中学数学研究
３ｒ２及Ｅｕ／ｅｒ不等式Ｒ≥２ｒ，有
ｓ≤≤√４Ｒ２＋４Ｒｒ＋３ｒ２＜４／３Ｒ．
２００３年第５期
≥０（因为Ｒ≥２ｒ）．
因此
∑ｎ２—４／ｊ△一∑（口一６）２一去∑（５一
利用二次函数的单调性，得
‘
口）（厂ｉ二云一√一Ｓ一－－；）２≥０．（３）式得证．
参考文献
［１］董林．Ｆ／ｒｉｄｅｒ—ｌ－／ａｄｗ／ｎｇｅｒ不等式的加强．中学教
研（数学），１９９９（８）：２７—２８．
Ｈ（ｓ）≥Ｈ（√４Ｒ２十４Ｒｒ＋３ｒ２）＝２８Ｒ２＋１４Ｒｒ
＋４ｒ２—８ＡＲ
ｆ－４－再４Ｒｒ＋３ｒ２：
生【星二至￡）（生星！±１２星！￡二！墨星［！＝２［１２２８Ｒ２＋１４Ｒｒ＋４ｒ２＋８、／ｊＲ／４Ｒ２＋４Ｒｒ＋３ｒ２
缸—沾・扯－．１止“触越—“．甄‘．“．。４也．址．．事‘驰．址．●Ｌ．虬．啦．“．轴Ｌ．址扯．虬．虬．‘‘“．‘止．垂‘
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圆锥曲线切线的性质
安徽省含山中学
（２３８１００）
孙儒元
文（１）和文（２）揭示了圆锥曲线中焦点、顶点和准线、过焦点弦之间的和谐关系，笔者读后深受启发，本文给出圆锥曲线切线的两个性质．
设』如：口螂以
【Ｙｏ＝ｂｓｉｎＯ，
．‘．ａ２ｋ２ｓｉｎ２０＋２ａｂｋｓｉｎＯｃｏｓＯ＋ｂｚ‘菇口＝Ｏ，
．‘．（ａｋｓｉｎＯ＋ｂｅｏｓＯ）２＝０。．・．ａｋｓｉｎ０＋ｂｃｏｓＯ＝＝０．
性质１椭圆茅＋荔２
么ＦｌＰＦ２的邻补角的平分线．
证明设Ｐ（ｚｏ。Ｙｏ），过Ｐ点的切线ｚ的方程为Ｙ—ｙｏ＝ｋ（ｘ—ｚｏ），
ｆＹ—Ｙ０＝ｋ（ｚ—ｚｏ），
１（口＞６＞ｏ）的两
个焦点为Ｆ１、Ｆ２，过椭圆上任一点Ｐ的切线为
粕册≠０＇灿一黜ｒｌ一糍，
口Ｓｌ∥
ｎ‘ｖｎ。
ｚ的方程为ｙ～ｙ。。＝＝＝～鱼ａ二２墅ｙｏ（Ｘ－－Ｘ０），整理得：
Ｘ一了０ｚＶ。掣二＝＝ｌ（＊）
ｎ。
Ｄ”
｝了
由协知，
ｎ‘
得
亲心
｜ｌ
／－
若ｓｉｎＯ＝二＝Ｏ即惫不存在，此时ｚ＝一ａ或ｚ＝口．（＊）式仍然成立
≮！
夕ｒｘ
～《＋堕型字丝进：ｌ。６０
・・・过Ｐ（ｚ。，如）的切线ｚ方程鳄乒＋ｙ＿６０２ｙ
＝１．
图１
整理得：（６２＋ａ２ｋ２）ｚ２＋２五（蛳～如ｏ）植２．ｚ＋
下面证明ｚ平分么ＦｌＰＦ２的邻补角．Ｆ１（一ｃ，０），Ｆ２（ｆ，０），Ｐ（ｘｏ，Ｙｏ）（Ｙｏ≠Ｏ），
口２（ｙｏ一如ｏ）２一ａ２ｂ２＝Ｏ，
△＝４口４ｋ２（ｙｏ～ｋｘｏ）２—４ａ２（６２＋ａ２ｋ２）［（．ｙ０～如ｏ）一ｂ２］＝Ｏ．
志开：＝ｊ怨渤。＝；燕＾一二口．ｂ２：如ｘｏ，ＰＦ：
到ｌ的角力ａ，ｚＮＰＦｌ的角为ｐ．
。。．（口２一ｚ８）志２＋２ｘｏＹｏ志＋ｂ２－ｙ８＝ｏ
万方数据
・１９・
２００３年第５期
ｂ２ｘｏ
Ｙｏ
中学数学研究
’．ｔ撇一１纛垂葡ｂ２ＹＯ
口。
切线方程她功＝糍（一训，
即为：警～Ｙ矿ｏＹａ
。
‘
ＸＯ
一ｆ）
６＿
２１㈩
ＹＯ
６‘ＸＯ
若ｔａｎ０＝０，即是不存在时，切线方程为ｚ＝一口或ｚ＝ａ，（＊）式仍成立．
．’．过ｅ（ｘｏ，Ｙｏ）的切线方程为：
ｔａｎ卢２＝ｘ０１＋ｃ鬲＇ａ２＿ｙｏ
．‘．口＝ｐ．
１一ａ—２ｙ量ｏ（型ｘ蝼ｏ＋虻ｃ一）
一璺；羔ｉ：！垒２兰ｉ±鱼！兰业一鱼三
一（口２—６２）ｚｏＹｏ＋ａ２ｃｙｏ—ＣｙＯ’
警２一巡ｂ２。１．
口
一上‘
下面证明切线Ｚ平分么Ｆ１ＰＦ２．
若切线的斜率不存在时，切线ｚ方程为ｚ＝ａ或。＝一ａ，显然Ｚ平分么Ｆ１ＰＦ２；
．‘．直线ｚ为么Ｆ１ＰＦ２的邻补角的平分线．当ｚ的斜率不存在，即ｙｏ＝Ｏ时，切线方程为ｚ＝ａ或ｚ＝一ａ，结论显然成立．
故椭圆上任一点Ｐ的切线为么Ｆ１ＰＦ２邻补角的平分线．
若切线斜率存在时，此时ｙ。≠。，愚＝筹蠹
Ｖｌ（一ｃ，０），Ｆ２（ｃ，Ｏ），
性质２双曲线≤一芷ｔ＝１（口，＞ｏ）的两．２
么Ｆ１ＰＦ２的平分线．
ｂ
惫腰，＝兰，吨＝ｊＹ乏Ｏ
ＰＦｌ到ｌ的角为ａ，ｌ到ＰＦ２的角为卢，
ｂ２ｘｏ
ＹＯ
焦点为Ｆ１、Ｒ，过双曲线上任一点Ｐ的切线为
证明设Ｐ（ｚｏ，Ｙｏ）为双曲线上的点，切线Ｚ的方程为
Ｙ—Ｙ０＝志（ｚ—ｚｏ），ｆＹ～Ｙｏ＝志（ｚ—ｚｏ），
．・．ｔａｎ口＝＿＝ａ２ｙ了。丽ｘｏ＋－ｃ
ｌ＋一ａ２ｙ型ｏ（ｘｏ艘＋一ｃ）
Ｙ０ＸＯ—Ｃ
一』！兰ｉ二堡！曼ｉ±垒！堡Ｑ一一．查三
一（Ｇ２十６２）ｚｏＹｏ—ａ２ｃｙｏ—ＣＸｏ
ｂ２ｘＯ
ａ２ｙ０
由‘ｋａ２一芷ｂ２：，，
得主一照等～ｋｘｏ）２孔
口。
６‘
图２
整理得（ｂ２一ａ２ｋ２）ｚ２～２ａ２意（ｙｏ—ｋｘｏ）ｚ—ａ２ｂ２～口２（３，ｏ—ｋｏ）２＝Ｏ，
１＋孬ｂ丽２ｘｏｙｏ一卫缝二监塑堡殳一壁
．‘．ｔａｎｐ＝
一（口２＋ｂ２）互ｏＹｏ—ａ２ｃｙｏ～Ｃｙｏ．‘．０ｔ＝ｐ
．
△＝４ａ４忌２（ＹＯ一如ｏ）２＋４ａ２（６２一ａＺｋ２）［（３，ｏ—
ｂｏ）２＋ｂ２］－Ｏ，
，．＋．ｚ为么Ｆ１ＰＦ２的平分线，故双曲线上任一点Ｐ的切线为么Ｆ１ＰＦ２的平分线．
参考资料
［１］姜坤崇：—道课本习题的引申．数学通报．１９９９．９．［２］缪华柱：圆锥曲线的几个性质．数学通报．２０００．８．
．・．（ｚ３一ａ２）愚２－２ｘｏＹｏｋ＋厕＋ｂ２＝ｏ．
设ｆｚ。一口Ｓｅｃ护’
ｌＹＯ＝ｂｔａｎＯ，
．‘。口２ｋ２ｔ叫２０～２口ｂｋｓｅｃＯｔａｎａ＋ｂ２ｓｅｅ２０＝０．
．’．ａｋｔａｎＯ—ｂｓｅｅＯ＝０．
当ｔａｌｌ㈣时卢。裟＝石ｂ２ａ面ｓｅｃＯ＝赢ｂ２ｘｏ．
万方数据
圆锥曲线切线的性质
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
孙儒元
安徽省含山中学,238100
中学数学研究
STUDIES IN MIDDLE SCHOOL MATH GUANGDONG2003(5)1次
参考文献(2条)
1. 姜坤崇 一道课本习题的引申 1999(09)2. 缪华柱 圆锥曲线的几个性质 2000(08)
引证文献(1条)
1. 杨国平 圆锥曲线的切线性质的应用[期刊论文]-中学数学研究 2007(2)
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_zxsxyj200305009.aspx