小小正方形，方方正正真精神
广东省珠海市第四中学（519015）陈湘平
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形，它既是矩形又是菱形，它具有矩形和菱形的一切性质，被人们誉为“完美的四边形”。因此人们对它都情有独钟，在中考和竞赛中有关正方形的题也是层出不穷，变化多端，倍受出题者的青睐。下面举例数则，以供参考。
一 有关正方形的计算题 例1 如图所示，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成。设中间最小的正方形边长为1，问这个矩形色块图的面积＝＿＿。
解：设两个相等的正方形A 、B 的边长为
则正方形C 的边长为x+1, 正方形D 的边 长为x+2, 正方形E 的边长为x+3,根据矩形的长相等有（x ＋2）＋（x ＋3）＝（x ＋1）＋x ＋x ，解得：x ＝4。 所以这个矩形的长为（x ＋1）＋x ＋x ＝（4＋1）＋4＋4＝13，宽为（x ＋1）＋（x ＋2）＝（4＋1）＋（4＋2）＝11，这个矩形色块图的面积为13×11＝143。
点析：此题的关键是设两个相等的正方形A 、B 的边长为x, 由此可推出每个正方形的边长，再根据矩形的长或宽相等即可求得x 的值，从而求出矩形的长和宽，再进而求出矩形的面积。
例2 如图所示，在正方形ABCD 中，AO ⊥BD ，OE 、FG 、HI 都垂直于AD ，EF 、GH 、IJ 都垂直于AO ，若已知S △AIJ ＝1，则S
正方形ABCD
＝＿＿。
解：可以证明S △AOD ＝2S △AOE ＝4S △AEF
D C
＝8S △AFG ＝16S △AGH ＝32S △AIH ＝64S △AIJ ＝64，
E
所以S 正方形ABCD ＝4S △AOD ＝256。
G
点析：此题主要搞清楚在正方形中 I A 众多三角形之间的面积关系就不难解决了。
B
例3 如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是7cm ，则正方形A 、B 、C 、D 的面积的和＝＿＿。
解：易证A 的面积＋正方形B 的
面积＝正方形E C 的面积＋正方形D 的面积＝F 的面积，同理，正方形E 形F 的面积＝正方形G 形
A 、B 、C 、D ＝49。
点析：本题的关键是由勾股定理可以知道A 的面积＋正方形B 的面积＝正方形E 的面积，接下来的问题就迎刃而解了。
例4 如图所示，正方形ABCD 中，边长AB ＝2，E 是CD 的中点，AF 平分∠BAE 交BC 于F ，则 CF＝＿＿。
解：延长CB 至G 使BG ＝DE ＝1，易知AGB ≌△ADE ，所以∠GAB ＝∠EAD ，AG ＝AE ＝5，因为AF 平分
D
∠BAE ，所以∠GAF ＝∠FAD
∠AFG ＝∠FAD ，所以∠GAF ＝ ∠AFG
，所以AG ＝GF ＝5，所
E
以BF ＝－1，CF ＝2－（－1）＝3－。
点析：本题有两个难点：第一是作出辅助线构造AGB ≌△ADE ，第二就是要注意到∠AFG ＝∠FAD ，从而得到AG ＝GF ＝5。
二 有关正方形的证明题
例5 如图所示，在正方形ABCD 中，AC ，BD 相交于O 点，FA 平分∠BAC ，交BC 于F ，交BD 于E 。求证：OE ＝FC 。
证明：过O 作OG ∥BC 交AF 于G 。 ∵O 是AC 中点，OG ∥BC ， ∴OG 是△AFC 的中位线， ∴OG ＝ FC。
1
2
12
下只需证OE ＝OG ，即证∠OGE ＝∠OEG 。 ∵FA 平分∠BAC ，
∴∠BAF ＝22.5，∠AFB ＝67.5，∠BEF ＝67.5， ∵∠AFB ＝∠OGE ，∠BEF ＝∠OEG ， ∴∠OGE ＝∠OEG ＝67.5。（得证）
点析：本题关键是要作出△AFC 的中位线OG ，从而转化为证明OE ＝OG ，即证∠OGE ＝∠OEG 。
例6 如图所示，已知四边形ABCD 是正方形，对角线AC 、BD 相交于O ，四边形AEFC 是菱形，EH ⊥AC 于H 。求证：EH ＝FC 。
1
2
。
。。。
证明：在正方形ABCD 中，AC ⊥BD ，AC ＝BD ， BO ＝BD ＝AC 。
∵四边形AEFC 是菱形， ∴AC ＝CF ，AC ∥EF 。 ∵EG ⊥AC ，
A ∴∠BOH ＝∠OHE ＝∠OBE ＝90，
。
1212
B ∴四边形BEHO 是矩形， ∴EH ＝BO 。 ∴EH ＝AC ＝CF 。
点析：本题用到了正方形的对角线相等、互相平分且垂直的性质，通过证明四边形BEHO 是矩形得到EH ＝BO ，再用菱形四边都相等的性质得到EH ＝BO ＝AC ＝CF 。
例7 如图所示，在正方形ABCD 的对角线相交于O 点，E 是OA 上的任意一点，CF ⊥BE 交OB 于G 点，F 为垂足，求证：△OEG 是等腰三角形。
证明：∵BD ⊥AC ， ∴∠BOE ＝∠COG ＝90。 ∵CF ⊥BE 于F ，
∴∠OBE ＋∠BGF ＝90， ∵∠OCG ＋∠CGO ＝90，∠BGF ＝∠CGO ， ∴∠OBE ＝∠OCG ， ∵OB ＝OC ，
。。。
1
212
1212
D C
A
B
∴△OBE ≌△OCG ， ∴OE ＝OG ， ∴△OEG 是等腰三角形。
点析：本题所用到的方法比较传统，要证△OEG 是等腰三角形，即要证OE ＝OG ，而要证两条线段相等，通常可以考虑两条线段所在的三角形是否全等，所以会想到证△OBE ≌△OCG 。
三 有关正方形的探究题
例8 如图所示，有四个动点P 、Q 、E 、F 分别从正方形ABCD 的4个顶点同时出发，沿着AB 、BC 、CD 、DA 以相同的速度向B 、C 、D 、A 各点移动
(1) 判定四边形PQEF 的形状； (2) PE 是否总是经过某一定点，
并说明理由；
(3) 四边形PQEF 的顶点位于何处时， 其面积最小、最大？各是多少？ 解：（1）四边形PQEF 是正方形；
（2）连结AC 交PE 于O ，四边形APCE 为平行四边形，O 是
AC 中点，即PE 必经过AC 的中点；
（3） 正方形ABCD 与正方形PQEF 的对角线交点是重合的， 易知当OP ⊥AB 时，四边形PQEF 的面积最小，为正方形ABCD 面积的一半，当P 与顶点B 重合时，有最大面积，为正方形ABCD 面积。
E C
F
D
点析：动点在正方形的边上运动，判断动点所组成的是什么图形是一类比较常见的题型。作为本题，是以相同的速度向各点移动的，应该还是比较简单的。
例9 如图9所示，正方形ABCD 被两条与边平行的线段EF 、GH 分割成4个小矩形，P 是EF 与GH 的交点，若矩形PFCH 的面积恰是矩形AGPE 面积的2倍，试确定∠HAF 的大小，并证明你的结论。
解：设AG ＝a ，BG=b，AE=x，ED=y，
1 ⎧a +b =x +y ○
1得a-x=b-y, 则⎨ ，由○
2 ○⎩by =2ax
D H
3 两边平方得：a -2ax+x=y-2by+b○2代入○3得：a -2ax+x=y-4ay+b把○
2
2
2
2
222
2
∴(a+x)=b+y＝CH ＋CF ＝FH ∴a+x＝FH ，即DH ＋BF ＝FH 。
222222
F
C
延长CB 至M ，使BM ＝DH ，连结AM ，由Rt △ABM ≌Rt △ADH ，得AM ＝AH ，∠MAB ＝∠HAD 。
∴∠MAH ＝∠MAB ＋∠BAH ＝∠BAH ＋∠HAD ＝90。
。1
易证△AMF ≌△AHF ，∠MAF ＝∠HAF ，即∠HAF ＝∠MAH ＝45。
2
。
点析：本题的关键是抓住矩形PFCH 的面积恰是矩形AGPE 面积的2倍推出DH ＋BF ＝FH ，再构造Rt △ABM ≌Rt △ADH ，问题从而得以解决。
例10 如图9所示，正方形MNPQ 网格中，每个小方格的边长都相等，正方形ABCD 的顶点分别在正方形MNPQ 中4条边的小方格的顶
点上。
1△ABQ 、（1） 设正方形MNPQ 网格中每个小方格的边长为1，求○ 2正方形ABCD 的面积。 △BCM 、△CDN 、△ADP 的面积； ○
（2） 设MB ＝a,BQ=b,利用这个图形中直角三角形和正方形的面积关系，你能验证已学过的哪一个 数学公式或定理吗？相信你能给出 简明的推理过程。
1 S△ABQ ＝S △BCM 解：（1）易知○
＝S △CDN ＝S △ADP ＝×3×4＝6。
2 S正方形ABCD ＝3＋4＝5＝25。 ○
2
2
2
1
2
D
（2）S 正方形MNPQ ＝S △ABQ ＋S △BCM ＋S △CDN ＋S △ADP ＋S 正方形ABCD
2
2
2
2
2
即（a+b）=1ab+1ab+1ab+1ab+(a＋b )= a+2ab＋b
2
2
2
2
这就是我们所学过的和的完全平方公式。
点析：本题的第（1）小题并不复杂，而第（2）小题却要跟以前学过的知识而且是跟代数知识联系起来，充分体现了它的灵活性。