在双极柱坐标下求解拉普拉斯方程的二维边值问题

第44卷增刊2001年【文章编号】

地球物理学报

CHINESE

vol44,Suppl

2001

JOURNALOFGE()P}fYSICS

{啪l一5733(2001)增一0190—09【中田分类号]

P631

在双极柱坐标下求解拉普拉斯方程的

二维边值问题

陈小斌

(中国地震局地质研究所。北京100029)

[摘要】研究了双极柱坐标系下的拉普拉斯方程由于三维拉普拉斯方程在该坐标系下

不能分离碹:量,因此着重研究了二维情况,其中重要的一点是推导证明了双极积分,并由该积分特均匀静电场和线电极源的一次场展开为傅里叶级数.在此基础上,又分别研究了均匀静电场下全空间和半空间情况下柱体问题以及线电极源下半空间情况下的柱体问题,给出了双栖积分的数值验证以及各种情况下柱体问题的等值线图,结果表明,所用理论和方法以厦球解结果都是正确的.[关键词】

双极柱坐标系.拉普拉斯方程,双极积分,稳定电流场,二维边值问题.

引。著

在矿产勘探中经常遇到地面下埋有长条形的矿脉分布情况;在工程物探中经常遇到探测地下管线、地下河或者溶洞等;在考古勘查中经常需要探测古代城垣等,这些情况都可归结为一种理想的模型:均匀半空间中的圆柱体模型

在早期,人们用该模型来模拟大地深处的电性结构.因此,研究主要集中在交变电磁场上.1959年Yakonov论述了平面电磁波下均匀半空间中圆柱的散射问题.随后Dbsso等¨’2]在70年代初到80年代初陆续发表几篇论文,在Yakonov的方法基础上将这一问题探讨得更为完善.他们讨论了平面波源、交变线源、偶极子源等,采用的方法是首先求解不同心的柱体问题,由贝塞尔函数的加法公式将二者结合起来,然后将外面的柱体半径取为无穷大,最后将问题归结为求解一个无穷序列的线性方程组.从而达到求解均匀半空闻的柱体问题的目的

稳定电流场中半空间下的柱体问题的求解当然不会比交变场中更困难.Yakon。v等人的方法可以引人和借鉴,然而其求解过程过于繁杂,基本上失去了作为解析解的优点张秋光、屈超群[31采用镜像法和分离变量法相结合求解了均匀稳定电流场下的边值问题,但其求解过程依然比较繁琐.李金铭和陈兆洪141采用偶极线来等效柱体的二次散射场,然后运用镜像法来求解同样的边值问题,其求解过程较为简单.本文将在双极柱坐标系∞“1下直接求解拉普拉斯方程.通过研究发现,尽管在双极柱坐标下求解拉普拉斯方程的三维边值问题(对应于点源)是困难的,但对于二维问题而言,是完全可行

[收疆日期][作者简介]

2000

12—00收到,200103—20收到修定穑

陈小斌.男,1972年生,20f)0年毕业于江汉石油学院获硕上学忙,现为巾国地震局地质研究所在读博士!二,主要从事电磁耐深正反演的研究E

n诅n;c砌a曲m一删@163

net

增刊

陈小斌:在双极柱坐标下求解拉普拉斯方程的二维边值问题

的.尤其是在求解均匀半空间柱体问题,其求解过程显得特别简单,结果也非常简洁,易于编程计算.在本文中,还求解了针对线电极稳定电流源的均匀半空间中的柱体问题

2双极柱坐标系[5,6]

双极柱坐标系的曲面适合表达均匀半空间中的圆柱体模型问题的边界如图l,在直角坐标系下,方程(z—do。th})2+y2=(口csch#)2表示团心在z轴上的两簇圆,这两簇圆关于‘y轴对称.于是,z轴上圆的方程可由参变量e表示为}=}o,在z轴上双极点z=±n(口为常数)处,}一±o。,而直线z=O对应于e=O

同理:方程工2+(v一4cot才)2=(&csc口)2表示圆心在y轴上的一簇圆,这簇圆与上述的圆正交,且都通过双极点、r=±n(y=O),z轴将每个圆截成两段.将7限制在0≤口≤2Ⅱ的范围内,令z

轴上方的”取/J于"的值,z轴的下方取

为"+玑因此,平面上的每个点都可由(},口)确定,lg立起双极柱坐标系.

双极柱坐标系与直角坐标系之间的变换为

Fig~

图1双极柱坐标系

Bipolar

Cylind盯∞叫血1at姆s州锄

一意普备,,=意怒i,一z,

coshe—c()s口’y一∞she一∞s口’

。一。’

(1)

、1’

其拉梅系数为

^・2^z

2磊孝毛面,

^,2

(2)

3双极柱坐标下二维拉普拉斯方程的通解及双极积分

3.1双极柱坐标下=维拉普拉斯方程的通解

双极柱坐标下三维拉普拉斯方程的表达式为

血譬尹迸(警+翥)+害=。

d‘

、d年。d开‘,d#‘

(3)

式(3)不能分离变量.在二维情形下,若—sh}cxm∞≠0,则

鲁+等-o・*2’a日2一”+

、’7

当c0Sh∈c081一=O时,则是}=0且7=0或7=2Ⅱ,相当于直角坐标系中的无限远

192

地球物理学报

点.假设所讨论的问题不需对无限远点作专门的讨论,用分离变量法可求得式(4)的通鳃为

“}=no车+6+乏](n。e硭+6。e”8)(c。cos

n叩+d。sin”叩).

(5)

3.2双极积分

附录中已详细地证明了以下的积分展开式:

.j

e1憎I。

2{j卷怒d7,(}≠o)

“Joosh{一cos"“_’

……

(6)w7

(6)式在双极硅坐标下求解二维拉普拉斯方程的边值问题具有重要意义,因此本文称其为双极积分.通过该式可以很容易地将一些二元函数展开为傅里叶级数,这在偏微分方程边值问题的分离变量法求解中是必需的.另外(6)式也给出了一类定积分的计算公式

利用(6):戈可将双极柱坐标下的均匀电流场的位展开成正弦级数:

…=一岛y=一未瓮‘=一2EoⅡ∑P刊%in”节.

“o—Eoy2一忑矾=高、2叫Eo。垒8…““”7‘

(车≠o)【}≠uJ(7)(7)

对于均皇半空间中的线电流源的稳定电流场(此时∈≥O):

式中・州沁册“端)]c。s州,,旷一半tn㈡=尝・n(惑蔷曷)=筹薹蹦e,c。s嘶

(8)

(9)

,o为线电极单位长度流出的电流,p1为均匀半空间的电阻率,2n为双极柱坐标系的极

距,R为场点到源点的距离.(8)式是假设R=n时电位为零.

由(6)式可得

e叫={£专辩戆≯妒L乒{端札㈤,

于是,对(9)式通过分部积分并利用(10)式化简,有粉

一尝-n(惑舞弱)=挈薹止j掣eⅢoos吁㈣,

(10)、(11)和(12)式中}≠O.

表1双极积分的验证

1讪le

聃t

0f

bipnI盯jnte帅tion

(},日:

1真实值

1020

50

(O

658,~2【111)40

56229

22.68247

23.7603923.73舳8

237380l23,738I)】(O.658,~2(111)2099659162057016

15159

161515816

15158

1615158(1317,一2IIll)

10.86863

58492

9.55610

55610

9.55610

556IO

增刊陈小斌:在双极柱坐标下求解拉普拉斯方程的二维边值问题193

的正确性.

4边值问题

4.1全空间下均匀电流场中的柱体

如图2所矛,一圆柱位于电场强度为£o的均匀稳定电流场中以电场的方向为y轴,以柱正上方距柱轴d处为直角坐标系的原点,z轴垂直向下.由式(1)可得

n=、’d一一r。.

riT——j

kIn[罟+√≯],“3’

式中,}o为圆柱面在双极柱坐标系中的坐标设}一+。。时电位为0,考虑到对称性,则该边值问题酗,边界条件可表示如下:

=『f

图2均匀稳定电流场中的圆柱体

Fig・2

Acylindrfortheu【1ltfonn

l“卜∞|口=”=o,{“l=“2。%,

|l

a11

(14)

1加2

P2a}Ie=气’

s协ticd∞t^c制d

【Pl西

将上述边界条件代人(5)式,并由(7)式加入一次场进行求解,最后可得

Ⅵ—1:。y+2E0盯蚤e叫(2铲釉sin可=

月‘I

E0y+F。盯盂丽磊芒褊,

…’v

1‘

l“:—_2E0n(1一r)蚤e啦sill,一≠%E0一

式中,“1为圆柱外的电位,“2为圆柱内的

电位.f=1;1一生,即反射系数.可见(15)P2。”l

式中的第2式与柱坐标下求得的结果完全一致.

4.2半空间下均匀稳定电流场中的圆柱体

如图3所示,一柱体埋于地面下,其轴离地面距离为a’,位于电场强度为E。的一均匀稳定电流场中,场沿y方向流过,其他与图2完全一蓦:.文献[3,4]采用镜像法精确求解r这一问题,文献[7]在不考虑地面水平界面的影响下近似求解了这一问题双极柱坐标与4.1节中完全一致,则该边值问题的边界条件可表示如下:

图3均匀稳定电流场中均匀半空间里的圆柱

Fig.3

cyllnder∞beddedlnⅥf∞ace

umform

statlc

for

thcdectrlcfleld

194地球物理学报44卷

溯㈣

图4柱体附近电位的对比

d=100研,r=70m,En

5v/m,图中数值单位:V(a)pI=100‰.

P2=10nm;

(b)Pl=10nm.P22100m

l无限空间情形;

2半空问情形

Fig.4

Cornpari跗1ofthep。t眺Ltdr嘲rthe刚1nderlmdeSⅢe;

2HalfSMo图5柱体附近电位的对比

d=100

m,r=30

m.E0=5v/m,图中数值单位:V

(a)P1=100‰.P2=10n…;

(b)Pf210‰・P2。100陆l

I无限空同情形;

2半空同情形

F毡.5(hnp跚卿1

the科蜘dal

near

thecy【ind盯

w}10le

Space;

2沌IfSpace

“f卜∞。“l口=Ⅱ一盟雒Ⅻ

“1=“2If=fo,

1a“1

1an2pl*

P2ae

(16)

增刊陈小斌:在双极柱坐标下求解拉普拉斯方程的二维边值问题

195

可解得

忙耋等警e堪sin哪爿1一re‘气……“,

式中,r为反射系数.

图4和图!・为(15)式和(17)式计算结果的比较,柱轴到地表的距离及柱内外的电阻率是相同的图中实线表示无限空间情形,虚线则代表半空间情况可以看出,当柱体较大时,两者之间的差别是明显的,而且在地表附近差别较大,地下深处差别较,、,这与经验所得结果是完全符合的.

4.3线电极源下均匀半空间中的柱体

有一均匀稳定电流线电极位于地面,其走向与圆柱平行,为了讨论方便令其位于圆柱的正上方(图6)设线电极单位长度流出的电流为,o,则其一次场的电位由(8)式和(12)式表示.图7是

啪一蓥警鬟∽‰叼s胁,

(17)

n、、———/

图6线电极源下均匀半空间中的圆柱体

Flg.6

cylind叮∞lb。ddedin

h“

卵日ceforthelinepolar

s。Llrce

由(19)式计算结果的等值线图,定解问题的边界条件如下

,/m

一2“旧2娶忙。2

塑:上塑

a∈

P2

o,

“8)

a车l}=%

图7线电极源均匀半空间下柱附近的等值线图

d=100m.r=30m,h=10A,图中数值单位:V(a)n=1000nm,甩2100nm;(b)n2L00nn,&21000nm

Flg7

白删州。t

oftlle叫口tial㈣cyllnder帅beddedInthehalf聃ceforthelirIep。lar∞me

196

地球物理学报

44卷

卜2挈?(嚣)+警薹畔凿苎∽‰删,cos哪。。,,

k挈薹灶告3掣e—o。s吁

、’

5结束语

本文研究了双极柱坐标系下求解二维拉普拉斯方程的边值问题,详细阐述了稳定电流场中柱体问题的求解,并进行了数值验证.在求解中,本文首先给出了二维拉普拉斯方程的通解惩:式,利用双极积分将一次场展开为傅里叶级数,然后便可方便地利用边界条件进行求解从求解过程可以看出,在双极柱坐标下求解均匀半空间中二维柱体的静电场问题是琳常简单有效的.

在利用分离变量法求解二维拉普拉斯方程时,其关键之处在于如何将一次场展开为博里叶级数.因为在一般情况下,双极柱坐标下二维拉普拉斯方程是可以分离变量的,而一次场满足拉普拉斯方程,因此一次场是可以展开为傅里叶级数的.本文基于这个思路,推导证明了双极积分.这不仅在求解二维拉普拉斯方程中极为重要,而且也给出了一类定积分的求解公式.

本文所阐述的方法并不局限于静电场问题的求解,凡是可用双极柱坐标描述的二维拉普拉斯方程的边值问题都可以解决,而这种问题在其他学科如油藏工程中也是常见

的.

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增刊

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陈小斌:在双极柱坐标下求解拉普拉斯方程的二维边值问题197

纳米吉安米萨克N勘查地球物理:电磁法(第一卷)赵经样,王艳君译北京:地质出版杜,19922“一247Nab《iatlNM蛆c

El∞t崩Tm印吐lcMcthodsmAp曲甜G∞phy5lcs(Volumel)(m

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Beq|ng:(h崦yPms,1992

332

244—247

邹风梧积分轰汇编北京:宇航出版社.1992

勖uFeng.wu1k∞UectlonofIntegrall∞(inchlne孵)

Bebltlg:space

NaⅥgatlonPre踣,1992332

附录双极积分的证明

已知均匀电坜的势满足拉普拉斯方程,设电场沿y方向且场强E=1V/m,则电位可表示为

“2

y=面罱,

(A1)

(A1)式中已经令n=l显然e≠0时(A1)式一定可由拉普拉斯方程的通解表示根据均匀场本身的约束,由(5)式,(A1)式可表示为

“=忑等二%磊=∑"一。s・n=’

oosn}一00s目

n7

(A2)

又,在}≠0时,.t可展开为正弦级数,即有

式甲

∑B。(})sin”7,

(A3)

剐邬5书盖芒篙岍

比较(A3)与(^2)式,有

(A4)

最(})=d。e…5,

即有

Ⅱ。=e“5B。(})

显然上式左边是与车无关的常数,故该式对任意的{都成立,因而

而当e≠o时,有:磊靠=耋。≤黔,故

式(A5)中的棚讣

a一2熟旭(拈{姆e气嚣芒葛岍

(A5)

耵{割(一扩吣劬帕觇2“le【“Ⅲ川5

(A5)式中.当n<(m十1)时,其极限值为零,故求和中有关这些项的部分为零;当n≥m+1时,

J(“_)1血7in

查积分表汇编[…,有

n7

d_=i}iJ(”7)”1∞n_d_・

(A6)

j。一。。。妇:[1+(一1)…H]j。一,。c。s。妇

fA7)

198地球物理学报

s丽瓦詈钿

o∞#(∞w如

m<

2^4^+l

|I

1一4^l

南(?),

7n≥n,m—n=2^

———』翌L——一(3;2;女)(1;2;^+”+1)

由(A8)式,只能取n=m+l一项,从而

川>".加一”=2量十l

(A8)

(A7)式中.当n一(晰+1)为奇数时.积分为零;当月一(m}1)为偶数时,由于n≥m+1,故

f一一1z一一az=z』一k一一曲=斋=丢.

将(A9)式代,、(A5)式(此时n=卅+1):

(∞)

n。=姆詈薹z¨ek(…∥f一¨zoos—az=鲰{z8。;=z

故有

c刖。,

{{毒怒a,2一“・

soLVING2.DBOUNDARYPROBLEM|soFLAPLACE

tⅢ,

证毕!

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[Abst憾ct]

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。。n也ispapeT,thefundan坨呲alp。indpleofbipolarcylinderc0【)rdinat魁is

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are

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studied.Inthiswork,IhaVetheunifonnstaticelectricfield

deducedandprwedtheBip。larIntegration,and

andthefirstfi(:1dofline

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6eldof

Bipolaroo。rdinates,LaplaceeqLlation,Bip01arintegration,EIect“c

[Keywords]

stablecu盯ent,2.Dboundarypfoblerns.

在双极柱坐标下求解拉普拉斯方程的二维边值问题

作者:作者单位:刊名:英文刊名:年,卷(期):

陈小斌

中国地震局地质研究所,北京,100029地球物理学报

CHINESE JOURNAL OF GEOPHYSICS2001,44(z1)

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