三角形的恒等变换
§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1、sin (α+β)=sin αcos β+cos αsin β 2、sin (α-β)=sin αcos β-cos αsin β 3、cos (α+β)=cos αcos β-sin αsin β 4、cos (α-β)=cos αcos β+sin αsin β 5、tan (α+β)=6、tan (α-β)=
tan α+tan β
.
tan α-tan β
.
§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、sin 2α=2sin αcos α， 变形sin αcos α=sin 2α.
2、cos 2α=cos α-sin α
2
2
=2cos 2α-1 =1-2sin 2α.
变形如下：
2
⎧⎪1+cos α=2cos α
⎨ 2
⎪⎩1-cos 2α=2sin α
⎧cos 2α=(1+cos 2α) ⎪2
⎨
2⎪sin α=(1-cos 2α) ⎩3、tan 2α
=. 1-tan 2α
sin 2α1-cos 2α
=
1+cos 2αsin 2α
4、tan α=
§3.2、简单的三角恒等变换
1、 注意正切化弦、平方降次. y =a sin x +b cos x =a 2+b 2sin(x +ϕ)
（其中辅助角ϕ所在象限由点(a , b ) 的象限决定, tan ϕ=
b
a
). 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） 1、cos 24︒
cos36︒
-cos66︒
cos54︒
的值为（ ）
A 0 B
12 C
D -12 2. cos α=-
35，α∈⎛ π⎝2, π⎫
⎪⎭
，sin β=-1213，β是第三象限角，则cos(β-α) =（ A 、-
3365 B 、6365 C 、561665 D 、-65
3. tan 20︒
+tan 40︒
20︒
tan 40︒
的值为（ ）
A 1 B
C
D
4. 已知tan (α+β)=3,tan (α-β)=5，则tan (2α)的值为（ ）
A -47 B 47 C 18 D -18
5. α, β都是锐角，且sin α=513，cos (α+β)=-4
5
，则sin β的值是（ ）
A 、3316566365 B 、65 C 、65 D 、65
6., x ∈(-
3π4, π⎛π⎫
34) 且cos ⎝4-x ⎪⎭
=-5则cos2x 的值是（ ） A 、-
725 B 、-2425 C 、2425 D 、725
7. 函数y =sin 4
x +cos 4
x 的值域是（ ）
A [0,1] B [-1,1] C ⎢⎡13⎤⎡1⎤
⎣2, 2⎥⎦ D ⎢⎣2,1⎥⎦
8. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于
4
5
, 则这个三角形底角的正弦值为（ ） A 10 B -3310 C 10
D -10
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中的横线上） ）
2
13. .在∆ABC 中，已知tanA ,tanB是方程3x -7x +2=0的两个实根，则tan C =
14. 已知tan x =2，则
3sin 2x +2cos 2x
的值为
cos 2x -3sin 2x
15. 已知直线l 1//l 2，A 是l 1, l 2之间的一定点，并且A 点到l 1, l 2的距离分别为h 1, h 2，B 是直线l 2上一动点，作AC ⊥AB ，且使AC 与直线l 1交于点C ，则∆ABC 面积的最小值为 。
20. 已知函数y =sin 2x +sin 2x +3cos 2x ，求 （1）函数的最小值及此时的x 的集合。 （2）函数的单调减区间
（3
）此函数的图像可以由函数y =2x 的图像经过怎样变换而得到。（12分）
§3.1、不等关系与不等式 ①（对称性）b >a ②（传递性）a >b , b >c ⇒a >c
③（可加性）a >b ⇔a +c >b +c
（同向可加性）a >b , c >d ⇒a +c >b +d （异向可减性）a >b , c b -d ④（可积性）a >b , c >0⇒ac >bc
a >b , c b >0, c >d >0⇒ac >bd
（异向正数可除性）a >b >0,0b
c d
⑥（平方法则）a >b >0⇒a n >b n (n ∈N , 且n >1)
⑦（开方法则）a >b >0n ∈N , 且n >1) ⑧（倒数法则）a >b >0⇒1111 a b a b
a 2+b 2
. ①a +b ≥2ab (a ，b ∈R ), （当且仅当a =b 时取" =" 号）. ab ≤2
2
2
②（基本不等式）
a +b
≥(a ，b ∈R +), （当且仅当a =b 时取到等号）.
2
2
⎛a +b ⎫
ab ≤ ⎪.
2⎝⎭
用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件
“一正、二定、
三相等”.
③（三个正数的算术—几何平均不等式）
a +b +c ≥(a 、b 、c ∈R +) （当且仅当3
a =b =c 时取到等号）.
④a +b +c ≥ab +bc +ca (a ，b ∈R )
2
2
2
（当且仅当a =b =c 时取到等号）. ⑤a 3+b 3+c 3≥3abc (a >0, b >0, c >0) （当且仅当a =b =c 时取到等号）.
b a
+≥2（当仅当a=b时取等号） a b b a
若ab
a b
b b +m a +n a
a a +m b +n b
⑥若ab >0, 则
其中(a >b >0，m >0，n >0)
规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧当a >0x >a ⇔x 2>a 2⇔x a ;
x
⑨绝对值三角不等式a -b ≤a ±b ≤a +
b .
2a +b ①平均不等式：-1≤≤≤-1
a +b 2(a ，b ∈R ), （当且仅当a =b 时取" =" 号）.
+
（即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）.
变形公式：
13解形如ax +bx +c >0且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：
⑴讨论a 与0的大小； ⑵讨论∆与0的大小； ⑶讨论两根的大小. 14⑴不等式ax +bx +c >0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：
①当a =0时 ⇒b =0, c >0;
2
2
②当a ≠0时⇒⎨
2
⎧a >0
⎩∆
⑵不等式ax +bx +c
①当a =0时⇒b =0, c
②当a ≠0时⇒⎨
⎧a
⎩∆
⑶f (x )
f (x ) ≤a 恒成立⇔f (x ) max ≤a ;
⑷f (x ) >a 恒成立⇔f (x ) min >a ;
f (x ) ≥a 恒成立⇔f (x ) min ≥a .
15⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断： 法一：取点定域法：
由于直线Ax +By +C =0的同一侧的所有点的坐标代入Ax +By +C 后所得的实数的符号相同. 所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点(x 0, y 0) （如原点），由Ax 0+By 0+C 的正负即可判断出Ax +By +C >0(或
即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.
法二：根据Ax +By +C >0(或
Ax +By +C >0(或
⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：
不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. ⑶利用线性规划求目标函数z =Ax +By (A , B 为常数）的最值： 法一：角点法：
如果目标函数z =Ax +By （x 、y 即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应z 值，最大的那个数为目标函数z 的最大值，最小的那个数为目标函数z 的最小值 法二：画——移——定——求： 第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线l 0:Ax +By =0 ，平移直线
l 0（据可行域，将直线l 0平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解(x , y ) ；第四步，将
最优解(x , y ) 代入目标函数z =Ax +By 即可求出最大值或最小值 .
第二步中最优解的确定方法：
利用z 的几何意义：y =-
A z z
x +, 为直线的纵截距. B B B
①若B >0, 则使目标函数z =Ax +By 所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最小值；
②若B
第三章 不等式练习（1）
1、不等式-x +2x >3的解集为 2、若实数a 、b 满足a+b=2，则3a +3b 的最小值是 。
2
1
的最小值是 x -2
+
4、设x , y 满足x +4y =40, 且x , y ∈R , 则lg x +lg y 的最大值是
3、已知x ＞2，则y ＝x +
5、设函数y =
kx 2-6x +k +8的定义域为R ，则k 的取值范围是
1x
4
≥m 恒成立的实数m 的取值范围y
6、已知两个正变量x , y 满足x +y =4, +是 。
7、若x , y ∈R +，且2x+8y-xy=0则x+y的范围是 。
8、若关于x 的不等式x 2-4x ≥m 对任意x ∈[0, 1]恒成立，则实数m 的取值范围是 ． 9、若a >0，则下列不等式对一切满足条件的a , b 恒成立的是 ． , b >0, a +b =2
①ab ≤1；
≤1； ③a +b ≥4； ④
2
22
10、要挖一个面积为432m 的矩形鱼池，周围两侧分别留出宽分别为3m ，4m 的堤堰，要想使占地总面积
最小，此时鱼池的长 、宽 ．
11、已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=(x +)(y +) 的最小值为
11+≥2a b
1
x 1y
y 22
12、设x ∈R 且x +=1，则x +y 的最大值为
2
13、已知常数a 、b 都是实数， 不等式-2x 2-(a +1) bx +b >0的解集为(1,3).
+
2
-2x 2-(a +1) bx +b
（Ⅰ）求实数a , b 的值; （Ⅱ）若x
x
14、解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1) x ＋1＜0.
15、已知函数
f (x ) =-sin 2x +sin x +a ，若1≤f (x ) ≤4对一切x ∈R 恒成立．求
实数a 的取值范围．
三角恒等变换测试题参考答案
一、选择题：（每小题5分共计60分）
二、填空题：（每小题5分，共计20分） 13、-7 14、-
2
5
15、h 1h 2 16、①③