直线与平面.平面与平面的垂直的判定与性质

直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质及应用、求角

一、知识要点

1.直线和平面垂直：如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面记做l，l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面，

它们的交点P 叫垂足.如右图所示. 2．直线与平面、平面与平面垂直的判定定理与性质定理一览表

3．直线与平面所成的角：如图直线PA和平面相交但不垂直，PA叫做平面的斜线， PA和平面的交点A 叫斜足；PO，AO叫做斜线PA在平面上的射影。

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条直线和平面所成的角。 当直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；直线和平面平行或在平面内，则它

们所成的角是0角.因此直线和平面所成角的范围是。

4．求直线和平面所成的角步骤：①一般先定斜足；②再作垂线找垂足；③斜足垂足连线得射影——找到了角；

然后通过解直角三角形求角；写结论。 可以简述为“作证求结论”。

o

5.二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，

这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面。

右图中的二面角可记作：二面角-AB- 或 -l-或P - AB - Q 。

6。二面角的平面角：如图在二面角-l-的l棱上任取一点O ，以点O为垂足，在半平面和内 分别作垂直于棱l的射线OA,OB,则射线OA和OB构成的AOB

（1（2）二面角平面角的做法：

例1.如图，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，PAAB2，BC4,

E是PD的中点．

（1）求证：平面PDC⊥平面PAD；（2）求二面角EACD的余弦值．

例2.如右图，把边长为1的正方形ABDC沿对角线BC折起得到三棱锥DABC，O是BC边上一点． (1) 求DO的取值范围； (2) 当DO取最小值时，证明：BC平面DAO； (3) 若DA1，求二面角ACDB的余弦值．

A

C

例3.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是DAB60且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD．

（1）若G为AD的中点，求证：BG平面PAD；（2）求证：ADPB；（3）求二面角ABCP的大小．

例4．已知直角梯形ABCD

的上底BCBC//AD,BC

是边长为2的等边三角形。

1

PCD平面PDC平面ABCD，CDAD，AD，

2

（1）证明：ABPB；（2）求二面角PABD的大小；（3）求三棱锥APBD的体积。

例5.如图，菱形ABCD的边长为4，BAD60，ACBDO.将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥BACD，点M是棱BC

的中点，DM（1）求证：OM//平面ABD； （2）求证：平面DOM平面ABC；（3）求二面角DABO的余弦值.



例6．在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AEEB,AD//EF//BC，BC2AD4，AEBE2，

（Ⅰ）求证：AB//平面DEG；（Ⅱ）求直线BD与平面BCFE所成角的正切值； G是BC的中点．

（Ⅲ）求证：BDEG．

A

D

F

BC

例7．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，ADC45，ADAC1，O为AC中

点，PO平面ABCD，PO2，M为PD中点． （Ⅰ）证明：PB//平面ACM； （Ⅱ）证明：AD平面PAC； （Ⅲ）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．

例8．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点作EFPB交PB于点F.

（1）证明:PA//平面EDB.（2）证明:PB平面EFD.（3）求二面角CPBD的大小.

1．如图，在多面体ABCDE中，AE⊥面ABC，BD∥AE，且AC＝AB＝BC＝BD＝2，AE＝1，F为CD中点． (1)求证：EF⊥面BCD； (2)求面CDE与面ABDE所成的二面角的余弦值．

2．在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，ABAC,PA平面ABCD，且PAAB,点E是PD的中点。 ⑴求证：ACPB； ⑵求证：PB∥平面AEC； ⑶求二面角EACB的大小。

C

3.如图在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD底面ABCD，且

B

PAPD

AD,设E、F分别为PC、BD的中点． (Ⅰ) 求证：EF//平面PAD；(Ⅱ)求证：面PAB平面PDC；(Ⅲ)求二面角BPDC的正切值．

AB

17．如图,四边形ABCD为正方形,PD平面ABCD,PDQA,QAAB(1)证明:平面PQC平面DCQ;(2)求二面角QCPD的余弦值.

1

PD. 2

B

D P

A Q

18．如图,在四棱锥SABCD中,底面ABCD是正方形,SA底面ABCD,SAAB,点M是SD的中点,ANSC且交SC于点N. (1) 求证:平面SAC平面AMN; (2)求二面角DACM的余弦值.

19．已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形,AB//CD,ADAB,ADABCD1,

2

1

PD面

ABCD,PDE是PC的中点

（1）证明：BE//面PAD；（2）求二面角EBDC的大小.

例8．如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED平面ABCD，BAD

3

，AD2．(1) 求证：平面FCB∥平面AED；

(2) 若二面角AEFC为直二面角，求直线BC与平面AEF所成的角的正弦值．

7．ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点。（1）求三棱锥D1—DBC的体积；（2）证明BD1∥平面C1DE；（3）求面C1DE与面CDE所成二面角的正切值。

数学立体几何综合复习训练题

1、 如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC

1

AA1,∠BAC90,D为棱BB1的中点。（1）求异面直2

线C1D与A1C所成的角；（2）求证：平面A1DC平面ADC。

C1

B1

D

C

A

B

2、 在棱长a为的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别棱AB和BC的中点。（1）求二面角D-EF-B1的大小；

（2）求点B到平面B1EF的距离；(3)求A1C1到平面B1EF的距离。

C1

A1

A

E

B

C

6、四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点。（1）求证：AE⊥平面PCD；（2）若AD=AB，试求二面角A-PC-D的正切值；（3）当⊥AC?

AD

为何值时，PBAB

A

B

C