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1、问题情境
已知矩形的面积为a (a 为常数，a ＞0) ，当该矩形的长为多少时，它的周长最小? 最小值是多少? 数学模型
设该矩形的长为x ，周长为y ，则y 与x 的函数关系式为y =2(x +)(x >0) ． 探索研究
⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y =x +①填写下表，画出函数的图象：
a x
1
(x >0) 的图象性质． x
②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；
③在求二次函数y =ax 2＋bx ＋c (a ≠0) 的最大(小) 值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数y =x +解决问题
⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．
1
(x ＞0) 的最小值． x
2. 已知A (1，0) ，B (0，－1) ，C (－1，2) ，D (2，－1) ，E (4，2) 五个点，抛物线y ＝a (x －1) 2＋k (a ＞0) ，经过其中三个点.
1) 求证：C ，E 两点不可能同时在抛物线y ＝a (x －1) 2＋k (a ＞0) 上； 2) 点A 在抛物线y ＝a (x －1) 2＋k (a ＞0) 上吗? 为什么? 3) 求a 和k 的值.
3. 观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．
在锐角△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，过A 作AD ⊥BC 于D (如图) ，则sin B =c ⋅sin B =b ⋅sin C ，即所以
AD AD
，sin C =，即AD =c ⋅sin B ，AD =b ⋅sin C ，于是c b
c a b c a b ===. 同理有：，， sin B sin C sin C sin A sin A sin B
a b c
== sin A sin B sin C
即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素(至少有一条边) ，运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素. 根据上述材料，完成下列各题.
(1)如图，△ABC 中，∠B =450，∠C =750，BC =60，则∠A = ；AC = ；
(2)如图，一货轮在C 处测得灯塔A 在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里∕时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得灯塔A 在货轮的北偏西75°的方向上(如图) ，求此时货轮距灯塔A 的距离AB .
4. 请阅读下列材料：
问题：如图(1)，一圆柱的底面半径为5dm ，BC 是底面直径，圆柱高AB 为5dm ，求一只蚂蚁从点A 出发沿圆柱表面爬行到点C 的最短路线。小明设计了两条路线：
路线1：侧面展开图中的线段A C . 如图(2)所示。
设路线1 的长度为L 1 ，则L 12=AC 2=AB 2+BC 2=52+(5π) 2=25+25π2.
路线2：高线AB +底面直径BC . 如图(1)所示. 设路线2的长度为L 2，则L 22=(AB +BC ) 2=(5+10)2=225 ∵ L 12－L 22=25+25π2－225=25π2－200=25(π2－8) ＞0 ∴ L 12＞L 22. ∴ L 1＞L 2 所以选择路线2较短.
图(1) 图(2)
(1)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1dm ，高AB 为5dm ”继续按前面的路线进行计算。请你帮小明完成下面的计算： 路线1：l 12=AC 2 路线2：l 22=(AB + BC) 2。
∵ L 12L 22， ∴ L 12 (填“＜”或者 “＞”) 所以选择路线 (填1或2) 较短.
(2)请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r ，高为h 时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A 出发沿圆柱表面爬行到点C 的路线最短。
5．已知关于x 的方程x 2
+k 2－k +2=0，为判别这个方程根的情况，一名同学的解答过程如下： “解：△
) 2－4×1×(k 2－k +2) =－k 2+4k －8=(k －2) 2+4. ∵(k －2) 2≥0，4>0，∴△=(k －2) 2+4>0. ∴原方程有两个不相等的实数根.”
请你判断其解答是否正确，若有错误，请你写出正确解答.
6、一列火车自A 城驶往B 城，沿途有n 个车站(包括起点A 和终点B ) ，该车挂有一节邮政车厢，行驶时需要在每个车站停靠，每停靠一站不仅要卸下已经通过的各车站发给该车站的邮包一个，还要装上该站发给后面行程中每个车站的邮包一个。例如，当列车停靠在第x 个车站时，邮政车厢上需要卸下已经通过的(x －1) 个车站发给该站的邮包(x －1) 个还要装上后面行程中要停靠的(n －x ) 个车站的邮包(n －x ) 个
(1)根据题意，完成下表；
(2)根据上表写出列车在第x 个车站启程时，邮政车厢上共有的邮包个数y (用x ， n 表示) ； (3)当n =18 时，列车在第几个车站启程时邮车上的邮包个数最多?
7、阅读下列材料解答下列问题：观察下列方程：①x +
2612=3；②x +=5；③x +=7…… x x x
(1)按此规律写出关于x 的第n 个方程为 (2)根据上述结论，求出x +
8．阅读材料，解答问题．
例 用图象法解一元二次不等式：x 2-2x -3>0． 解：设y =x 2-2x -3，则y 是x 的二次函数．
n (n +1)
=2n +2(n ≥2) 的解。
x -1
a =1>0，∴抛物线开口向上．
2
又 当y =0时，x -2x -3=0，解得x 1=-1，x 2=3．
∴由此得抛物线y =x 2-2x -3的大致图象如图所示．
观察函数图象可知：当x 3时，y >0．
∴x -2x -3>0的解集是：x 3．
2
2
(1)观察图象，直接写出一元二次不等式：x -2x -3
2
(2)仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x -1>0．(大致图象画在答题卡上) ．．．
9、阅读下列材料，然后回答问题．
进一步化简：
==； (Ⅰ
) ； (Ⅱ
) ==
===1． 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
(Ⅲ)
22====1． (1)
(Ⅳ)
①参照(Ⅲ)
②参照(Ⅳ)
(2)
++…
1710551017，，，2，，，． 4322341
函数y =x +(x >0) 的图象如图．
x
1、解：⑴①
②本题答案不唯一，下列解法供参考．
当01时, y 随x 增大而增大； 当x =1时函数y =x +
1
(x >0) 的最小值为2． x
③y =x +
1222
=+
=2+2-
+2
x 1=0，即x =1时，函数y =x +(x >0) 的最小值为2．
x
2、【答案】(1)证明：将C ，E 两点的坐标代入y ＝a (x －1) 2＋k (a ＞0) 得，
⎧4a +k =2
，解得a ＝0，这与条件a ＞0不符， ⎨
9a +k =2⎩
∴C ，E 两点不可能同时在抛物线y ＝a (x －1) 2＋k (a ＞0) 上. (2)【法一】∵A 、C 、D 三点共线(如下图) ，
∴A 、C 、D 三点也不可能同时在抛物线y ＝a (x －1) 2＋k (a ＞0) 上. ∴同时在抛物线上的三点有如下六种可能：
①A 、B 、C ；②A 、B 、E ；③A 、B 、D ；④A 、D 、E ；⑤B 、C 、D ；⑥B 、D 、E .
将①、②、③、④四种情况(都含A 点) 的三点坐标分别代入y ＝a (x －1) 2＋k (a ＞0) ，解得：①无解；②无解；③a ＝－1，与条件不符，舍去；④无解.
所以A 点不可能在抛物线y ＝a (x －1) 2＋k (a ＞0) 上. 【法二】∵抛物线y ＝a (x －1) 2＋k (a ＞0) 的顶点为(1，k )
假设抛物线过A (1，0) ，则点A 必为抛物线y ＝a (x －1) 2＋k (a ＞0) 的顶点，由于抛物线的开口向
上且必过五点A 、B 、C 、D 、E 中的三点，所以必过x 轴上方的另外两点C 、E ，这与(1)矛盾，所以A 点不可能在抛物线y ＝a (x －1) 2＋k (a ＞0) 上 (3)Ⅰ. 当抛物线经过(2)中⑤B 、C 、D 三点时，则 ⎧a +k =-1⎧a =1
，解得⎨ ⎨
⎩4a +k =2⎩k =-2
33⎧⎧
a =a =⎪⎪⎧a =1⎪⎪88Ⅱ. 当抛物线经过(2)中⑥B 、D 、E 三点时，同法可求：⎨∴⎨或⎨
k =-21111⎩⎪k =-⎪k =-
⎪⎪8. 8. ⎩⎩
3、解：(1)∠A =600，A C=6
(2)如图，依题意：B C=60×0.5=30(海里) ∵CD ∥B E ， ∴∠DC B +∠C B E=1800 ∵∠DC B =300，∴∠C B E=1500 ∵∠AB E=750。∴∠AB C=750，∴∠A =450 在△AB C 中= 即 0 = 0 解之得：AB =156………………2分 答：货轮距灯塔的距离AB =156海里
4、答案：(1)l 12=A C 2=AB 2+B C 2=52+π2=25+π2，l 22=(AB +A C) 2=(5+2)2=49. ∵l 12
(2)l 12=A C 2=AB 2+B C 2 =h 2+(πr ) 2， l 22=(AB +B C) 2 =(h +2r ) 2 l 12 －l 22 = h 2+(πr ) 2 －(h +2r ) 2=r (π2r －4r －4h )=r [(π2－4) r －4h ] 当r =
4h
AB
sin ∠ACB BC sin ∠A AB sin 6030sin 45
π2-4
时，l 12 = l22 当r >
4h
π2-4
时，l 12 > l22 当r
4h
π2-4
时，l 12
5、解：解答过程不正确
△=－k 2+4k －8=－(k 2－4k +8)=－[(k －2) 2－4+8] =－(k －2) 2－4 ∵(k －2) 2≥0， ∴－(k －2) 2≤0， ∴－(k －2) 2－4
6、答案：解：(1)4－－－－－－－3(n －3) －3+(n －4)=4(n －4) 5－－－－－－－－4(n －4) －4+(n －5)=5(n －5) n －－－－－－－－0 (2)y =x (n －x )
(3)当n =18时，y =x (18－x )= －x 2= －(x －9) 2+81
当x =9时，y 取最大值，所以列车在第9个车站启程时，邮政车厢上的邮包个数最多。
7、答案：解：(1)x +
n (n +1)
=2n +1 x 1=n , x 2=n +1 x
(2)x -1+
n (n +1)
=n +n +1 x -1
由(1)得x -1=n , x -1=n +1 ∴x 1=n +1 x 2=n +2
经检验，x 1=n +1，x 2=n +2是原方程的解 8、【答案】（1）-1
(2)解：设y =x 2-1，则y 是x 的二次函数．
a =1>0，∴抛物线开口向上．
又 当y =0时，x 2-1=0，解得x 1=-1，x 2=1．
-1
∴由此得抛物线y =x -1的大致图象如图所示．
观察函数图象可知：当x 1时，y >0．
2
∴x 2-1>0的解集是：x 1．
9、【答案】（
==
===
(2)原式
+…
++…+
．