向量与圆锥曲线

向量与圆锥曲线

★★★高考在考什么

【考题回放】

x 2y 2

1．点P(-3,1)在椭圆2+2=1(a >b >0) 的左准线上. 过点P 且方向为a =(2,-5)的

a b

光线, 经直线y =-2反射后通过椭圆的左焦点, 则这个椭圆的离心率为(A )

112

( B ) ( C ) ( D )

3232

y 22

=1的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且MF 1⋅MF 2=0, 则2．已知双曲线x -2

( A )

点M 到x 轴的距离为（C ）

（A ）

45 （B ） （C

） （D

333

3．设过点P (x , y ) 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A,B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP =2PA 且OQ AB =1，则点P 的轨迹方程

是（ D ）

323

y =1(x >0, y >0) B ．3x 2-y 2=1(x >0, y >0) 22323222

C ．x -3y =1(x >0, y >0) D ．x +3y =1(x >0, y >0)

22

2A ．3x +

4．已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P

为坐标平面内的动点，满足

+⋅=0，则动点P （x ，y ）的轨迹方程为（ B ）

（A ）y 2=8x （B ）y 2=-8x （C ）y 2=4x （D ）y 2=-4x 5．若曲线y 2＝|x |＋1与直线y ＝kx ＋b 没有公共点，则k 、b 分别应满足的条件是

．k =0, b ∈(-1,1) 6．已知两定点F 1, F 2

(

)，满足条件PF 2-PF 1=2的点P 的轨迹

)

是曲线E

，直线y=kx-1与曲线E 交于A,B

两点。如果AB =，且曲线E 上存在点C ，使OA

+OB =mOC ，求m 的值和∆ABC 的面积S 。

【专家解答】由双曲线的定义可知，曲线E 是以 F 1, F 2为焦点的双曲线的左支，

())

且c =a =1，易知b =1，

2

2

故曲线E 的方程为x -y =1(x

⎧y =kx -1

22

⎩x -y =1

22

消去y ，得1-k x +2kx -2=0

()

又已知直线与双曲线左支交于两点A , B ，有

⎧1-k 2≠0⎪22

⎪∆=(2k )+8(1-k )>0⎪⎪

解得k

12

⎪1-k 2⎪-2⎪x 1x 2=>02⎪1-k ⎩

又∵

AB =

x 1-

x 2=

==

依题意得

4

2

整理后得 28k -55k +25=0

55

2

或k = 但

k

- 742

故直线AB x +y +1=0

设C (x c , y c )，由已知OA +OB =mOC ，得(x 1, y 1)+(x 2, y 2)=(mx c , my c )

2∴k =

⎛x 1+x 2y 1+y 2⎫

, ⎪，(m ≠0)

m m ⎝⎭2k 2k 22

=-y 1+y 2=k (x 1+x 2)-2=2-2=

2又x 1+x 2=2=8 k -1k -1k -1

8064⎫

∴点C 8⎪将点C 的坐标代入曲线E 的方程，得2-2=1

m ⎪m m ⎝⎭

∴(x c , y c )=

，

得m =±4，但当m =-4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意 ∴

m =4，C 点的坐标为2，C 到AB

()

=

1

3

∴∆ABC 的面积S =

11

⨯=23

★★★高考要考什么

【考点透视】

近几年平面向量与解析几何交汇试题考查方向为

（1）考查学生对平面向量的概念、加减运算、坐标运算、数量积及学生对平面向量知识的简单运用，如向量共线、垂直、定比分点。

（2）考查学生把向量作为工具的运用能力，如求轨迹方程，圆锥曲线的定义，标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。

【热点透析】

向量具有代数与几何形式的双重身份，故它是联系多项知识的媒介，成为中学数学知识的一个交汇点，数学高考重视能力立意，在知识网络的交汇点上设计试题，因此，解析几何与平面向量的融合交汇是今后高考命题改革的发展方向和创新的必然趋势。 要注意以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直、射影等问题以及圆锥曲线中的轨迹、范围、最值、定值、对称等典型问题。

★★★突破重难点

y 2

=1上两点A 、B ，AB 中点M （1，2） 【范例1】设双曲线x -2

（1）求直线AB 方程；

（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 是否共圆，为什么？

解析：（1）法一：显然AB 斜率存在。 设AB ：y-2=k(x-1)

⎧y =kx +2-k ⎪

由⎨2y 2得(2-k2)x 2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0

=1⎪x -2⎩

x +x 2k (2-k )

= 当△>0时，设A （x 1,y 1），B （x 2,y 2），则 =1 22-k 2

∴ k=1，满足△>0 ∴ 直线AB ：y=x+1

⎧2y 12

=1⎪x 1-

⎪2

法二：设A （x 1,y 1），B （x 2,y 2）， 则⎨ 2

y ⎪22

x -=12⎪2⎩

1

两式相减得(x1-x 2)(x1+x2)=(y1-y 2)(y1+y2)

2

y -y 22(x 1+x 2) 2⨯1

= ∵ x1≠x2 ∴ 1 ∴ k AB ==1

x 1-x 2y 1+y 22

2

y 2

=1得△>0. ∴ AB：y=x+1 代入x -2

（2）设A 、B 、C 、D 共圆于⊙M '，因AB 为弦，故M '在AB 垂直平分线即CD 上；又CD 为弦，故圆心M '为CD 中点。因此只需证CD 中点M 满足|M'A|=|M'B|=|M'C|=|M'D|

⎧y =x +1⎪

由⎨2y 2得A （-1，0），B （3，4）. 又CD 方程：y=-x+3

=1⎪x -2⎩

⎧y =-x +3⎪

由⎨2y 2得x 2+6x-11=0. 设C(x3,y 3) ，D(x4,y 4) ，CD 中点M '( x0,y 0)

=1⎪x -2⎩

2

x 3+x 4

=-3, y 0=-x 0+3=6 ∴ M'（-3，6） 2

1

∴ |M'C|=|M'D|=|CD|=2

2

又|M'A|=|M'B|=2 ∴ |M'A|=|M'B|=|M'C|=|M'D|

则x 0=

∴ A、B 、C 、D 在以CD 中点，M '（-3，6）为圆心，2为半径的圆上

【点晴】第（1）小题中法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这两种途径处理。在利用点差法时，必须检验条件△>0是否成立；第（2）小题此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在，然后求出该结论，并检验是否满足所有条件，本题应着重分析圆的几何性质，以定圆心和定半径这两定为中心。充分分析平面图形的几何性质可以使解题思路更清晰，在复习中必须引起足够重视。

【文】在平面直角坐标系x O y 中，直线l 与抛物线y 2＝2x 相交于A 、B 两点．

（1）求证：“如果直线l 过点T （3，0），那么OA ⋅OB ＝3”是真命题；

（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． [解]（1）设过点T(3,0)的直线l 交抛物线y 2=2x 于点A(x 1, y 1) 、B(x 2, y 2). 当直线l 的钭率不存在时, 直线l 的方程为x=3,此时, 直线l 与抛物线相交于 点A(3,6) 、B(3,－6). ∴⋅=3；

当直线l 的钭率存在时, 设直线l 的方程为y =k (x -3) ，其中k ≠0，

--→

--→

⎧y 2=2x 由⎨得 ky 2-2y -6k =0⇒y 1y 2=-6 ⎩y =k (x -3)

又 ∵ x 1=y 12, x 2=y 22，

22

∴OA OB =x 1x 2+y 1y 2=1(y 1y 2) 2+y 1y 2=3，

综上所述，命题“如果直线l 过点T(3,0)，那么⋅=3”是真命题；

(2)逆命题是：设直线l 交抛物线y 2=2x于A 、B 两点, 如果⋅=3,那么该直线

过点T(3,0).该命题是假命题.

例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(

1

,1) ，此时OA OB =3,直线AB 的方程为：2

y =2(x +1) ，而T(3,0)不在直线AB 上；

说明：由抛物线y 2=2x 上的点A (x1,y 1) 、B (x2,y 2) 满足⋅=3，可得y 1y 2=－6，或y 1y 2=2，如果y 1y 2=－6，可证得直线AB 过点(3,0)；如果y 1y 2=2，可证得直线AB 过点(－1,0), 而不过点(3,0).

【范例2】已知i , j 是x,y 轴正方向的单位向量，设a =(x -) i +y j ,

b =(x +3) i +y j , 且满足b

∙i =|

a |.求点P (x , y ) 的轨迹.

解：法一：

b ⋅i

=(x i 2+yi ⋅j =x

∴x +=

，化简得y 2=， 故点P 的轨迹是以(,0) 为焦点以x =

b ⋅i =|b |cos

则b ⋅i 表示b 在x 轴上的投影， 即点P

到x = 设F 1 (-3,0) ，F 2(3,0) ，

法二：

所以点P 到定点F 2

的距离与到定直线

x =

故点P 的轨迹是以(3,0) 为焦点以

x =

【点晴】将向量问题坐标化进而数量化（法一）和将向量问题几何化（法二）是两种常用转化方法，应熟练掌握。

【文】已知i , j 是x,y 轴正方向的单位向量，设a =(x -) i +y j , b =(x +3) i +y j , 且满足|a |+|b |=4.

(1) 求点P(x,y)的轨迹C 的方程.

(2) 如果过点Q(0，m) 且方向向量为c =(1,1) 的直线l 与点P 的轨迹交于A ，B 两点，当∆AOB 的面积取到最大值时，求m 的值。

解：(1) a =(x -3) i +y j , b =(x +) i +y j , 且|a |+|b |=4.

(-,0) 的距离这和为4，故点P 的轨迹方程为+y 2=1 ∴点P(x,y)到点(3,0) ，

4(2)设A(x 1，y 1),B(x 2，y 2) 依题意直线AB 的方程为y=x+m. 代入椭圆方程，得

4

5x 2+8mx +4m 2-4=0，则x 1+x 2=-m, x 1∙x 2=(m 2-1) 5

2

因此，S ∆AOB =

2

2

2

AB d =

5

(5-m 2) m 2

2

当5-m =m 时，即m=±

时，S max =1

【范例3】已知点A(-22，0) ，B(-2，0) 动点P 满足⋅=(1)若动点P 的轨迹记作曲线C 1，求曲线C 1的方程. (2)已知曲线C 1交y 轴正半轴于点Q ，过点D （0，-

2||⋅||

2

）作斜率为k 的直线交曲3

线C 1于M 、N 点，求证：无论k 如何变化，以MN 为直径的圆过点Q.

解：（1）设P(x，y) ，则有=(x +22, y ) =(2, 0) =(x +2, y ) ∵⋅=

2

2

2⋅||⋅|| ∴2x +4=2⋅2⋅(x +2) 2+y 2

得x +2y =4

x 2y 22

+=1 得Q (0，2) 设直线C 的方程为y=kx-（2）由 423

4232

代入x 2+2y2=4得 (1+2k2) x2-kx -=0

39

设M(x1，y 1) N(x2，y 2) QM =(x 1, y 1-2), QN =(x 2, y 2-2)

∵x 1+x 2=

3242k

x ⋅x =-1222

9(1+2k ) 3(1+) k

又∵⋅=x 1x 2+(kx 1-

4242) (kx 2-) =x 1x 2(1+

k 2) 3332

(1+k 2)

3232-k (x 1+x 2) +=--⋅+=0

391+2k 233(1+2k 2) 9

∴⊥ ∴点Q 在以MN 为直径的圆上.

【点晴】直接法求轨迹是最常见的方法，要注意运用；向量是将几何问题代数化的有力工具。

【文】如图，过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点 P （0,m ）(m>0)作直线与抛物线交于A ，B 两点，点 Q 是点P 关于原点的对称点. 设点P 分有向线段AB 所 成的比为λ，证明:QP ⊥(QA -λQB ) ；

解：依题意，可设直线AB 的方程为y =kx +m , 代入抛物线方程x 2=4y 得x -4kx -4m =0. ①

设A 、B 两点的坐标分别是 (x 1, y 1) 、(x 2, y 2), 则x 1、x 2是方程①的两根. 所以 x 1x 2=-4m . 由点P （0，m ）分有向线段所成的比为λ，得又点Q 是点P 关于原点的对称点，

故点Q 的坐标是（0，－m ），从而QP =(0, 2m ) .

2

x 1+λx 2x

=0, 即λ=-1.

1+λx 2

QA -λQB =(x 1, y 1+m ) -λ(x 2, y 2+m ) =(x 1-λx 2, y 1-λy 2+(1-λ) m ). QP ⋅(QA -λQB ) =2m [y 1-λy 2+(1-λ) m ]

2

x 12x 1x 2x x x +4m

=2m [ +⋅+(1+1) n ]=2m (x 1+x 2) ⋅12

4x 24x 24x 2

-4m +4m

=0. =2m (x 1+x 2) ⋅

4x 2

所以 QP ⊥(QA -λQB ).

【范例4】已知A,B 为抛物线x 2=2py (p >0)上异于原点的两点，OA ⋅OB =0，点C 坐标为（0，2p ）

（1）求证：A,B,C 三点共线；

（2）若＝λ（λ∈R ）且OM ⋅AB =0试求点M 的轨迹方程。

x 12x 22

（1）证明：设A (x 1, ), B (x 2, ) ，由OA ⋅OB =0得

2p 2p

x 12x 22

x 1x 2+=0, ∴x 1x 2=-4p 2，

2p 2p

x 12x 22-x 12

又AC =(-x 1,2p -AB =(x 2-x 1,

2p 2p

x 22-x 12x 12

∴-x 1⋅-(2p -⋅(x 2-x 1) =0，

2p 2p ∴AC //AB ，即A,B,C 三点共线。

（2）由（1）知直线AB 过定点C ，又由OM ⋅AB =0及＝λ（λ∈R ）

知OM ⊥AB ，垂足为M ，所以点M 的轨迹为以OC 为直径的圆，除去坐标原点。即点M 的轨迹方程为x 2+(y-p ) 2=p 2(x ≠0，y ≠0) 。

【点晴】两个向量的平行（共线）与垂直的充要条件在解析几何中有重要应用。在解题时尤其要注意几何位置⇔向量表达式⇔坐标表示之间的转化。

【文】已知双曲线M ：x 2－y 2=1，直线l 与双曲线M 的实轴不垂直，且依次交直线y =x 、双曲线M 、直线y =－x 于A 、B 、C 、D 四点，O 为坐标原点．

(1) 若AB =BC =CD ，求△AOD 的面积；

(2) 若△BOC 的面积等于△AOD 面积的，求证：AB =BC =CD ．

3

解：（1）设l :y =kx +b 代入x 2-y 2=1, 得(1-k ) x -2bkx -b -1=0. 显然k ≠±1,

2

2

2

2

2

2

2

2

(1)

2

∆=4b k +4(1+b )(1-k ) >0,

即b +(1-k ) >0.

设B (x 1, y 1), C (x 2, y 2), 则x 1, x 2是方程(1)的两

-(1+b 2) , x 1x 2=. 个根，有x 1+x 2=22

1-k 1-k

设A (x 3, y 3), D (x 4, y 4)

由⎨

⎧y =kx +b ,

1-k ⎩y =x ,

b ⎧y =kx +b ,

由⎨得x 4=-

y =-x , 1+k ⎩

得x 3=

b

;

。

A =B =

, D 所以x 1-x 2=x 3-x 4。

3

=, 整理，得 b 2=(k 2-

1) . 所以

831-k 2, ∠AOD =90︒, b 2>0, ∴k 2>1. 又OA =OD =

∴S ∆AOB =

12

OA ⋅OD =

9=. 1-k 28

x +x 4x 1+x 2

=2, x Q =3=2, 221-k 1-k

b 2

（2）设BC 的中点为P , AD 的中点Q , 则x P =

x P =x Q , 又P , Q 都在直线上, 所以P , Q 重合.

∴AP =DP , ∴AP -BP =DP -CP , ∴AB =CD .

又S ∆BOC =S ∆AOD , ∴BC =AD , ∴AB +CD =AD , ∴AB =BC =CD .

333

★★★自我提升

1、平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知A （3，1），B （-1，3），若点C 满足=α+β，其中α,β∈R ，且α+β=1，则点C 的轨迹方程为( D )

A ． 3x +2y -11=0 B ．(x -1) 2+(y -2) 2=5 C ． 2x-y =0 D ． x +2y -5=0

2、已知i , j 是x,y 轴正方向的单位向量，设a =(x -2) i +y j , b =(x +2) i +y j ,

且满足|a |+|b |=4.则点P (x , y ) 的轨迹是.( C )

A ．椭圆 B ．双曲线 C ．线段 D ．射线

3、中心在原点，焦点在坐标为(0，±52) 的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐标为

1

，则椭圆方程为(C ) 2

2x 22y 22x 22y 2x 2y 2x 2y 2A. +=1 B.+=1C. +=1 D.+=1

[**************]5

x 2y 2

+=1恒有公共点，则m 的取值范围是（A ）. 4、直线y=kx+1与椭圆5m

5、已知i , j 是x,y 轴正方向的单位向量，设a =(x -) i +y j , b =(x +3) i +y j , y 22

=1(x

A 、m≥1且m≠5 B 、m≥1 C 、m≠5 D 、m≤5

6．已知A 、B 为抛物线x 2=2py (p>0)上两点，直线AB 过焦点F ，A 、B 在准线上的

射影分别为C 、D ，则①y 轴上恒存在一点K ，使得KA ∙KF =0；②CF ∙DF =0；③存在实数λ使得 AD =λAO ；④若线段AB 中点P 在在准线上的射影为T ，有7．已知圆x 2+y 2=1，双曲线(x -1) 2-y 2=1，直线l 同时满足下列两个条件：①与双曲线交于不同两点；②与圆相切，且切点是直线与双曲线相交所得弦的中点。求直线l 方程。

分析：选择适当的直线方程形式，把条件“l 是圆的切线”“切点M 是弦AB 中点”翻译为关于参数的方程组。

法一：当l 斜率不存在时，x =-1满足； 当l 斜率存在时，设l ：y=kx+b

与⊙O 相切，设切点为M ，则|OM |=1

|b |

=1 ∴ b 2=k 2+1 ① ∴

k 2+1⎧y =kx +b 222由⎨得(1-k ) x -2(1+kb ) x-b =0 22

⎩(x -1) -y =1

当k ≠±1且△>0时，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则中点M （x 0，y 0），

FT ∙AB =0。中说法正确的为___________①②③④

1-k 1-k 1-k

222

∵ M 在⊙O 上 ∴ x 0+y 0=1 ∴ (1+kb ) +(k+b) 2=(1-k 2) 2 ②

⎧⎧3k =k =-⎪⎪⎪⎪33 ∴y =x -23或y =-+23 由①②得：⎨ 或 ⎨

3333⎪b =-2⎪b =2⎪⎪33⎩⎩

法二：设M （x 0，y 0），则切线AB 方程x 0x+y0y =1 当y 0=0时，x 0=±1，显然只有x =-1满足；

x 1

当y 0≠0时，y =-0x + 代入(x-1) 2-y 2=1得：(y 02-x 02) x 2+2(x 0-y 0) 2x -1=0

y 0y 0

∵ y 02+x 02=1 ∴化简方程为 (1-2x 02) x 2+2(x 02+x 0-1) x -1=0

x 02+x 0-1

由中点坐标公式及韦达定理得：x 0=- 2

1-2x 0

1

∴ y 0=±。

22

2

8．已知A 、B 为抛物线x =2py (p >0)上两点，直线AB 过焦点F ，A 、B 在准线上的射影分别为C 、D .

x 1+x 2=

2(1+kb )

2

, x 0=

1+kb

2

∴ y 0=kx 0+b =

k +b

2

∴2x 03-x 02-2x 0+1=0 解之得：x 0=±1(舍) ，x 0=

（1）若∙=-6，求抛物线的方程。 （2）CD 是否恒存在一点K ，使得∙=0

解：（1）提示：记A （x 1, y 1）、B （x 2, y 2）设直线AB 方程为y =kx +抛物线方程得x 2-2kpx-p 2=0 ，x 1x 2=-p 2, y 1y 2=

2

OA ∙OB =x 1x 2+y 1y 2=-3

p =-6

4

p 2

代入

p 2

（2）设线段AB 中点P 在在准线上的射影为T ，

则∙=

(+) ∙(+) =+∙(+) +∙

=++PA ∙PB ＝+－PA ＝

12

1

2

2

1AB －

2

1AB ＝0

2

故存在点K 即点T ，使得∙=0