第４４卷增刊２００１年【文章编号】
地球物理学报
ＣＨＩＮＥＳＥ
ｖｏｌ４４，Ｓｕｐｐｌ
２００１
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＧＥ（）Ｐ｝ｆＹＳＩＣＳ
｛啪ｌ一５７３３（２００１）增一０１９０—０９【中田分类号］
Ｐ６３１
３
Ａ
在双极柱坐标下求解拉普拉斯方程的
二维边值问题
陈小斌
（中国地震局地质研究所。北京１０００２９）
［摘要】研究了双极柱坐标系下的拉普拉斯方程由于三维拉普拉斯方程在该坐标系下
不能分离碹：量，因此着重研究了二维情况，其中重要的一点是推导证明了双极积分，并由该积分特均匀静电场和线电极源的一次场展开为傅里叶级数．在此基础上，又分别研究了均匀静电场下全空间和半空间情况下柱体问题以及线电极源下半空间情况下的柱体问题，给出了双栖积分的数值验证以及各种情况下柱体问题的等值线图，结果表明，所用理论和方法以厦球解结果都是正确的．［关键词】
双极柱坐标系．拉普拉斯方程，双极积分，稳定电流场，二维边值问题．
１
引。著
在矿产勘探中经常遇到地面下埋有长条形的矿脉分布情况；在工程物探中经常遇到探测地下管线、地下河或者溶洞等；在考古勘查中经常需要探测古代城垣等，这些情况都可归结为一种理想的模型：均匀半空间中的圆柱体模型
在早期，人们用该模型来模拟大地深处的电性结构．因此，研究主要集中在交变电磁场上．１９５９年Ｙａｋｏｎｏｖ论述了平面电磁波下均匀半空间中圆柱的散射问题．随后Ｄｂｓｓｏ等¨’２］在７０年代初到８０年代初陆续发表几篇论文，在Ｙａｋｏｎｏｖ的方法基础上将这一问题探讨得更为完善．他们讨论了平面波源、交变线源、偶极子源等，采用的方法是首先求解不同心的柱体问题，由贝塞尔函数的加法公式将二者结合起来，然后将外面的柱体半径取为无穷大，最后将问题归结为求解一个无穷序列的线性方程组．从而达到求解均匀半空闻的柱体问题的目的
稳定电流场中半空间下的柱体问题的求解当然不会比交变场中更困难．Ｙａｋｏｎ。ｖ等人的方法可以引人和借鉴，然而其求解过程过于繁杂，基本上失去了作为解析解的优点张秋光、屈超群［３１采用镜像法和分离变量法相结合求解了均匀稳定电流场下的边值问题，但其求解过程依然比较繁琐．李金铭和陈兆洪１４１采用偶极线来等效柱体的二次散射场，然后运用镜像法来求解同样的边值问题，其求解过程较为简单．本文将在双极柱坐标系∞“１下直接求解拉普拉斯方程．通过研究发现，尽管在双极柱坐标下求解拉普拉斯方程的三维边值问题（对应于点源）是困难的，但对于二维问题而言，是完全可行
［收疆日期］［作者简介］
２０００
１２—００收到，２００１０３—２０收到修定穑
陈小斌．男，１９７２年生，２０ｆ）０年毕业于江汉石油学院获硕上学忙，现为巾国地震局地质研究所在读博士！二，主要从事电磁耐深正反演的研究Ｅ
ｎ诅ｎ；ｃ砌ａ曲ｍ一删＠１６３
ｎｅｔ
增刊
陈小斌：在双极柱坐标下求解拉普拉斯方程的二维边值问题
的．尤其是在求解均匀半空间柱体问题，其求解过程显得特别简单，结果也非常简洁，易于编程计算．在本文中，还求解了针对线电极稳定电流源的均匀半空间中的柱体问题
２双极柱坐标系［５，６］
双极柱坐标系的曲面适合表达均匀半空间中的圆柱体模型问题的边界如图ｌ，在直角坐标系下，方程（ｚ—ｄｏ。ｔｈ｝）２＋ｙ２＝（口ｃｓｃｈ＃）２表示团心在ｚ轴上的两簇圆，这两簇圆关于‘ｙ轴对称．于是，ｚ轴上圆的方程可由参变量ｅ表示为｝＝｝ｏ，在ｚ轴上双极点ｚ＝±ｎ（口为常数）处，｝一±ｏ。，而直线ｚ＝Ｏ对应于ｅ＝Ｏ
同理：方程工２＋（ｖ一４ｃｏｔ才）２＝（＆ｃｓｃ口）２表示圆心在ｙ轴上的一簇圆，这簇圆与上述的圆正交，且都通过双极点、ｒ＝±ｎ（ｙ＝Ｏ），ｚ轴将每个圆截成两段．将７限制在０≤口≤２Ⅱ的范围内，令ｚ
轴上方的”取／Ｊ于＂的值，ｚ轴的下方取
为＂＋玑因此，平面上的每个点都可由（｝，口）确定，ｌｇ立起双极柱坐标系．
双极柱坐标系与直角坐标系之间的变换为
Ｆｉｇ～
图１双极柱坐标系
Ｂｉｐｏｌａｒ
Ｃｙｌｉｎｄ盯∞叫血１ａｔ姆ｓ州锄
一意普备，，＝意怒ｉ，一ｚ，
１
ｃｏｓｈｅ—ｃ（）ｓ口’ｙ一∞ｓｈｅ一∞ｓ口’
。一。’
（１）
、１’
其拉梅系数为
＾・２＾ｚ
２磊孝毛面，
＾，２
ｌ
（２）
３双极柱坐标下二维拉普拉斯方程的通解及双极积分
３．１双极柱坐标下＝维拉普拉斯方程的通解
双极柱坐标下三维拉普拉斯方程的表达式为
血譬尹迸（警＋翥）＋害＝。
ｄ‘
、ｄ年。ｄ开‘，ｄ＃‘
（３）
式（３）不能分离变量．在二维情形下，若—ｓｈ｝ｃｘｍ∞≠０，则
鲁＋等－ｏ・＊２’ａ日２一”＋
㈩
、’７
当ｃ０Ｓｈ∈ｃ０８１一＝Ｏ时，则是｝＝０且７＝０或７＝２Ⅱ，相当于直角坐标系中的无限远
１９２
地球物理学报
点．假设所讨论的问题不需对无限远点作专门的讨论，用分离变量法可求得式（４）的通鳃为
“｝＝ｎｏ车＋６＋乏］（ｎ。ｅ硭＋６。ｅ”８）（ｃ。ｃｏｓ
ｎ叩＋ｄ。ｓｉｎ”叩）．
（５）
３．２双极积分
附录中已详细地证明了以下的积分展开式：
．ｊ
ｅ１憎Ｉ。
２｛ｊ卷怒ｄ７，（｝≠ｏ）
“Ｊｏｏｓｈ｛一ｃｏｓ＂“＿’
……
（６）ｗ７
（６）式在双极硅坐标下求解二维拉普拉斯方程的边值问题具有重要意义，因此本文称其为双极积分．通过该式可以很容易地将一些二元函数展开为傅里叶级数，这在偏微分方程边值问题的分离变量法求解中是必需的．另外（６）式也给出了一类定积分的计算公式
利用（６）：戈可将双极柱坐标下的均匀电流场的位展开成正弦级数：
…＝一岛ｙ＝一未瓮‘＝一２ＥｏⅡ∑Ｐ刊％ｉｎ”节．
“ｏ—Ｅｏｙ２一忑矾＝高、２叫Ｅｏ。垒８…““”７‘
（车≠ｏ）【｝≠ｕＪ（７）（７）
对于均皇半空间中的线电流源的稳定电流场（此时∈≥Ｏ）：
式中・州沁册“端）］ｃ。ｓ州，，旷一半ｔｎ㈡＝尝・ｎ（惑蔷曷）＝筹薹蹦ｅ，ｃ。ｓ嘶
（８）
（９）
，ｏ为线电极单位长度流出的电流，ｐ１为均匀半空间的电阻率，２ｎ为双极柱坐标系的极
距，Ｒ为场点到源点的距离．（８）式是假设Ｒ＝ｎ时电位为零．
由（６）式可得
ｅ叫＝｛￡专辩戆≯妒Ｌ乒｛端札㈤，
于是，对（９）式通过分部积分并利用（１０）式化简，有粉
一尝－ｎ（惑舞弱）＝挈薹止ｊ掣ｅⅢｏｏｓ吁㈣，
（１０）、（１１）和（１２）式中｝≠Ｏ．
表１双极积分的验证
１讪ｌｅ
１
聃ｔ
０ｆ
ｂｉｐｎＩ盯ｊｎｔｅ帅ｔｉｏｎ
（｝，日：
１真实值
２
１０２０
５０
（Ｏ
６５８，～２【１１１）４０
５６２２９
２２．６８２４７
２３．７６０３９２３．７３舳８
２３７３８０ｌ２３，７３８Ｉ）】（Ｏ．６５８，～２（１１１）２０９９６５９１６２０５７０１６
１５１５９
１６１５１５８１６
１５１５８
１６１５１５８（１３１７，一２ＩＩｌｌ）
１０．８６８６３
９
５８４９２
９．５５６１０
９
５５６１０
９．５５６１０
９
５５６ＩＯ
增刊陈小斌：在双极柱坐标下求解拉普拉斯方程的二维边值问题１９３
的正确性．
４边值问题
４．１全空间下均匀电流场中的柱体
如图２所矛，一圆柱位于电场强度为￡ｏ的均匀稳定电流场中以电场的方向为ｙ轴，以柱正上方距柱轴ｄ处为直角坐标系的原点，ｚ轴垂直向下．由式（１）可得
ｆ
ｎ＝、’ｄ一一ｒ。．
ｒｉＴ——ｊ
ｋＩｎ［罟＋√≯］，“３’
式中，｝ｏ为圆柱面在双极柱坐标系中的坐标设｝一＋。。时电位为０，考虑到对称性，则该边值问题酗，边界条件可表示如下：
＝『ｆ
图２均匀稳定电流场中的圆柱体
Ｆｉｇ・２
Ａｃｙｌｉｎｄｒｆｏｒｔｈｅｕ【１ｌｔｆｏｎｎ
ｌ“卜∞｜口＝”＝ｏ，｛“ｌ＝“２。％，
｜ｌ
ａ１１
（１４）
１加２
Ｐ２ａ｝Ｉｅ＝气’
ｓ协ｔｉｃｄ∞ｔ＾ｃ制ｄ
【Ｐｌ西
将上述边界条件代人（５）式，并由（７）式加入一次场进行求解，最后可得
Ⅵ—１：。ｙ＋２Ｅ０盯蚤ｅ叫（２铲釉ｓｉｎ可＝
月‘Ｉ
Ｅ０ｙ＋Ｆ。盯盂丽磊芒褊，
…’ｖ
１‘
，
ｌ“：—＿２Ｅ０ｎ（１一ｒ）蚤ｅ啦ｓｉｌｌ，一≠％Ｅ０一
式中，“１为圆柱外的电位，“２为圆柱内的
电位．ｆ＝１；１一生，即反射系数．可见（１５）Ｐ２。”ｌ
式中的第２式与柱坐标下求得的结果完全一致．
４．２半空间下均匀稳定电流场中的圆柱体
如图３所示，一柱体埋于地面下，其轴离地面距离为ａ’，位于电场强度为Ｅ。的一均匀稳定电流场中，场沿ｙ方向流过，其他与图２完全一蓦：．文献［３，４］采用镜像法精确求解ｒ这一问题，文献［７］在不考虑地面水平界面的影响下近似求解了这一问题双极柱坐标与４．１节中完全一致，则该边值问题的边界条件可表示如下：
图３均匀稳定电流场中均匀半空间里的圆柱
Ｆｉｇ．３
Ａ
＝
ｃｙｌｌｎｄｅｒ∞ｂｅｄｄｅｄｌｎⅥｆ∞ａｃｅ
ｕｍｆｏｒｍ
ｓｔａｔｌｃ
ｆｏｒ
ｔｈｃｄｅｃｔｒｌｃｆｌｅｌｄ
１９４地球物理学报４４卷
溯㈣
图４柱体附近电位的对比
ｄ＝１００研，ｒ＝７０ｍ，Ｅｎ
５ｖ／ｍ，图中数值单位：Ｖ（ａ）ｐＩ＝１００‰．
Ｐ２＝１０ｎｍ；
（ｂ）Ｐｌ＝１０ｎｍ．Ｐ２２１００ｍ
ｌ无限空间情形；
２半空问情形
Ｆｉｇ．４
Ｃｏｒｎｐａｒｉ跗１ｏｆｔｈｅｐ。ｔ眺Ｌｔｄｒ嘲ｒｔｈｅ刚１ｎｄｅｒｌｍｄｅＳⅢｅ；
２ＨａｌｆＳＭｏ图５柱体附近电位的对比
ｄ＝１００
ｍ，ｒ＝３０
ｍ．Ｅ０＝５ｖ／ｍ，图中数值单位：Ｖ
（ａ）Ｐ１＝１００‰．Ｐ２＝１０ｎ…；
（ｂ）Ｐｆ２１０‰・Ｐ２。１００陆ｌ
Ｉ无限空同情形；
２半空同情形
Ｆ毡．５（ｈｎｐ跚卿１
ｄ
ｔｈｅ科蜘ｄａｌ
ｎｅａｒ
ｔｈｅｃｙ【ｉｎｄ盯
１
ｗ｝１０ｌｅ
Ｓｐａｃｅ；
２沌ＩｆＳｐａｃｅ
“ｆ卜∞。“ｌ口＝Ⅱ一盟雒Ⅻ
＝
Ｏ
“１＝“２Ｉｆ＝ｆｏ，
１ａ“１
１ａｎ２ｐｌ＊
Ｐ２ａｅ
％
（１６）
增刊陈小斌：在双极柱坐标下求解拉普拉斯方程的二维边值问题
１９５
可解得
忙耋等警ｅ堪ｓｉｎ哪爿１一ｒｅ‘气……“，
式中，ｒ为反射系数．
图４和图！・为（１５）式和（１７）式计算结果的比较，柱轴到地表的距离及柱内外的电阻率是相同的图中实线表示无限空间情形，虚线则代表半空间情况可以看出，当柱体较大时，两者之间的差别是明显的，而且在地表附近差别较大，地下深处差别较，、，这与经验所得结果是完全符合的．
４．３线电极源下均匀半空间中的柱体
有一均匀稳定电流线电极位于地面，其走向与圆柱平行，为了讨论方便令其位于圆柱的正上方（图６）设线电极单位长度流出的电流为，ｏ，则其一次场的电位由（８）式和（１２）式表示．图７是
啪一蓥警鬟∽‰叼ｓ胁，
（１７）
④
ｎ、、———／
Ａ
图６线电极源下均匀半空间中的圆柱体
Ｆｌｇ．６
ｃｙｌｉｎｄ叮∞ｌｂ。ｄｄｅｄｉｎ
ａ
ｈ“
卵日ｃｅｆｏｒｔｈｅｌｉｎｅｐｏｌａｒ
ｓ。Ｌｌｒｃｅ
由（１９）式计算结果的等值线图，定解问题的边界条件如下
捶
，／ｍ
一２“旧２娶忙。２
塑：上塑
ａ∈
Ｐ２
ｏ，
“８）
ａ车ｌ｝＝％
图７线电极源均匀半空间下柱附近的等值线图
ｄ＝１００ｍ．ｒ＝３０ｍ，ｈ＝１０Ａ，图中数值单位：Ｖ（ａ）ｎ＝１０００ｎｍ，甩２１００ｎｍ；（ｂ）ｎ２Ｌ００ｎｎ，＆２１０００ｎｍ
Ｆｌｇ７
白删州。ｔ
ｏｆｔｌｌｅ叫口ｔｉａｌ㈣ｃｙｌｌｎｄｅｒ帅ｂｅｄｄｅｄＩｎｔｈｅｈａｌｆ聃ｃｅｆｏｒｔｈｅｌｉｒＩｅｐ。ｌａｒ∞ｍｅ
１９６
地球物理学报
４４卷
卜２挈？（嚣）＋警薹畔凿苎∽‰删，ｃｏｓ哪。。，，
ｋ挈薹灶告３掣ｅ—ｏ。ｓ吁
、’
５结束语
本文研究了双极柱坐标系下求解二维拉普拉斯方程的边值问题，详细阐述了稳定电流场中柱体问题的求解，并进行了数值验证．在求解中，本文首先给出了二维拉普拉斯方程的通解惩：式，利用双极积分将一次场展开为傅里叶级数，然后便可方便地利用边界条件进行求解从求解过程可以看出，在双极柱坐标下求解均匀半空间中二维柱体的静电场问题是琳常简单有效的．
在利用分离变量法求解二维拉普拉斯方程时，其关键之处在于如何将一次场展开为博里叶级数．因为在一般情况下，双极柱坐标下二维拉普拉斯方程是可以分离变量的，而一次场满足拉普拉斯方程，因此一次场是可以展开为傅里叶级数的．本文基于这个思路，推导证明了双极积分．这不仅在求解二维拉普拉斯方程中极为重要，而且也给出了一类定积分的求解公式．
本文所阐述的方法并不局限于静电场问题的求解，凡是可用双极柱坐标描述的二维拉普拉斯方程的边值问题都可以解决，而这种问题在其他学科如油藏工程中也是常见
的．
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ＮａⅥｇａｔｌｏｎＰｒｅ踣，１９９２３３２
附录双极积分的证明
已知均匀电坜的势满足拉普拉斯方程，设电场沿ｙ方向且场强Ｅ＝１Ｖ／ｍ，则电位可表示为
“２
ｙ＝面罱，
（Ａ１）
（Ａ１）式中已经令ｎ＝ｌ显然ｅ≠０时（Ａ１）式一定可由拉普拉斯方程的通解表示根据均匀场本身的约束，由（５）式，（Ａ１）式可表示为
“＝忑等二％磊＝∑＂一。ｓ・ｎ＝’
ｏｏｓｎ｝一００ｓ目
ｎ７
’
（Ａ２）
又，在｝≠０时，．ｔ可展开为正弦级数，即有
式甲
一
∑Ｂ。（｝）ｓｉｎ”７，
（Ａ３）
剐邬５书盖芒篙岍
比较（Ａ３）与（＾２）式，有
（Ａ４）
最（｝）＝ｄ。ｅ…５，
即有
Ⅱ。＝ｅ“５Ｂ。（｝）
显然上式左边是与车无关的常数，故该式对任意的｛都成立，因而
而当ｅ≠ｏ时，有：磊靠＝耋。≤黔，故
式（Ａ５）中的棚讣
’
ａ一２熟旭（拈｛姆ｅ气嚣芒葛岍
（Ａ５）
耵｛割（一扩吣劬帕觇２“ｌｅ【“Ⅲ川５
｝
（Ａ５）式中．当ｎ＜（ｍ十１）时，其极限值为零，故求和中有关这些项的部分为零；当ｎ≥ｍ＋１时，
Ｊ（“＿）１血７ｉｎ
查积分表汇编［…，有
ｎ７
ｄ＿＝ｉ｝ｉＪ（”７）”１∞ｎ＿ｄ＿・
』
（Ａ６）
ｊ。一。。。妇：［１＋（一１）…Ｈ］ｊ。一，。ｃ。ｓ。妇
而
ｆＡ７）
１９８地球物理学报
ｓ丽瓦詈钿
ｏ∞＃（∞ｗ如
Ｏ
ｍ＜
ｎ
２＾４＾＋ｌ
｜Ｉ
１一４＾ｌ
南（？），
７ｎ≥ｎ，ｍ—ｎ＝２＾
———』翌Ｌ——一（３；２；女）（１；２；＾＋”＋１）
由（Ａ８）式，只能取ｎ＝ｍ＋ｌ一项，从而
，
川＞＂．加一”＝２量十ｌ
（Ａ８）
（Ａ７）式中．当ｎ一（晰＋１）为奇数时．积分为零；当月一（ｍ｝１）为偶数时，由于ｎ≥ｍ＋１，故
｛
ｆ一一１ｚ一一ａｚ＝ｚ』一ｋ一一曲＝斋＝丢．
将（Ａ９）式代，、（Ａ５）式（此时ｎ＝卅＋１）：
（∞）
ｎ。＝姆詈薹ｚ¨ｅｋ（…∥ｆ一¨ｚｏｏｓ—ａｚ＝鲰｛ｚ８。；＝ｚ
故有
ｃ刖。，
｛｛毒怒ａ，２一“・
ｓｏＬＶＩＮＧ２．ＤＢＯＵＮＤＡＲＹＰＲＯＢＬＥＭ｜ｓｏＦＬＡＰＬＡＣＥ
ｔⅢ，
证毕！
ＥＱＵ。ｗＩｏＮ
ＩＮＢＩＰＯＬＡＲＣＹＬＩＮＤＥＲＣＯＯＲＤＩＮＡｒｒＥｓ
ＣＨＥＮＸＩＡ旺ＢＩＮ
（Ｉ“ｔｃ∞。，Ｇ－－５ｍｏ妇Ｓｂ蛔：Ｉｄｍｒ嘏“，Ｂ嘶２《，１（瓤凹。ｏｒＭ
［Ａｂｓｔ憾ｃｔ］
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。。ｎ也ｉｓｐａｐｅＴ，ｔｈｅｆｕｎｄａｎ坨呲ａｌｐ。ｉｎｄｐｌｅｏｆｂｉｐｏｌａｒｃｙｌｉｎｄｅｒｃ０【）ｒｄｉｎａｔ魁ｉｓ
ｏｆＬａｐｌａｃｅｅｑｕａｔｉｏｎ
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２Ｄ如ｄａｒｙｐｒｏｂｌ哪ｓ
ｕｎｊｆｏｒｎｌ
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ｓｔｕｄｉｅｄ．Ｉｎｔｈｉｓｗｏｒｋ，ＩｈａＶｅｔｈｅｕｎｉｆｏｎｎｓｔａｔｉｃｅｌｅｃｔｒｉｃｆｉｅｌｄ
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ａｎｄｔｈｅｆｉｒｓｔｆｉ（：１ｄｏｆｌｉｎｅ
ｐ。ｌａｒ鼢１】ｒｃｅ．酬ｏｎ
ｎｕｒｎｅｒｉｃａｌ
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ａｎｄｈａｌｆｓｐａｃｅｆｏｒｔｈｅｕｎｊｆｏｍｌｄｅｃｔｄｃｆｉｅｌｄａｎｄｌｉｎｅｐｏｌａｒ
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０ｆ西种ｔ。删嚣岛缸ｔｏｓｂｏｗｔ＾ｅｄ稿打６ｕｔｉ。ｎｏｆｔｋｐｏｔｅｎｔｉ越，ａＤｄ∞ｍｐ８ｒｅｄ｝ｋ鲫ｍ洳ｎｓ。ｆｂ口
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Ｂｉｐｏｌａｒｏｏ。ｒｄｉｎａｔｅｓ，ＬａｐｌａｃｅｅｑＬｌａｔｉｏｎ，Ｂｉｐ０１ａｒｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ，ＥＩｅｃｔ“ｃ
［Ｋｅｙｗｏｒｄｓ］
ｓｔａｂｌｅｃｕ盯ｅｎｔ，２．Ｄｂｏｕｎｄａｒｙｐｆｏｂｌｅｒｎｓ．
在双极柱坐标下求解拉普拉斯方程的二维边值问题
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
陈小斌
中国地震局地质研究所,北京,100029地球物理学报
CHINESE JOURNAL OF GEOPHYSICS2001,44(z1)
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