空解精要（简单部分）
序
空间解析几何，是数学专业基础课中最容易的一个板块。无需像高代一样必须参透一切，也不需像数分一样必须无限刷题。一般说来，只需要上课听讲，完成作业，然后稍微复习一下，便可以得到90分以上的成绩。那接下来就来了解一下空解的精要部分。
一. 向量的三积
（注：在这里联系一下高代里面的“线性相关性”部分） 1.内积
定义：内积也成为向量的数量积，任取向量a , b , 内积的值为
a b cos ∠a , b ，它是一个数量。用符号∙表示。
()
若a=(a 1, a 2, a 3),b=(b 1, b 2, b 3), 则a ∙b =a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3
2.射影和射影向量
射影向量：一个向量在另一个向量上的正投影向量叫做射影向 量。
射影：射影向量的模就叫做射影。记为：Pr j b a =a cos ∠(a , b )。表
示a 在b 上的射影。
命题：1. prj
b
(a 1+a 2)
=prj +prj
b
b
a 1 a 2
2.prj b λa =λprj b a
a ∙b
3.prj b a =
b
2
例题1：已知向量a 与b 的夹角为π，a =3, b =4，计算
3
2 2
（1）a +b ； （2）3a +2b .
()
()
2. 外积
定义：向量的外积也叫叉积或者向量积，它的积是一个向量。
a 与b 的外积记为a ⨯b ，它的模是：
a ⨯b =a sin ∠a , b ，它的方向与a 和b 都垂直，并且按
()
a ，b ，a ⨯b 这一顺序成右手系。
外积不符合交换律。
由定义可知：两个向量共线的充要条件是外积为零向量。
如果a 和b 不共线，则a ⨯b 的模表示以a ，b 为邻边的平行四
边形的面积。
若a=(a 1, a 2, a 3),b=(b 1, b 2, b 3)，则
i j
a ⨯b =a 1a 2
k
a 3，其中i . j , k 是单位向量。 b 1b 2
b 3
外积的运算律：
1.反交换律：a ⨯b
=-b ⨯a
2.数乘结合律：λa ⨯b =
λ(a ⨯b ) =a ⨯(λb ) 3.左右分配律：(a +b )
⨯c =a ⨯c +b ⨯c
；
a ⨯(b +c )
=a ⨯b +a ⨯c
.
于是，与a 和b 都垂直的向量可设为λa ⨯b
；
与a 和b 都垂直的单位向量可设为±a ⨯b
a ⨯b
.
二重外积公式：(a ⨯b )
⨯c =(a ∙c ) b -(b ∙c ) a
例题2：在直角坐标系中，已知a
=(2, -3, 1), b
=(1, -2, 3)，求与 b都垂直，且满足下列条件之一的向量c ： （1）c 为单位向量；
（2）c ∙d
=10，其中d =(2, 1, -7) .
a ，
3.混合积
定义：两个向量的外积向量再与第三个向量的内积，叫做三 个向量的混合积。
若a=(a 1, a 2, a 3),b=(b 1, b 2, b 3)，c=(c 1, c 2, c 3)，则a ⨯b ∙c 的值为
()
a 1c 1
a 2c 2
a 3c 3
b 1b 2b 3
命题1：三个向量共面的充要条件是混合积为0.
命题2：若a ，b ，c 不共面，那么a ，b ，c 的混合积表示以 a ，b ，c 为邻棱的平行六面体的体积。
命题3：轮换混合积的3个因子，不改变它的值，而对调任 何2个因子，都要改变符号。
如：(a,b,c )=(b,c,a )=(c,b,a )=-(b,a,c )=-(c,b,a ) =-(a,c,b )
例题3：证明：如果a ⨯b +b ⨯c +c ⨯a ，那么a ，b ，c 共面。
二. 平面和直线的渊源
注意：在这之后的平面与直线方程都是在直角坐标系中表 示的，不考虑仿射标架中的。 （一）. 平面的方程 1.点位式方程
我们知道，由于直线和直线外一点可以确定一个平 面，设一条直线的方向向量为v=（X ，Y ，Z ），直线 上一点为M 0(x 0, y 0, z 0)，直线外一点为M 1(x 1, y 1, z 1)，于 是可以用一组混合积来表示平面：
(v , M 0M 1, MM 0)=0 ，其中M (x , y , z ) 用行列式表示为：
x -x 0X
y -y 0Y
z -z 0Z
x 1-x 0y -y 0z -z 0=0
由于结果是0，所以根据行列式的性质，里面的行列 顺序可以随便写。
2. 一般式方程
我们明显可以发现，把点位式的方程行列式按照未 知量所在的行展开可以得到一个关于x,y,z 的三元一 次方程，记为Ax+By+Cz+D=0。这样的方程叫做平面的 一般方程，也是解题所需要的最终结果形式。 在这个方程里面，注意到A ，B ，C ，而向量 （A ，B ，C ）就是这个平面的法向量。
3.截距式方程
相信大家都明白截距是什么意思，它指的是平面与 坐标轴相交的对应的坐标，如果题目给出平面在三个坐 标轴上的截距a,b,c ，联想到中学的直线的截距式方程， 可想而知，方程可写为 ++=1
x
a
y b
z c
4.点法式方程
如果已知平面的法向量为（A ，B ，C ），平面上一点 为(x 0, y 0, z 0)，那么方程可写为 A (x -x 0) +B (y -y 0) +C (z -z 0) =0
其中的原理是垂直于同一直线的直线刚好构成一 个平面，如果n =(A , B , C )，M 0(x 0, y 0, z 0)，M 1(x 1, y 1, z 1)，则 n ∙M 0M 1=0
5.一般方程的法式化
如果已知方程的一般方程为Ax +By +Cz +D =0，作为 法式方程，必须将 n =(A , B , C )单位化，于是，只有在方 程左边乘以法式化因子λ即可，其中 λ=±=±
1
n
1A +B +C
2
2
2
正负号的选取与D 有关，如果D 为负，那么取正号， 如果D 为正，取负号。
化完之后的平面如果记为A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0，此时 的法向量很明显是个单位向量，而这个单位向量 n =(A 1, B 1, C 1)的几何意义是： 从原点指向平面的单位法向量。 这里的 D 1的几何意义是： 原点到平面的距离
定理：平面的充要条件是关于x,y,z 的方程是一个三元 一次的方程。
（二）直线的方程 1.标准方程
我们知道，空间中的两点可以确定一条直线。如果我 们知道直线上确定的两点M 0=(x 0, y 0, z 0)，M 1(x 1, y 1, z 1)，那 么，直线的方程可以写为：
x -x 0y -y 0z -z 0
==
x 1-x 0y 1-y 0z 1-z 0
这样的方程称为两点式方程。
很明显，分母组就是该直线的方向向量，于是，如果 给出直线的方向向量(X,Y,Z)，那么就可以写成： x -x 0=y -y 0=z -z 0
X
Y
Z
这就是直线的标准方程。
2.射影式方程
在标准方程中，我们可以看到有两个等号，表示的是两 个等式，如果将两个等式联立起来，用一个未知数表示另外 两个未知数，就可以把标准方程化为一下形式： ⎨
⎧x =az +b
⎩y =bz +d
这个方程称为直线的射影式方程。
3.一般方程
我们知道，两个相交的平面，它们的交线就是一条直线， 于是，就可以把两个平面用花括号联立，就变成了一般方程。 一般方程的形式为：
⎧A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0 ⎨
A x +B y +C z +D =0222⎩2
需要注意的是：标准方程和一般方程都不唯一，射影式方程 是一般方程的特殊结构。
4.标准形式和一般形式的互化 ①标准→一般
直接化成射影式即可 ②一般→标准
首先令其中一个未知量为一个确定值，再解出另外两 个未知数，这样便确定了直线上的一点。 一般方程的方向向量就是
⎛B 1⎝B 2
C 1A 1
, -C 2A 2
C 1A 1
C 2A 2
B 1⎫⎪ B 2⎪⎭
然后写成标准形式即可
例4. 求过点（3，-5,1）和点（4,1,2），垂直于平面x-8y+3z-1=0
的平面方程。
例5. 将下列平面化成法式方程 （1）x-2y+5z-3=0 （2）x-y+1=0
三. 线性图形的位置和度量关系
（一）平面与平面的位置关系
在仿射坐标系下，设两个平面为
⎨⎧π1：A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0
⎩π2：A 2x +B 2y +C 2z +D 2=0
1.相交⇔A 1:B 1:C 1≠A 2:B 2:C 2
2.平行⇔
3.重合⇔
（二）平面与直线的位置关系
直线l 和平面π的方程分别为
l :x -x 0=y -y 0=z -z 0 X Y Z A 1B 1C 1D 1 ==≠A 2B 2C 2D 2A 1B 1C 1D 1 ===A 2B 2C 2D 2
Ax +By +Cz +D =0 π：
于是，
1.相交⇔AX +BY +CZ ≠0
2.平行⇔AX +BY +CZ =0且Ax 0+By 0+Cz 0+D ≠0
3.直线在平面上⇔AX +BY +CZ =0且
Ax 0+By 0+Cz 0+D =0
（三）两条直线的位置关系
设两条直线的方向向量分别为v 1, v 2，两条直线上分别
有两点M 1, M 2。
1.异面⇔(M 1M 2, v 1, v 2)≠0
2.相交⇔(M 1M 2, v 1, v 2)=0且v 1, v 2不共线
3.平行⇔v 1, v 2共线但和M 1M 2不共线
4.重合⇔v 1, v 2，M 1M 2为共线向量。
（四）距离公式
1.点到直线
直线上一点为M 0，直线外一点为M ，直线的方向向
量为v ，于是，M 到直线的距离公式为 M 0M ⨯v d = v
意义是：平行四边形的面积除以底边长，即为高。
2.点到平面
设平面方程为Ax +By +Cz +D =0，平面外一点为 M (x 0, y 0, z 0)，于是联想到中学的点到直线的距离公式可
得： d =
3.直线与直线的距离
设两条异面直线分别过M 1, M 2，方向向量分别为v 1, v 2， Ax 0+By 0+Cz 0+D A +B +C 222
则两条直线的距离为：
d = (M 1M 2, v 1, v 2)v 1⨯v 2
几何意义为：体积除以底面积，即为高
注意：其他类型的距离都可以通过以上三种变换而来， 比如平行平面的距离，可以转换为点到平面的距离来求 解。
例6：求二平面
π1:2x -2y +z -3=0
π2:4x -4y +2z +5=0
之间的距离。
四. 平面束
定义：我们把空间中所有通过同一条直线的平面的集合称 为共轴平面束，这条直线叫做轴；把所有平行于同 一条直线的平面的集合称为平行平面束。
1.共轴平面束
设两个平面
⎨⎧π1：A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0
⎩π2：A 2x +B 2y +C 2z +D 2=0
交于一条直线l ，则以l 为轴的共轴平面束方程为 λ(A 1x +B 1y +C 1z +D 1)+μ(A 2x +B 2y +C 2z +D 2)=0
其中，λ2+μ2≠0
2.平行平面束
与Ax +By +Cz +D =0平行的平面束方程可设为
Ax +By +Cz +λ=0，其中λ为任意实数。
例题7：求经过直线l 1:⎨⎧x +y -z +2=0⎧z =-x +1，且与直线l 2:⎨ 4x -3y +z +2=0y =3⎩⎩ 平行的平面的方程。