求动点的轨迹方程（例题，习题与答案）
在中学数学教学和高考数学考试中，求动点轨迹的方程和曲线的方程是一个难点和重点内容（求轨迹方程和求曲线方程的区别主要在于：求轨迹方程时，题目中没有直接告知轨迹的形状类型；而求曲线的方程时，题目中明确告知动点轨迹的形状类型）。求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、相关点法、参数法与交轨法等；求曲线的方程常用“待定系数法”。 求动点轨迹的常用方法
动点P 的轨迹方程是指点P 的坐标（x, y）满足的关系式。 1. 直接法
（1）依题意，列出动点满足的几何等量关系；
（2）将几何等量关系转化为点的坐标满足的代数方程。
22
例题 已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：x +y =1，动点M 到圆C 的切线长等与MQ ，
求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线． 解：设动点M(x,y)，直线MN 切圆C 于N 。
依题意：MQ =MN ，即MQ 而MN
2
2
=MN
2
2
2
=MO -NO , 所以
MQ
2
22
=MO -1
2
2
2
(x-2)+y=x+y-1 化简得：x=5。动点M 的轨迹是一条直线。 42. 定义法
分析图形的几何性质得出动点所满足的几何条件，由动点满足的几何条件可以判断出动点的轨迹满足圆（或椭圆、双曲线、抛物线）的定义。依题意求出曲线的相关参数，进一步写出轨迹方程。
例题：动圆M 过定点P （－4，0），且与圆C ：x +y -8x =0相切，求动圆圆心M 的轨迹方程。
解：设M(x,y)，动圆Ｍ的半径为r 。
若圆M 与圆C 相外切，则有 ∣M C ∣=r＋4
2
2
若圆M 与圆C 相内切，则有 ∣M C ∣=r-4 而∣M P ∣=r, 所以
∣M C ∣-∣M P ∣=±4
动点M 到两定点P(-4,0),C(4,0)的距离差的绝对值为4，所以动点M 的轨迹为双曲线。其中a=2, c=4。
动点的轨迹方程为：
x 2y 2
-=1
412
3. 相关点法
若动点P(x，y) 随已知曲线上的点Q(x0，y 0) 的变动而变动，且x 0、y 0可用x 、y 表示，则将Q 点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P 的轨迹方程。这种方法称为相关点法。
例题：已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3),端点A 在圆C :(x +1) 2+y 2=4上运动, 求线段AB 的中点M 的轨迹方程。
解：设M(x,y), A(x A , y B ), 依题意有：
x=
4+x A 3+y A
, y= 22
22
则：x A =2x -4, y A =2y-3, 因为点A(x A , y B ) 在圆C :(x +1) +y =4上，所以
(2x -4) 2+(2y -3) 2=4
点M 的轨迹方程为：
2
(x -2) 2+(y -32) =1
动点M 的轨迹为以（2, 3）为圆心，1为半径的圆。 24. 参数法
例题：已知定点A （-3,0），M 、N 分别为x 轴、y 轴上的动点（M 、N 不重合），且AN ⊥MN , 点P 在直线MN 上，NP =3。求动点P 的轨迹C 的方程。 2MP
解：设N(0,t), P(x,y ) 直线AN 的斜率k AM =
t ， 3
3 t
因为AN ⊥MN ，所以直线MN 的斜率k MN =-
3t 2t 2
直线MN 的方程为y-t=-x , 令y=0 得x =, 所以点M(,0)
t 33t 2
NP =(x , y -t ) , =(x -, y )
3
由=3, 得 33t 2x=(x -), y-t=y , 则
223
⎧x =t 2⎨
⎩y =-2t
所以动点P 的轨迹方程为：y 2=4x 5. 交轨法
例题：如图，在矩形ABCD 中，AB =8, BC =4, E , F , G , H 分别为四边的中点，且都在坐标轴上，设
=λ, =λ(λ≠0) 。求直线EP 与GQ 的交点M 的轨迹Γ的方程。
解：设M (x , y ) ，由已知得P (4λ,0), Q (4,2-2λ) ， 则直线EP 的方程为y =
x λx -2，直线GQ 的方程为y =-+2， 2λ2
x
2λλx
y-2= -
2
即 y+2=
x 2y 2
+=1(x ≠0) ． 两式相乘，消去λ即得M 的轨迹Γ的方程为
164
练习与答案
1. 设圆C 与圆x 2+（y.3）2=1外切，与直线y =0相切，则C 的圆心轨迹为 A A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．圆
2. 已知圆M 1:(x +4) 2+y 2=25，圆M 2:(x -4) 2+y 2=1，一动圆与这两个圆外 切，求动圆圆心P 的轨迹方程。
x 2y 2
-=1(x>0)
412
2
3. 过点A(4，0) 作圆O ∶x +y2=4的割线，求割线被圆O 截得弦的中点的轨迹。 (x-2)+y=4 (0≤x
4. 已知圆C ：(x -3) 2+(y-4)=1, 动点P 是圆外一点，过P 作圆C 的切线，切点为M ， 且︱P M ︱=︱P O ︱（O 为坐标原点）。求动点P 的轨迹方程。
22
提示：︱P O ︱=︱P M ︱=PC
2
22
2
-1
3x+4y-12=0
5. 已知圆C 1:(x -4) 2+y 2=1，圆C 2:x 2+(y -2) 2=1，动点P 到圆C 1, C 2上点的距离的最小值相等. 求点P 的轨迹方程。
解：动点P 到圆C 1的最短距离为︱PC 1︱-1,
动点P 到圆C 2的最短距离为︱PC 2︱-1, 依题意有：︱PC 1︱-1=︱PC 2︱-1， 即
︱PC 1︱=︱PC 2︱
所以动点P 的轨迹为线段C 1C 2的中垂线。所以动点 P 的轨迹方程为：
2x+y-5=0
x 2
-y 2=1的左、右顶点分别为A 1, A 2, 点P （x 1, y 2）6. 已知双曲线，Q （x 1, -y 2） 2
是双曲线上不同的两个动点。求直线A 1P 与A 2Q 交点的轨迹E 的方程。
解：由A 1, A
2为双曲线的左右顶点知，A 1(
A 2
-y 122A 1P :y =x ，A 2Q :y =x ，两式相乘y =2(x 2-2) ，
x 1-2
1x 12y 1212
-y 1=1，即2因为点P (x 1, y 1) 在双曲线上，所以=，故y 2=-(x 2-2) ，
22x 1-22
x 2x 22
+y =1，即直线A 1P 与A 2Q 交点的轨迹E 的方程为+y 2=1 所以22
7. 已知曲线C :y =x 与直线l :x -y +2=0交于两点A (x A , y A ) 和B (x B , y B ) ，且x A
2
中点M 的轨迹方程。
解：（1）联立y =x 2与y =x +2得x A =-1, x B =2，则AB 中点Q (, ) ，设线段PQ 的中
15
22
15+s +t
15点M 坐标为(x , y ) ，则x =，即s =2x -, t =2y -，又点P 在曲线C 上， , y =
2222
∴2y -
5111
=(2x -) 2化简可得y =x 2-x +，又点P 是L 上的任一点，且不与点A 和点B 228
11511
重合，则-1
15
2
2
8. 已知点C （1，0），点A 、B 是⊙O ：x +y =9上任意两个不同的点，且满足⋅=0，设P 为弦AB 的中点。求点P 的轨迹T 的方程。
解： 连结CP ，由AC ⋅BC =0，知AC ⊥BC
1
∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝|AB |，由垂径定理知|OP |2+|AP |2=|OA |2
2
即|OP |2+|CP |2=9 设点P （x ，y ），有(x 2+y 2) +[(x -1) 2+y 2]=9 化简，得到x 2-x +y 2=4。
y 2
=1，过点M (0, 1) 的直线l 交椭圆于A 、B ，O 为坐标原点，点P 满足9. 设椭圆x +4
2
=
1
(+) ，当l 绕着M 旋转时，求动点P 的轨迹方程。 2
解：直线l 过点M (0, 1) ，设其斜率为k ，则直线l 的方程为y =kx +1， 记A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，由题设可得点A 、B 的坐标(x 1, y 1) (x 2, y 2)
⎧y =kx +1⎪
是方程组⎨2y 2的解，其方程组中消取y 得(4+k 2) x 2+2kx -3=0
x +=1⎪4⎩
2k ⎧x +x =-22⎪1
4+k ∴ ⎨ 8
⎪y 1+y 2=
4+k 2⎩
∵ =
x +x 2y 1+y 21
(+) ∴点P 的坐标为(1, ) 222-k 4
, ) ， 22
4+k 4+k
即：点P 为(
k ⎧
x =-⎪4+k 2 （k 为参数） 设点P 为(x , y ) ，则P 点的轨迹参数方程为⎨
4
⎪y =
4+k 2⎩
消去参数k 得：4x +y -y =0
当斜率k 不存在时，A 、B 的中为原点（0，0）也满足上述方程，
故：动点P 的轨迹方程为4x 2+y 2-y =0。
10. 设圆C
与两圆(x 2+y 2=4,(x 2+y 2=4中的一个内切，另一个外切。求圆C
的圆心轨迹L 的方程。
解：两圆半径都为2，设圆C 的半径为R
，两圆心为F 1(
0) 、F 20) ，
由题意得R =|CF 1|-2=|CF 2|+2或R =|CF 2|-2=|CF 1|+2，
2
2
∴||CF 1|-|CF 2||=4
x 2y 2
可知圆心C 的轨迹是以F 1, F 2为焦点的双曲线，设方程为2-2=1，则
a b x 2
2a =4, a =2, c b =c -a =1, b =1，所以轨迹L 的方程为-y 2=1．
4
2
2
2
11. 如图所示，已知P （4，0）是圆x +y =36内的一点。A 、B 是圆上两动点，且满足
22
∠APB =900, 求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.
解：设R(x,y), 依题意，有
｜OR ｜+｜RA ｜=36,而｜RA ｜=｜RP ｜, 所以
22
｜OR ｜+｜RP ｜=36, 即
2
2
x 2+y 2+(x -4) 2+y 2=36
化简得：(x -2) 2+y 2=14
设Q(X, Y),因为R(x,y) 是 QP的中点，所以有 x =
4+X Y
,y=, 故 22
(
4+X Y
-2) 2+() 2=14 22
2
2
化简得：X +Y =56
12. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l :x =-2交x 轴于点A ，设P 是l 上一点，M 是线段OP 的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP 。当点P 在l 上运动时，求点M 的轨迹E 的方 程。
解：如图1，设MQ 为线段OP 的垂直平分线，交OP 于点Q ， ∠MPQ =∠AOP , ∴MP ⊥l , 且|MO |=|MP |.
=|x +2|,即
①
另一种情况，见图2（即点M 和A 位于直线OP 的同侧）。
y 2=4(x +1)(x ≥-1).
MQ 为线段OP 的垂直平分线， ∴∠MPQ =∠MOQ .
又 ∠MPQ =∠AOP , ∴∠MOQ =∠AOP . 因此M 在x 轴上，此时，记M 的坐标为(x ,0).
为分析M (x ,0) 中x 的变化范围，设P (-2, a ) 为l 上任意点(a ∈R ). 由|MO |=|MP |
）得， 1
x =-1-a 2≤-1.
4
故M (x ,0) 的轨迹方程为
（即|x |=
综合①和②得，点M 轨迹E 的方程为
y =0, x ≤-1
2
②
⎧4(x +1), x ≥-1,
y =⎨
x
2
y 2
=1上的动点。如图，点A 的坐标为(1,0)，B 是圆x 2+y 2=1上的点，13. 点M 是椭圆x +4
N 是点M 在x 轴上的射影，点Q 满足条件：=+，QA ⋅=0, 求线段QB 的中点P 的轨迹方程；
解：设M(x m , y m ), B (x B , y B )
Q (x Q , y Q ) . 因为N (x N ,0), OM +ON =OQ ，故
x Q =2x N , y Q =y M ,
x Q +y Q =(2x M ) +y =4 ①
2
2
2
y
因为QA ⋅BA =0,
(1-x Q -y Q ) ⋅(1-x N -y n )
=(1-x Q )(1-x N ) +y Q y N =0,
所以 x Q x N +y Q y N =x N +x Q -1. ②
记P 点的坐标为(x P , y P ) ，因为P 是BQ 的中点，所以 2x P =x Q +x P ,2y P =y Q +y P
22
由因为 x N +y N =1，结合①，②得
112222
((x Q +x N ) 2+(y Q +y N ) 2) =(x Q +x N +y Q +y n +2(x Q x N +y Q y N )) 44
31
=(5+2(x Q +x N -1)) =+x P
44
22
故动点P 的轨迹方程为（x-) +y =1。 2
22x P +y P =