2.2.1 椭圆及其标准方程导学案（第一课时）
营山二中 龚玉伦
【学法指导】1. 仔细阅读教材（P 38—P 40），独立完成导学案，规范书写，用红色笔勾画 出疑惑点，课上讨论交流。
2. 通过动手画出椭圆图形，研究椭圆的标准方程。
【学习目标】1. 掌握椭圆的定义，标准方程的两种形式及推导过程。
2.会根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆的标准方程。
3.通过对卫星发射的再现, 培养学生爱国主义情操, 民族自豪感, 通过对天体运动的分析, 激发学生的求知欲. 【学习重、难点】
学习重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．
学习难点：椭圆的标准方程的推导，椭圆的定义中常数加以限制的原因．
【预习案】
预习一：椭圆的定义（仔细阅读教材P 38，回答下列问题）
1. 取一条定长的细绳，把细绳的两端拉开一段距离，分别用图钉固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线 ，在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖到两定点的距离之和等于 ．
2. 思考下列问题：
（1）作图的过程中哪些量没有变？
的位置不变， 的长度不变。 （2）为什么作图过程中笔尖要绷紧？
保证无论笔尖移动到任何位置，笔尖到两定点到距离之和
（3）笔尖所对应的动点M 到两个定点F 1、F 2的距离有什么长度之间的关系？ = 绳长
3. 平面内与两个定点F 1，F 2的的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 叫做椭圆的 ， 叫做椭圆的焦距。
预习二：对椭圆定义的理解
1.将“大于|F 1F 2|”改为“等于|F 1F 2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是 2.将“大于|F 1F 2|”改为“小于|F 1F 2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹存在吗？
预习三：椭圆的标准方程及其推导：（仔细阅读教材P 39-P 40，回答下列问题）
思考：用坐标法求动点轨迹方程的一般步骤是什么？
（1） （2） （3） （4） （5）
根据定义推导椭圆标准方程：取过焦点F 1, F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y M (x , y ) 为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是
2c （c >0）. 则F 1(-c , 0), F 2(c , 0) ，又设M 与F 1, F 2距离之和等于2a (2a >2c ) ∴P ={M MF (a >0)
1+MF 2=2a }
又 MF 1=，MF 2=∴(x +c ) 2+y 2+(x -c ) 2+y 2=2a ∴(x +c ) 2+y 2=2a -，
等式两边平方整理得：a (x -c ) 2+y 2= ， 等式两边再平方整理得：(a 2-c 2) x 2+a 2y 2=a 2(a 2-c 2) ，
22
由定义2a >2c , ∴a -c >0
x 2y 2
=1 ① 两边同除以a (a -c ) 得 2+2
2
a a -c
2
2
2
观察右图，你能从中找出表示a , c , a 2-c 2的线段吗？
= a ； = =c ； =
2
2
a 2-c 2
x 2y 2
令a -c =代入①，得 2+2=1(a >b >0) ②
a b
由曲线与方程的关系可知，方程②为焦点在x
它的焦点在x 轴上，两个焦点坐标分别是 ，其中a , b , c 满足的关系式为
【探究案】
探究一：推出焦点在y 轴上的椭圆的标准方程：
如果焦点F 1，F 2在y 轴上，且F 1，F 2的坐标分别为(0, -c ), (0, c ) ，a , b 的意义同上，那么由P =M MF 1+MF 2=2a (a >0)得
与(x +c ) +y +(x -c ) +y =2a 相比较，只需
2
2
2
2
{}
将 对调就可得到焦点在y 轴上的椭圆的标准方程
它的焦点在y 轴上，两个焦点坐标分别是 ，其中a , b , c 满足的关系式为
探究二：对椭圆标准方程的认识
1. 椭圆的标准方程有什么特点?
①椭圆的标准方程的形式： 左边是，右边是 ②椭圆的标准方程中a 、b 的关系是
2. 如何区分焦点在x 轴上的椭圆的标准方程与焦点在y 轴上的椭圆的标准方程？
结论：看标准方程中x ，y 分母的大小，哪个分母。
22
x 2y 2x y 例如：判断：方程+=1的焦点是在x 轴上还是在y 轴上？ +=1与
916169
22
探究三：椭圆定义的应用
例：已知椭圆两个焦点的坐标分别是(-2, 0), (2, 0) ，并且经过点(, -) ，求它的标准方程。 （解法指导：根据椭圆的定义|MF 1|+|MF 2|=2a (a >0) ，先求出a ，再利用a , b , c 的关系求出b ）
思考：你还能用其他方法求它的方程吗？
5232
【练习案】
【自我测评】
1. 下列方程哪些表示椭圆？若是, 则判定其焦点在哪条坐标轴上？
x 2y 2x 2y 2
(1)+=1(2)+=1
25161616
x 2y 2
(3) 2+2=1 (m ≠0) (4) 9x 2-25y 2=225
m m +1
2. 口答：
x 2y 2
①2+2=1则a ＝ ，b ＝ , 焦点在 轴上；
53x 2y 2
②2+2=1则a ＝ ，b ＝ ， 焦点在 轴上；
46x 2y 2
+=1则a ＝ ，b ＝ ， ③
焦点在 轴上。 96
x 2y 2
+=1 (m >0, n >0) 表示焦点在x 轴或y 轴上的椭圆？ 思考：当m,n 满足什么条件时，方程
m n
x 2y 2
+=1的焦点坐标是 焦距是 3. 椭圆54
4. 椭圆 2x 2+y 2=16 的焦点坐标是焦距是x 2y 2
+=1 上一点P 到焦点F 1的距离等于6，那么点P 到另一个焦点F 2的距离是 5. 如果椭圆
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【巩固练习】
写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1) a =4, b =1, 焦点在x 轴上
(2) a =4, c =焦点在y 轴上
(3) a +b =10, c = 【检测案】
你在这堂课上学到了什么？
【作业】
习题2.2 A组 2
【板书设计】