的中点，过点D 作⊙O 的切线，25．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 是BC
与AB ，AC 的延长线分别交于点E ，F ，连结AD ． （1）求证：AF ⊥EF ； （2）若tan ∠CAD =
25． （1）证明：连结OD ．
∵直线EF 与⊙O 相切于点D ， ∴OD ⊥EF ．
∵OA = OD，∴∠1=∠3．………………………….. 1分
1
，AB =5，求线段BE 的长． 2
A
E
的中点， ∵点D 为BC
∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，
∴OD ∥AF ，∴AF ⊥EF ． ……………….. ………… 2分 （2）解：连结BD ． ∵tan ∠CAD =∴tan ∠1=
A
O
E
1
， 2
1
，………………. ……………….. …… 3分 2
在Rt △ADB 中，AB =5， ∴BD
AD
=
在Rt △AFD 中，可得DF =2，AF =4，
∵OD ∥AF ，∴△EDO ∽△EF A ，…. ……………… 4分 ∴
A
OD OE
=， AF AE
O
B
E
又∵OD =2.5，设BE=x，
2.52.5+x
=， 45+x 55
∴x =，即BE =．……………………. …. ……. 5分
33
∴
（1）圆题目的第二问通常需要作一条辅助线
（2）当涉及到求具体边的长度时，通常会利用到求半径长度
25．如图，在△ABC 中，AB=AC，AD ⊥BC 于点D ，过点C 作⊙O 与边AB 相切于点E ，交BC 于点F ，CE 为⊙O 的直径. （1） 求证：OD ⊥CE ；
（2） 若DF =1， DC =3，求AE 的长．
25. (本小题满分5分)
（1）证明： ⊙O 与边AB 相切于点E ，且 CE 为⊙O 的直径．
∴CE ⊥AB ．
AB=AC，AD ⊥BC ，
∴BD =DC ． ………………………………1分
又 OE=OC，
∴OD ∥EB ．
∴ OD ⊥CE ．………………………………2分
（2）解：连接EF ．
CE 为⊙O 的直径，且点F 在⊙O 上， ∴∠EFC =90°． CE ⊥AB ， ∴∠BEC =90°．
∴∠BEF +∠FEC =∠FEC +∠ECF =90°． ∴∠BEF =∠ECF ．
∴tan ∠BEF =tan ∠ECF ． ∴BF =EF ．
EF
FC
又 DF =1， BD=DC=3， ∴ BF =2， FC =4．
∴EF =． ………………………………………………… 3分
∵∠EFC =90°，
∴∠BFE =90°．
由勾股定理，得BE ． ……………………4分
EF ∥AD ， BE BF 2∴==．
EA FD 1
∴AE =． ……………………………………………………5分
要锻炼找相似三角形的能力，圆中经常与相似三角形结合
25．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是直径，⊙O 的切线PC 交BA 的延长线于点P ，OF ∥BC ，交AC 于点E ，交PC 于点F ，连接AF .
（1）求证：AF 是⊙O 的切线；
（2）已知⊙O 的半径为4，AF=3，求线段AC 的长.
F B
A
P
25．（1）证明：连接OC ，…………………..(1分)
∵AB 是⊙O 直径，
∴∠BCA =90°
∵OF ∥BC ∴∠AEO =90°， ∴OF ⊥AC ，∵OC =OA ， B ∴∠COF =∠AOF ， O A
∴△OCF ≌△OAF ∴∠OAF =∠OCF
∵PC 是切线∴∠OCF =90°，……………………..(2分) ∴FA ⊥OA ，∴AF 是⊙O 的切线……………………..(3分) （2）∵⊙O 的半径为4，AF =3，FA ⊥OA ，
∴OF =
=5 ∵F A ⊥OA ，OF ⊥AC ，
∴AF ·OA = OF ·EA ，……………………………..(4分) ∴3×4= 5×EA ，
12
解得AE =，
524
AC =2AE =………………………………………..(5分)
5
P
熟练掌握相似三角形基本图形
25. 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 作⊙O 的切线CM ． （1）求证：∠ACM =∠ABC ； （2）延长BC 到D ，使CD = BC ，连接AD 与CM 交于点E ，若⊙O 的半径为2，ED =1，求AC 的长．
（1）证明：连接OC . ∵ AB 为⊙O 的直径， ∴ ∠ACB = 90°.
∴ ∠ABC ＋∠BAC = 90°.[来源:学科网] ∵ CM 是⊙O 的切线， ∴ OC ⊥CM .
∴ ∠ACM ＋∠ACO = 90°. ············· 1分∵ CO = AO ， ∴ ∠BAC =∠ACO .
∴ ∠ACM =∠ABC . ················· 2分 （2）解：∵ BC = CD，OB=OA, ∴ OC∥AD. 又∵ OC ⊥CE , ∴CE ⊥AD . ------3分 ∵ ∠ACD =∠ACB = 90°, ∴ ∠AEC =∠ACD . ∴ ΔADC ∽ΔACE . ∴
AD AC
=. ···················· 4分[ AC AE
而⊙O 的半径为2, ∴ AD = 4. ∴
4AC =. AC 3
∴ AC = 23 . ··················· 5分[
21. 如图，AB 是 O 的直径，C 是圆周上一点，OD ⊥AC 于点D .
过C 作 O 的切线，交OD 的延长线于点P , 连接AP . （1）求证：AP 是 O 的切线. （2）若
AC 416
= ，PD = ，求 O 的半径. AB 53
P
21. 解：
（1）证明：连结OC.
AC 是 O 的弦，OD ⊥AC ，OA=OC ∴∠AOP =∠COP 在∆AO P 和∆CO P 中，
A
B
A
⎧OA =OC ⎪
⎨∠AOP =∠COP ∴∆AOP ≅∆COP ∴∠PCO =∠PAO ……………1⎪OP =OP ⎩
分
PC 切 O 于点C
∴∠PCO =90︒∴∠PAO =90︒即PA ⊥AO
又 OA 是 O 的半径，∴AP 是 O 的切线……………………………2分
（2）连结BC.
AB 是 O 的直径，∴AC ⊥BC 又 OD ⊥AC ∴OD //BC ∴
AD AC 4CD 4
==∴= AO AB 5CO 5
设CD=4k,则CO=5k,OD=3k.(k>0)
∠CPD +∠COD =90︒, ∠COD +∠OCD =90︒,
∴∠CPD =∠OCD
∠PDC =∠CDO =90︒,
∴∆CPD ∽∆OCD ∴
CD OD
…………………………………………………………………………3分 =
PD DC
16
k ……………………………4分 3
设CD=4k,则CO=5k,OD=3k.(k>0)∴PD = PD =
16
∴k =1∴OC =5 ∴ O 的半径长为5………………………5分 3
解直角三角形与相似结合
25．如图，AB 为⊙O 直径，C 是⊙O 上一点，CO ⊥AB 于点O ，弦CD 与AB 交于点F ，过点D 作∠CDE ，使∠CDE =∠DFE ，交AB 的延长线于点E . 过点A 作⊙O 的切线交ED 的延长线于点G .
（1）求证：GE 是⊙O 的切线；
（2）若OF ：OB =1：3，⊙O 的半径为3，求AG 的长．
25．（1）
证明：连接OD
∵OC=OD， ∴∠C=∠ODC ∵OC ⊥AB
∴∠COF =90° ……………………………………1分 ∴∠OCD +∠CFO =90° ∴∠ODC +∠CFO =90° ∵∠EFD =∠FDE ∠EFD =∠CDE ∴∠CDO +∠CDE =90°
∴DE 为⊙O 的切线………………………………2分 （2）解：∵OF ：OB =1：3，⊙O 的半径为3， ∴OF =1，
∵∠EFD =∠EDF ， ∴EF=ED，
在Rt △ODE 中，OD =3，DE =x ，则EF =x ，OE =1+x ， ∵OD 2
+DE2
=OE2
，
∴32
+x 2
=（x +1）2
，解得x =4……………………3分 ∴DE =4，OE =5， ∵AG 为⊙O 的切线，
G
题图E
G
∴AG ⊥AE ， ∴∠GAE =90°， 而∠OED =∠GEA ，
∴Rt △EOD ∽Rt △EGA ， ………………………4分 ∴
OD DE 34
==，即， AG AE AG 3+5
∴AG =6．…………………………………………5分
圆中一个倒角模型
25．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线
DE 交AC 于点E ． （1）求证：∠CED ＝90°； （2）若AB ＝13，sin ∠C ＝
25．（1）证明：如图，连接OD ，
∵DE 切⊙O 于D ，OD 是⊙O 的半径，
∴∠EDO ＝90°．
1分 ∵OD ＝OB ， ∴∠ABC ＝∠
ODB ． ∵AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠C ， ∴∠ODB ＝∠C ， ∴DO ∥AC ，
∴∠CED ＝∠EDO ＝90°． ………………………2分 （2）如图，连接AD ，
∵AB 为⊙O 直径，∴∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC ． ………………………3分 在Rt △CED 和Rt △BDA 中，
5
，求CE 的长． 13
∠C ＝∠ABC ，∠DEC ＝∠ADB ＝90°， ∴△CED ∽△BDA ，
AD 5
＝sin ∠C ＝， AB 13
∴sin ∠ABC ＝
∴AD ＝
5
AB ＝5， 13
∴CD ＝BD ＝AB 2-AD 2＝12．
∴CE ＝
12⨯12144
＝． ………
1313