高二数学《数列与数学归纳法》练习卷（B 卷）2013.10
一、填空题
1．在数列{a n }中，若a 1=2, 2a n +1=2a n +1，则a 20132．设S n 为数列{a n }的前n 项和，若lg(S n -1) =n ，则a n =1+b +b 2+L +b n -1
3．若常数b 满足|b |>1，则lim =____________.
n →∞b n
4．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4=1, S 8=4，则a 13+a 14+a 15+a 16=. +a 5．若等差数列{a n }的公差为-2，且a 1+a 4+a 7+ +a 28=50，则a 2+a 6+a 01+ 83=
n +1
⎛7⎫
6．在数列{a n }中，若a n =n ⋅ ⎪，则此数列的最大项为.
⎝9⎭
*
7． 已知真命题：若数列{a n }为等差数列，且a m =p , a n =q , (m ≠n ; m , n ∈N ) ，则
a m +n =
mp -nq
且b m =u , b n =v ,(m >n ; , m n ∈N ) *，. 现已知数列{b n }(b n >0, n ∈N *) 为等比数列，
m -n
若类比上述结论，则可得到b m +n =____________.
8．在数列{a n }中，若a 1=3，且对任意大于1的正整数n
，点,
) 在直线
x -y -=0上，则lim
a n
=_______.
n →∞(n +1) 2
ｎ2222
9． 若等比数列{a n }的前n 项和S ｎ＝2－１，则a 1+a 2+a 3+ +a n ＝_____.
10．已知{a n }是公差为2的等差数列，又f (x ) =2，若f (a 2+a 4+a 6+a 8+a 10) =4，则
x
log 2[f (a 1) ⋅f (a 2)⋅f (a 3) .... f (a 10) ]=二、选择题
11．在∆ABC 中，tan A 是以-4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tan B 是以
1
为3
第三项，9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是 （ ） （A ）锐角三角形 （B ）钝角三角形 （C ）等腰直角三角形 （D ）非等腰直角三角形 12．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n +S m =S n +m ，且a 1=1，那么a 10为 （ ） （A ）10 （B ）9 （C ）1 （D ） 55 13．用数学归纳法证明1+2+ +(n -1)+n +(n -1)+ +2+1=
2
2
2
2
2
2
2
n (2n 2+1)3
时，
从“k 到k +1”左边需增加的代数式是 （ ）
222
(A) (k +1) (B) k +(k +1) (C) 2k +(k +1) (D) 2k +2(k +1)
2222
⎛2⎫
14．已知数列{a n }的通项为a n = ⎪
⎝3⎭
n -1
⎡⎛2⎫n -1⎤⋅⎢ ⎪-1⎥，下列表述正确的是 （ ） ⎢⎥⎣⎝3⎭⎦
（A ） 最大项为0，最小项为-20 （B ） 最大项为0，最小项不存在
81（C ） 最大项不存在，最小项为-20 （D ） 最大项为0，最小项为a 4
81
(-1) n +1
15．若不等式(-1) a
n
3⎫3⎫3⎫3⎫⎛⎡⎛⎡
（A ） -3, ⎪ （B ）⎢-3, ⎪ （C ） -2, ⎪ （D ）⎢-2, ⎪
2⎭2⎭2⎭2⎭⎝⎣⎝⎣
n
三、解答题
16．在数列{a n }中，a 1=2，a n +1=a n +cn （c 是常数，n =1，且a 1, a 2, a 3成，2，3， ）公比不为1的等比数列． （1）求c 的值； （2）求{a n }的通项公式．
⎧-6n +5, n 为奇数
17．已知数列{a n }的通项公式为a n =⎪，求此数列的前n 项和S n . ⎨n
n 为偶数⎪⎩2,
18．已知数列{2
n -1
⋅a n }的前n 项和S n =9-6n ．
(1) 求数列{a n }的通项公式； (2) 设b n =n ⋅(3-log 2
19．设数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a n ≠0，a 1为常数，且-a 1、S n 、a n +1成等差数列． （1）求{a n }的通项公式；
（2）设b n =1-S n ，问：是否存在a 1，使数列{b n }为等比数列？若存在，求出a 1的值；若不存在，请说明理由．
a n
⎧1⎫
) ，求数列⎨⎬的前n 项和． 3⎩b n ⎭
20．已知{a n }是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为S n ，且S 4=2S 2+4, 设b n =（1）求公差d 的值；
1+a n
． a n
5
（2）若a 1=-，求数列{b n }中的最大项和最小项的值；
2
（3）若对任意的n ∈N *，都有b n
≤b 8成立，求a 1的取值范围．
参考答案 一、填空题
1. 1008； 2. ⎨
⎧11, n =1
n -1
⎩9⋅10, n ≥2
； 3.
1
； 4. 27； 5. -70 ； b -1
6．a 4 ；
7.
m 4n -1； 8. 3； 9. ； 10. -6 3
二、选择题
11．A ； 12.C； 13.B； 14.A； 15.D 三、解答题
16. （1）a 1=2，a 2=2+c ，a 3=2+3c ，
因为a 2
1，a 2，a 3成等比数列，所以(2+c ) =2(2+3c ) ，解得c =0或c =2． 当c =0时，a 1=a 2=a 3，不符合题意舍去，故c =2． （2）当n ≥2时，由于a 2-a 1=c ，a 3-a 2=2c ，
a n -a n -1=(n -1) c ，
∴a n =(a n -a n -1) +(a n -1-a n -2) + +(a 2-a 1) +a 1
=[(n -1) +(n -2) + +2+1]c +a n (n -1)
1=
2
c +a 1
又a 1=2，c =2，故a n =2+n (n -1) =n 2-n +2(n =2，3， ) ．
当n =1时，上式也成立，所以a n =n 2-n +2(n =1
，2， ) ． 17．（1）当n 为奇数时，设n =2k -1,(k ∈N *
), 即k =
n +1
2
, 则 S n =-6[1+3+5+L +(2k -1) ]+5k +(22+24+26+L +22k -2) =-6k 2+5k +
4k -1n +12n +14n -3(4-1) =-6(2) +5(2) +3
(21-1) =2-n -3n 24n -12+3(2-1).
（2）当n 为偶数时，设n =2k ,(k ∈N *
), 即k =
n
2
, 则 S n =-6[1+3+5+L +(2k -1) ]+5k +(22+24+26+L +22k ) =-6k 2+5k +
4(4k -1) =-6(n ) 2+5⋅n +4
(2n
3223
-1) =5n -3n 24n
2+3
(2-1).
⎧2-n -3n 24n -1
+(2-1), n 为奇数⎪⎪23综上，得S n =⎨． 2
⎪5n -3n +42n -1, n 为偶数
()⎪23⎩
18．(1)n =1时，2⋅a 1=S 1=3, ∴a 1=3; 当n ≥2时,2n -1⋅a n =S n -S n -1=-6, ∴a n =
-3
． n -2
2
当n =1⎧3,
⎪
∴数列{a n }的通项公式a n =⎨3 ．
-, 当n ≥2⎪⎩2n -2
(2) 设数列⎨
⎧1⎫11
⎬的前n 项和为T n ，当n =1时，b 1=3-log 21=3, ∴T 1==；
b 13⎩b n ⎭
当n ≥2时，b n =n ⋅(3-log 2
131
) =n ⋅(n +1) ， ， ∴=n -2
n (n +1) 3⋅2b n
∴T n =
111111151＝-． ++ +=+++ +
b 1b 2b n 32⨯33⨯4n (n +1) 6n +1
⎧2S n =a n +1-a 1
19．（1）依题意，得2S n =a n +1-a 1．于是，当n ≥2时，有⎨．
2S =a -a n 1⎩n -1
两式相减，得a n +1=3a n （n ≥2）．
又因为a 2=2S 1+a 1=3a 1，a n ≠0，所以数列{a n }是首项为a 1，公比为3的等比数列． 因此，a n =a 1⋅3n -1（n ∈N *）；
a 1(1-3n ) 1111
（2）因为S n ==a 1⋅3n -a 1，所以b n =1-S n =1+a 1-a 1⋅3n ．
1-32222
1
要使{b n }为等比数列，当且仅当1+a 1=0，即a 1=-2．
23⨯4
20．（1）∵S 4=2S 2+4，∴4a 1+d =2(2a 1+d ) +4，解得d =1.
2
7511
（2）∵a 1=-，∴数列{a n }的通项公式为a n =a 1+(n -1) =n -，∴b n =1+=1+．
722a n
n -2
∵函数f (x ) =1+
7⎫⎛7⎛⎫
在 -∞, ⎪和 , +∞⎪上分别是单调减函数， ⎝2⎭⎝2⎭x -2
1
∴b 3
∴数列{b n }中的最大项是b 4=3，最小项是b 3=-1 ． （3）由b n =1+
11得 b n =1+， a n n +a 1-1
又函数f (x ) =1+
1
在(-∞,1-a 1)和(1-a 1, +∞)上分别是单调减函数，且x
x +a 1-1
时y 1-a 1时y >1.
∵对任意的n ∈N *，都有b n ≤b 8，∴7