二项式定理复习教案

二项式定理

【考纲要求】掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能运用它们计算和论证一些简单问题。

【基础知识】

0n1n12n22rnrrnn1.二项式定理：(ab)nCnaCnabCnabCnabCnb

rnrr2.二项式通项公式：Tr1Cnab （r=0,1,2,„,n）

3.二项式系数的性质： (ab)n的展开式的二项式系数有如下性质：

（1）在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等。

（2）如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；

如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等且最大。

012n2n1n（3） CnCnCnCnCnCn2n

024135（4）CnCnCnCnCnCn2n1

（奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和）

4.二项展开式的系数a0,a1,a2,a3,„,an 的性质：

23n f(x)= a0+a1x+a2x+a3x„„+anx

⑴ a0+a1+a2+a3„„+an=f(1)

⑵ a0-a1+a2-a3„„+(-1)nan=f(-1)

f(1)f(1)⑶ a0+a2+a4+a6„„= 2

f(1)f(1)⑷ a1+a3+a5+a7„„= 2

⑸ a0=f(0)

⑹ |a0|+|a1|+|a2|+|a3|„„+|an|=

5. 注意（1）奇数项、偶数项、奇次项、偶次项各自表示的意义。

（2）“某项”、“某项的二项式系数”、“某项的系数”之间的区别

【课前练习】

1、设S=(x－1)4+4(x－1)3+6(x－1)2+4(x－1)+1，它等于下式中的（ ）

（A）(x－2)4 （B）(x－1)4 （C）x4 （D）(x+1)4

2

、100展开所得关于x的多项式中系数为有理数的共有（ ）项.

（A）50 （B）17 （C）16 （D）15

3、(|x|12)3展开式中的常数项是（ ）. |x|

1111－2）3=（|x|+－2）（|x|+－2）（|x|+－2） |x||x||x||x|（A）－20 （B）－12 （C）－8 （D）20 法一：（|x|+

得到常数项的情况有：①三个括号中全取－2，得（－2）3；②一个括号取｜x｜，一个括号取11，一个括号取－2，得C1

3C2（－2）=－12， |x|

∴常数项为（－2）3+（－12）=－20.

解法二：（|x|+11－2）3=（x|－）6. |x|x|

设第r+1项为常数项，

r则Tr1=C6·（－1）r·（1r）r·|x|6r=（－1）6·C6·|x|62r，得6－2r=0，r=3. |x|

∴T3+1=（－1）3·C3

6=－20

0n1n1knkn4、设n为自然数，则Cn等于（ ） 2Cn2(1)kCn2(1)nCn

（A） （B）0 （C）－1 （D）1

5、(x+y)10展开式中有_______项；(x+y+z)10展开式中有_________项.

6、(1－z)+ (1－z)2++ (1－z)10的展开式中z2的系数是_________.

7、(1－x3)(1+x)10展开式中x5的系数是_______.

9a98

、已知(的展开式中x3项的系数为，常数a的值________. 4x【典型例题】

例1、求(1+x－2x2)5的展开式中x4项的系数.

例2、若(1+2x)n中第6项与第8项的二项式系数相等，求按升幂排列的前3项。

例3

、已知n展开式中前3项的系数成等差数列，求展开式中x的整数次幂项.

n(n1)n解：展开式中前三项的系数分别为1，，， 28

n(n1)n由题意得2×=1+，得n=8. 28

1设第r+1项为有理项，Tr1=C·r·x2r

8163r4，则r是4的倍数，所以r=0，4，8.

有理项为T1=x4，T5=135x，T9=. 256x28

例4、设(2－x)8=a0+a1x+a2x2++a8x8，求：

（1）a1+a2+a8的值

（2）a2+a4+a6+a8的值

（3）|a0|+|a1|+|a2|++|a8|的值.

022nC2nC2nC2n例5、求lim nn34

1n12n2n1例6、若n为奇数，求7nCn7Cn7Cn7被9除的余数。

【课堂小结】

1、要正确理解二项式定理，准确地写出二项式的展开式；2、要注意区分项的系数与项的二项式系数；3、要注意二项式定理在近似计算及证明整除性中的应用。4、求系数和或部分系数和时，通常用赋值法；5、运用系数最大值性质时应注意区分n是偶数还是奇数；

6、通项公式及其应用是复习二项式定理的基本问题，要达到熟练的程度；

【课堂练习】

11、(x1)6展开式中的常数项是（ ）. x

（A）1 （B）40 （C）41 （D）39

2

、二项式24展开式的整数项是第 ( )项

（A）15 （B）14 （C）13 （D）12

3、(x2+3x+2)5展开式中，x的系数为（ ）

（A）160 （B）240 （C）360 （D）800

4、(x+a)7的展开式x4项的系数是－280，则a=__________.