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２ ０ ０ ０年 第 ４ 期
中学数 学教学
２ ３
垂心存在的四面体的两个性质
江苏盐城市第八中学 宋素珍
若四面体的四条高线交于一点。 则称这点为四面
体的垂心。四面体并不总有垂心。文［ １ ］ 中给 出四面 体存在垂心的充要条件是两组对棱分别垂直。一般说 来， 垂心存在 的四面体与三 角形有更多 的类似性质。
本文获得
（ 邮编： ２ ２ ４ ０ ０ ２ ）
许多性质定理。一般地讲， 等面四面体未必为正四面
体。 但我们有 定理 ２ 垂心存在的等面 四面体必为正四面体。 证明 如图。 设 Ｈ 为等 面四面 体 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 的 垂 心， Ａ Ｅ、 Ｄ Ｆ分别为过顶点 Ａ、 Ｄ 的高。 则Ａ Ｅ、 Ｄ Ｆ交于点Ｈ， Ｄ Ｅ、 Ａ Ｆ交点Ｍ 在 Ｂ Ｃ 上。 由垂心存在四面体的性质知 Ａ Ｄ上 Ｂ Ｃ， 故 由三垂线定理 知Ｄ Ｍ上Ｂ Ｃ ， Ａ Ｍ Ｊ ＿ Ｂ Ｃ， 又由等面 四面体 的性 质知 ＡＡ Ｂ Ｃ和ａＤ Ｂ Ｃ 面积相等， 进而 Ｄ Ｍ ＝ＡＭ。设 Ｎ 为Ａ Ｄ 中点。 则Ａ Ｄ－ ｌ － ＭＮ， 进而 Ｄ Ａ上平面 Ｂ Ｃ Ｎ， 即平 面Ｂ Ｎ Ｃ为棱 Ａ Ｄ 的垂 直平分 面， 故Ａ Ｂ ：Ｂ Ｄ， Ｃ Ｄ＝
Ｄ
定理 １ 垂心存在的四面体为正四面体的充分必 要条件是其垂心和重心重合。 证 充分性 设 四面体 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 的垂心Ｈ 和重 心 Ｇ重合。延长 Ｄ Ｇ交△Ａ Ｂ Ｃ 于点 Ｇｌ ， 则 Ｇｌ 为ＡＡ Ｂ Ｃ的
重心， Ｄ Ｇ， 上平面 Ａ Ｂ Ｃ 。由
Ｄ
Ｃ
四面体存在垂心的充要条件 。
知 Ａ Ｄ上 Ｂ Ｃ， Ｂ Ｄ上 Ａ Ｃ 。 从
Ｃ
而， 由三垂线定理知， Ａ Ｇｌ － ｌ － Ｂ Ｃ ， Ｂ Ｇｌ 上Ａ Ｃ ，即 Ｇｌ为
ＡＡ Ｂ Ｃ的垂 心。 进而 ａＡ Ｂ Ｃ 的重 心和 垂心 重合。 故 Ａ Ｂ＝Ｂ Ｃ＝Ａ Ｃ 。同理 可证 Ａ Ｂ＝Ａ Ｄ ＝Ｂ Ｄ， Ａ Ｄ＝Ａ Ｃ
＝Ｄ Ｃ。从 而 Ａ Ｂ：Ｂ Ｃ＝Ａ Ｃ＝Ａ Ｄ＝Ｂ Ｄ＝Ｃ Ｄ。
Ｃ Ａ。同理可证 Ａ Ｄ＝Ａ Ｂ， Ｃ Ｄ：Ｃ Ｂ； Ａ Ｄ：Ｂ Ｄ， Ａ Ｃ： Ｂ Ｃ。进而 Ａ Ｂ：Ｂ Ｃ＝Ａ Ｃ：Ｄ Ａ＝Ｄ Ｂ＝Ｄ Ｃ， 即 四面体
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 为正四面体。
必要性 设四面 体 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 为 正 四面 体， Ｄ Ｍ 为 高。因为 Ｄ Ａ＝Ｄ Ｂ＝Ｄ Ｃ， 所以 ＿ Ｖ ， Ｉ Ａ：ＭＢ＝ＭＣ， 从而 Ｍ 为正三 角形 Ａ Ｂ Ｃ的外 心． 进 而 Ｍ 为 ＡＡ Ｂ Ｃ 的重 心， 即Ｄ Ｍ 也为四面体 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 的 中线。所 以， 正 四面 体的垂心和重心重合。 口 三组对棱分别相等的四面体叫等面四面体， 显然， 等面四面
体 四个面是全等的三角形 。 它是等边三角形 在空间的 自然推广。文［ １ ］ ［ ２ ］ 中给出了等面四面体的
（ ９ ） 。
参考文献
１ 杨 之。从 三 角形 到四 面体。初等 数 学论 丛
２ 左铨如。 季素月。初等几何研 究。上海科技教
育 出版社 １ ９ ９ ２年 ９月。
（ 收稿 日 期 ２ ０ ０ ０ 一Ｏ ４ —２ ５ ）
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