始时都是静止的．两人互推后，甲、乙
反向做直线运动，甲的速率为0.1m/s，乙的速率为0.2m/s．已知甲的质量为60kg，乙的质量为30kg，假设互推的时间为0.01s，忽略摩擦力及空气阻力，则下列说法中正确的是（ ）
A．甲、乙所受的平均推力均为600N，方向相反 B．甲、乙所受的平均推力均为500N，方向相反
C．甲受的平均推力为600N，乙受的平均推力为500N，方向相反 D．甲受的平均推力为500N，乙受的平均推力为600N，方向相反
知识点4 动量定理的应用
1． 用动量定理解释现象
用动量定理解释的现象一般可分为两类：一类是物体的动量变化一定，此时力的作用时间越短，力就越大；时间越长，力就越小；另一类是作用力一定，此时力的作用时间越长，动量变化越大；力的作用时间越短，动量变化越小．分析问题时，要把哪个量变化搞清楚． 2． 应用动量定理解题的步骤
（1）合理选取研究对象．
（2）确定所研究的物理过程及其始、终状态． （3）分析研究对象在所研究的物理过程中的受力情况． （4）规定正方向，根据定理列式． （5）解方程，统一单位，求得结果． 3． 应用动量定理解题的技巧
（1）应用I=∆p求变力的冲量．
如果物体受到变力作用，则不直接用I=F⋅t求变力的冲量，这时可以求出该力作用下物体动量的变化∆p，等效代换变力的冲量I．
（2）应用∆p=F⋅t求恒力作用下的曲线运动中物体动量的变化．曲线运动中物体速度方向时刻在改
变，求动量变化∆p=p'-p需要应用矢量运算方法，比较复杂．如果作用力是恒力，可以求恒力的冲量，等效代换动量的变化．
（3）应用动量定理求变质量（如流体）问题。研究对象是“变质量”的“连续”流体（如：水流、
空气流等），一般要假设一段时间∆t内流出的流体，其长度为v⋅∆t，流体底面积为S，流体的体积为V=S⋅v⋅∆t，流体的质量为∆m=ρ⋅V=ρ⋅S⋅v⋅∆t，再对质量为∆m的水柱应用动量定理求解。
（4）对全过程使用动量定理 “F1⋅t1+F2⋅t2+ =p'-p” 可使问题简化．
（5）动量定理还有分量形式．F∆t=∆mv是矢量式，在应用动理定理时，应该遵循矢量运算的平行四
边形法则．也可以采用正交分解法，把矢量运算转化为标量运算．假设用Fx（或Fy）表示合外力在x（或y）轴上的矢量，vx0（或vy0）和vx（或vy）表示物体的初速度和末速度在x（或y）轴上的分量，则：Fx⋅∆t=mvx-mvx0，Fy∆t=mvy-mvy0．
上述两式表明，合外力的冲量在某一坐标轴上的分量等于物动量的增量在同一坐标轴上的分量．在写动量定理的分量方程式时，对于已知量，凡是与坐标轴正方向同向者取正值，凡是与坐标轴正方向反向者取负值；对未知量，一般先假设为正方向，若计算结果为正，说明实际方向与坐标轴正方向一致，若计算结果为负，说明实际方向与坐标轴正方向相反．
例题
【例18】 从同样高度落下的玻璃杯，掉在水泥地上容易打碎，而掉在草地上不容易打碎，其原因是（ ）
A．掉在水泥地上的玻璃杯动量大，而掉在草地上的玻璃杯动量小 B．掉在水泥地上的玻璃杯动量改变大，掉在草地上的玻璃杯动量改变小 C．掉在水泥地上的玻璃杯动量改变快，掉在草地上的玻璃杯动量改变慢
D．掉在水泥地上的玻璃杯与地面接触时，相互作用时间短，掉在草地上的玻璃杯与地面接触时间长
【例19】 一个笔帽竖立于放在水平桌面的纸条上，将纸条从笔帽下抽出时，如果缓慢拉动纸条笔帽必倒；
若快速拉纸条，笔帽可能不倒，以下说法中正确的是（ ） A．缓慢拉动纸条时，笔帽受到的冲量小
B．缓慢拉动纸条时，纸对笔帽水平作用力大，笔帽必倒 C．快速拉动纸条时，笔帽受到的冲量小 D．快速拉动纸条时，纸条对笔帽水平作用力小
【例20】 把质量为10kg的物体放在光滑的水平面上，如图所示，在与水平方向成53︒角、大小为10N的力
F作用下从静止开始运动，在2s内力F对物体的冲量为多少?物体获得的动量是多少?
1【例21】 质量为m的小球在水平面内做半径为r的匀速圆周运动，它的角速度为ω，周期为T，在T时
2
间内，小球受到的冲量的大小为（ ）
A．2mωr B．πmωr C．
【例22】 质量相等的物体P和Q，并排静止在光滑的水平面上，现用一水平恒力F推物体P，同时给Q物
体一个与F同方向的瞬时冲量I，使两物体开始运动，当两物体重新相遇时，所经历的时间为 A．
TT
mω2r D．mω2 22
I2I2FF
B． C． D． FFII
【例23】 质量为8⨯107kg的列车，从某处开始进站并关闭动力，只在恒定阻力作用下减速滑行．已知它开
始滑行时的初速度为20m/s，当它滑行了300m时，速度减小到10m/s，接着又滑行了一段距离后刚好到达站台停下，那么
（1）关闭动力时列车的初动能为多大? （2）列车受到的恒定阻力为多大? （3）列车进站滑行的总时间为多大？
【例24】 质量为m的钢球自高处落下，以速率v1碰地，竖直向上弹回，碰撞时间极短，离地的速率为v2。
在碰撞过程中，钢球受到的冲量的方向和大小为
A．向下，m(v1-v2) B．向下，m(v1+v2) C．向上，m(v1-v2) D．向上，m(v1+v2)
【例25】 质量为10kg的铁锤，从某一高度处落下后与立在地面上的木桩相碰，碰前速度大小为10m/s，
碰后静止在木桩上，若铁锤与木桩的作用时间为0.1s，重力加速度取g=10m/s2。求：铁锤受到的平均冲力。
【例26】 质量为1.0kg的小球从高20m处自由下落到软垫上，反弹后上升的最大高度为5.0m，小球与软垫
接触的时间为1.0s，在接触时间内小球受到合力的冲量大小和方向为(空气阻力不计，取
g=10m/s2) （ ）
A．10N⋅s B．30N⋅s C．向上 D．向下
【例27】 一位质量为m的运动员从下蹲状态向上起跳，经∆t时间，身体伸直并刚好离开地面，速度为v。
在此过程中，（ ）
1
A．地面对他的冲量为mv+mg∆t，地面对他做的功为mv2
2
B．地面对他的冲量为mv+mg∆t，地面对他做的功为零 1
C．地面对他的冲量为mv，地面对他做的功为mv2
2
D．地面对他的冲量为mv-mg∆t，地面对他做的功为零
【例28】 人从高处跳到低处时，为了延长碰撞时间，保护身体不受伤，脚着地后便自然地下蹲．
（1）人的这种能力是
A．应激性 B．反射 C．条件反射 D．非条件反射
（2）某质量为50kg的飞行员，从5m高的训练台上跳下，从脚着地到完全蹲下的时间约为1s，则地面对他的作用力为多大？（g=10m/s2）
（3）假如该飞行员因心理紧张，脚着地后未下蹲，他和地碰撞的时间为0.01s，则此时地对人的力又是多大？
【例29】 将质量为0.10kg的小球从离地面20m高处竖直向上抛出，抛出时的初速度为15m/s，当小球落地
时，求：
（1）小球的动量；
（2）小球从抛出至落地过程中动量的增量； （3）小球从抛出至落地过程中受到的重力的冲量．
【例30】 质量为m的物体以初速度v0开始做平抛运动，经过时间t，下降的高度为h，速度变为v，在这
段时间内物体动量变化量的大小为（ ）
A．m(v-v0) B．mgt C
． D
．
【例31】 在距地面h高处以v0水平抛出质量为m的物体，当物体着地时和地面碰撞时间为∆t，则这段时
间内物体受到地面给予竖直方向的冲量为（ ）
A.
【例32】 自地面上高度为H的一点下落一物体，不计空气阻力，物体与地面碰撞后又弹回到同样的高度，
则全过程中物体的动量随时间变化的函数关系是图中的（以向下方向为正方向）?（ ）
B.mg⋅∆t C.mg⋅∆t
D.mg⋅∆t-
【例33】 两物体甲和乙分别在恒力F1和F2的作用下沿同一直线运动，它们的动量随时
间变化关系如图所示，设甲在t1时间内受到的冲量大小为I1，乙在t2时间内受到的冲量大小为I2，则由图可知（ ） A．F1>F2，I1=I2 B．F1I2 D．F1=F2，I1
【例34】 据报道，一辆轿车在高速强行超车时，与迎面驰来的另一辆轿车相撞，两车身因碰撞挤压，皆缩
短了约0.5m，据测算相撞时两车的速度均为109km/s，试求碰撞过程中车内质量60kg的人受到的平均冲击力约为多少?
【例35】 一质量为M的汽艇，在静水中航行时能达到的最大速度为10m/s．假设航行时，汽艇的牵引力F
始终恒定不变，而且汽艇受到的阻力f与其航速v之间，始终满足关系：f=kv，其中k=100N⋅s/m，求：
（1）该汽艇的速度达到5m/s的瞬时，汽艇受到的阻力为多大？
（2）该汽艇的牵引力F为多大？
（3）若水被螺旋桨向后推出的速度为8m/s，汽艇以最大速度匀速行驶时，在3秒钟之内，估算
螺旋桨向后推出的质量m为多少？（提示：①推算水的质量时，可以将水的粘滞力忽略；
②以上速度均以地面为参考系）
检测
1． 如图所示质量为m的物块沿倾角为θ的斜面由底端向上滑去，经过时间t1速度为
零后又下滑，经过时间t2回到斜面底端，在整个运动过程中，重力对物块的总冲
量为( ) A．0 B．mg⋅sinθ⋅(t1+t2) C．mg⋅sinθ⋅(t1-t2) D．mg⋅(t1+t2)
2． 两个具有相等动量的物体A、B，质量分别为mA和mB，且mA>mB，比较它们的动能（）
A．B的动能较大 B．A的动能较大 C．动能相等 D．不能确定
3． 质量为m的钢球自高处落下，以速率v1碰地，竖直向上弹回，碰撞时间极短，离地的速率为v2，在碰
撞过程中，地面对钢球的冲量的方向和动量变化的大小为（ ）
A．向下，m(v1-v2) B．向下，m(v1+v2) C．向上，m(v1-v2) D．向上，m(v1+v2)
4． 质量为5kg的物体，原来以v=5m/s的速度做匀速直线运动，现受到跟运动方向相同的冲量15N⋅s的
作用，历时4s，物体的动量大小变为
A．80kg⋅m/s B．160kg⋅m/s C．40kg⋅m/s D．10kg⋅m/s
5． 质量为1kg的物体从离地面5m高处自由下落，与地面碰撞后上升的最大高度为3.2m，设球与地面作
用时间为0.2s，则小球对地面的平均冲力为(g=10m/s2) ( )
A．90N B．80N C．110N D．100N
6． 以初速度v水平抛出一质量为m的石块，不计空气阻力，则对石块在空中运动过程中的下列各物理
量的判断正确的是（ ）
A．在两个相等的时间间隔内，石块受到的冲量相同
B．在两个相等的时间间隔内，石块动量的增量相同
C．在两个下落高度相同的过程中，石块动量的增量相同
D．在两个下落高度相同的过程中，石块动能的增量相同
作业
1． 如图所示，倾角为α的光滑斜面，长为s，一个质量为m的物体自A点从
静止滑下，在由A到B的过程中，斜面对物体的冲量大小是 ，重力
冲量的大小是 。物体受到的合冲量大小是 （斜面固定
不动）．
2． 一个物体的质量是2kg，沿竖直方向下落，以10m/s的速度碰到水泥地面上，随后又以8m/s的速度
被反弹回，若取竖直向上为正方向，则小球与地面相碰前的动量是_______kg⋅m/s，相碰后的动量是_______kg⋅m/s，小球的动量变化是_______kg⋅m/s。
3． 使质量为2kg的物体做竖直上抛运动，4s后回到出发点，不计空气阻力，在此过程中物体动量的变化
和所受的冲量分别是（ ）
A．80kg⋅m/s，方向竖直向下；80N⋅s，方向竖直向上
B．80kg⋅m/s，方向竖直向上；80N⋅s，方向竖直向下
C．80kg⋅m/s和80N⋅s，方向均竖直向下
D．40kg⋅m/s和40N⋅s，方向均竖直向下
4． 请解释下列现象：
（1）在桌子上放一个纸带，在纸带上放一个重物，若用水平力缓缓拉动纸带，则重物跟着纸带
一起运动，若迅速抽动纸带，则纸带可能会从重物下抽出，请解释这种现象．
（2）杂技表演时，用铁锤猛击放在“大力士”身上的大石块，石裂而人不伤，请解释这种现象．
5． 质量相等的物体P和Q，并排静止在光滑的水平面上，现用一水平恒力F推物体P，同时给Q物体
一个与F同方向的瞬时冲量I，使两物体开始运动，当两物体重新相遇时，所经历的时间为
A．
6． 质量为1kg的物体从高5m处的平台以1m/s的速度水平抛出，不计空气阻力，求物体落地时的动量。
(g 10m/s2)
I2I2FF B． C． D． FFII