年级 数学 科辅导讲义（第 讲）
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勾股定理
知识梳理
1．勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。若直角三角形的两条直角边为a、 b，斜边为c，则a²+b²=c²。
2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。
3．满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数。若a，b，c是一组勾股数，则ak，bk，ck（k为正整数）也必然是一组勾股数。常用的几组勾股数有3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17；9,40,41等。
4．勾股定理的应用:
①圆柱形物体表面上的两点间的最短距离； ②长方体或正方体表面上两点间的最短距离问题。 5．直角三角形的判别：
①定义，判断一个三角形中有一个角是直角；
②根据勾股定理的逆定理，三角形一边的平方等于另外两边的平方和，则该三角形是直角三角形。 6．拓展：特殊角的直角三角形相关性质定理。 精讲点拨
考点1. 勾股定理
【例1】在Rt△ABC中，已知两边长为3、4，则第三边的长为 变式1 在Rt△ABC中，已知两边长为5、12，则第三边的长为 变式2 等边三角形的边长为6，则它的高是________
变式3 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，
（1）已知c＝4，b＝3，求a； （2）若a:b=3:4，c=10cm，求a、b。
考点2. 勾股定理的证明
【例2】如图：由四个全等直角三角形拼成如下大的正方形，求证：abc
变式 如图：由四个全等直角三角形拼成如下大的正方形，求证：abc
考点3 勾股定理的应用
【例3】 如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以107千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200•千米范围内是受台风影响的区域． （1）A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明； （2）如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？
变式1 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩子头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？
2
2
2
2
2
2
变式2 一个25m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时的AO距离为24m，如果梯子的顶端A沿墙下滑4m，那么梯子底端B也外移4m吗？
考点4. 直角三角形的判定
【例4】三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）
222
A．a:b:c=8∶16∶17 B． a-b=c
2
C．a=(b+c)(b-c) D． a:b:c =13∶5∶12 变式1 三角形的三边长为(ab)c2ab,则这个三角形是( )
A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形.
变式2 已知，△ABC中，AB17cm，BC16cm，BC边上的中线AD15cm，试说明△ABC
A
22
是等腰三角形．
B
D
C
变式3 如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=求证：AF⊥EF．
1
BC， 4
考点5. 勾股定理及其逆定理相关面积计算
【例5】一个零件的形状如图，已知∠A=90，按规定这个零件中∠DBC应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD = 4，AB = 3, BC = 12 , DC=13，问这个零件是否符合要求，并求四边形ABCD的面积．
变式1 如图示，有块绿地ABCD，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，∠ADC=90°，求这块绿地的面积。
变式2 求知中学有一块四边形的空地ABCD，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量 ∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投 入多少资金买草皮？
考点6. 折叠问题
【例6】折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm。 求EC的长. = 4.00 厘米
变式1 如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，恰与AE重合，则CD等于（ ） A．2㎝
B．3㎝
C．4㎝
D．5㎝
B
CE
A
D
m BF = 2.4 厘
变式2 如图，在矩形ABCD中，AB6,将矩形ABCD折叠，使点B与点D重合，C落在C处，若
AE：BE1：2，则折痕EF的长为。
变式1 图 变式2 图
章节练习
一、选择题
1. 下列各组能组成直角三角形的是 ( )
A. 4、5、6 B. 2、3、4 C. 11、12、13 D. 8、15、17 2. 若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
3. 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ） A．90° B．60° C．45° D．30°
4. 直角三角形的两直角边分别为5厘米、12厘米，则斜边上的高是（ ）
A. 6厘米 B. 8厘米 C.
A
B
C
6080
厘米 D. 厘米
1313
D. 25或7
5. 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） 3题 图
A. 5 二、填空题
6. 在△ABC中，∠C＝90°，若 c＝17，b＝15，则a＝ ．
7. 如图,中间三角形是直角三角形，64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母A所代表的正方形面积是
8. 有以下几组数据 ①3、4、5 ；②17、15、8；③10、6、14；④12、5、13；⑤300、160、340；⑥0.3, 0.4,0.5.其中可以构成勾股数有
9. 如图某楼梯的长为5米，高3，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要________米。
10. 在长方形纸片ABCD中，AD＝4cm，AB＝10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE＝ cm.
B. 25
C. 7
5米
3米
′
F
B C
9题 图 10题 图
三、解答题：
11. 一同学先向东直线走了150米，由于其它原因，他接着向南直线走了80米，这时该同学距离他出发的地点有多远？（要求作图分析）
12. “中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30米处，过了2秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50米，这辆小汽车超速了吗？
17. 一块地如图所示，已知AB＝4米，BC＝3米，DC＝12米，AD＝13米，∠B＝90°，求这块地的面积。（提示：做辅助线AC）
A
C