2015年上海市高考数学试卷（理科）
一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分． 1．（4分）（2015•上海）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x ≤3}，则Α∩∁U Β=．
2．（4分）（2015•上海）若复数z 满足3z+=1+i，其中i 是虚数单位，则z=．
3．（4分）（2015•上海）若线性方程组的增广矩阵为
解为
，则c 1﹣
c 2= ． 4．（4分）（2015•上海）若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为16
2
，则a=．
5．（4分）（2015•上海）抛物线y =2px（p ＞0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则
p=． 6．（4分）（2015•上海）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ．
7．（4分）（2015•上海）方程log 2（9﹣5）=log2（3﹣2）+2的解为 ． 8．（4分）（2015•上海）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）． 9．（2015•上海）已知点 P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线C 1和C 2．若C 1的渐近线方程为y=±为 ．
10．（4分）（2015•上海）设f （x ）为f （x ）=2+f（x ）的最大值为 ．
11．（4分）（2015•上海）在（1+x+
）的展开式中，x 项的系数为 （结
10
2
﹣1
﹣1
x ﹣1x ﹣1
x ，则C 2的渐近线方程
x ﹣2
+，x ∈[0，2]的反函数，则y=f（x ）
果用数值表示）． 12．（4分）（2015•上海）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若
随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 E ξ1﹣E ξ2=（元）．
13．（4分）（2015•上海）已知函数f （x ）=sinx．若存在x 1，x 2，…，x m 满足0≤x 1＜x 2＜…
*
＜x m ≤6π，且|f（x 1）﹣f （x 2）|+|f（x 2）﹣f （x 3）|+…+|f（x m ﹣1）﹣f （x m ）|=12（m ≥12，m ∈N ），则m 的最小值为 ．
14．（2015•上海）在锐角三角形 A BC中，tanA=，D 为边 BC 上的点，△A BD与△ACD 的面积分别为2和4．过D 作D E⊥A B于 E ，DF ⊥AC 于F ，则
•
= ．
二、选择题（本大题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．（5分）（2015•上海）设z 1，z 2∈C ，则“z 1、z 2中至少有一个数是虚数”是“z 1﹣z 2是虚数”
16．（5分）（2015•上海）已知点A 的坐标为（4，1），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转至
OB ，则点B 的纵坐标为（ ） 17．（2015•上海）记方程①：x +a1x+1=0，方程②：x +a2x+2=0，方程③：x +a3x+4=0，其中a 1，a 2，a 3是正实数．当a 1，a 2，a 3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实
18．（5分）（2015•上海）设 P n （x n ，y n ）是直线2x
﹣y=
（n ∈N ）与圆x +y=2在第一
*
2
2
2
2
2
象限的交点，则极限=（ ）
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19．（12分）（2015•上海）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=1，AB=AD=2，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，证明A 1、C 1、F 、E 四点共面，并求直线CD 1与平面A 1C 1FE 所成的角的大小．
20．（14分）（2015•上海）如图，A ，B ，C 三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为f （t ）（单位：千米）．甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时．乙到达B 地后原地等待．设t=t1时乙到达C 地． （1）求t 1与f （t 1）的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t 1≤t ≤1时，求f （t ）的表达式，并判断f （t ）在[t1，1]上的最大值是否超过3？说明理由．
21．（14分）（2015•上海）已知椭圆x +2y=1，过原点的两条直线l 1和l 2分别于椭圆交于A 、B 和C 、D ，记得到的平行四边形ABCD 的面积为S ．
（1）设A （x 1，y 1），C （x 2，y 2），用A 、C 的坐标表示点C 到直线l 1的距离，并证明S=2|x1y 2﹣x 2y 1|；
（2）设l 1与l 2的斜率之积为﹣，求面积S 的值．
22．（16分）（2015•上海）已知数列{an }与{bn }满足a n+1﹣a n =2（b n+1﹣b n ），n ∈N ． （1）若b n =3n+5，且a 1=1，求数列{an }的通项公式； （2）设{an }的第n 0项是最大项，即a
n
*
*
2
2
≥a n （n ∈N ），求证：数列{bn }的第n 0项是最大项；
*
（3）设a 1=λ＜0，b n =λ（n ∈N ），求λ的取值范围，使得{an }有最大值M 与最小值m ，且∈（﹣2，2）．
23．（18分）（2015•上海）对于定义域为R 的函数g （x ），若存在正常数T ，使得cosg （x ）是以T 为周期的函数，则称g （x ）为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期．已知f （x ）是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R ．设f （x ）单调递增，f （0）=0，f （T ）=4π． （1）验证g （x ）=x+sin是以6π为周期的余弦周期函数；
（2）设a ＜b ，证明对任意c ∈[f（a ），f （b ）]，存在x 0∈[a，b ]，使得f （x 0）=c；
（3）证明：“u 0为方程cosf （x ）=1在[0，T ]上得解，”的充分条件是“u 0+T为方程cosf （x ）=1在区间[T，2T ]上的解”，并证明对任意x ∈[0，T ]，都有f （x+T）=f（x ）+f（T ）．
2015年上海市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．
1．（4分）（2015•上海）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x ≤3}，则Α∩∁U Β=．
2．（4分）（2015•上海）若复数z 满足3z+=1+i，其中i 是虚数单位，则z= ．
3．（4分）（2015•上海）若线性方程组的增广矩阵为解为
，则c 1﹣c 2=．
4．（4分）（2015•上海）若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为16，则a=．
5．（4分）
（2015•上海）抛物线y =2px（p ＞0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p=
． 2
6．（4分）（2015•上海）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为
．
7．（4分）（2015•上海）方程log 2（9﹣5）=log2（3﹣2）+2的解为 2 ．
x ﹣1x ﹣1
8．（4分）（2015•上海）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 120 （结果用数值表示）．
9．（2015•上海）已知点 P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线C 1和C 2．若C 1的渐近线方程为y=±x ，则C 2的渐近线方程为
．
10．（4分）（2015•上海）设f （x ）为f （x ）=2
﹣1
﹣1
x ﹣2
+，x ∈[0，2]的反函数，则y=f（x ）
+f（x ）的最大值为 4 ．
10
2
11．（4分）（2015•上海）在（1+x+）的展开式中，x 项的系数为 45 （结果用
数值表示）．
12．（4分）（2015•上海）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 E ξ1﹣E ξ2=．
13．（4分）（2015•上海）已知函数f （x ）=sinx．若存在x 1，x 2，…，x m 满足0≤x 1＜x 2＜…
*
＜x m ≤6π，且|f（x 1）﹣f （x 2）|+|f（x 2）﹣f （x 3）|+…+|f（x m ﹣1）﹣f （x m ）|=12（m ≥12，m ∈N ），则m 的最小值为 8 ．
14．（2015•上海）在锐角三角形 A BC中，tanA=，D 为边 BC 上的点，△A BD与△ACD 的面积分别为2和4．过D 作D E⊥A B于 E ，DF ⊥AC 于F ，则•= ﹣ ．
二、选择题（本大题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．（5分）（2015•上海）设z 1，z 2∈C ，则“z 1、z 2中至少有一个数是虚数”是“z 1﹣z 2是虚数”
16．（5分）（2015•上海）已知点A 的坐标为（4，1），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）
17．（2015•上海）记方程①：x +a1x+1=0，方程②：x +a2x+2=0，方程③：x +a3x+4=0，其中a 1，a 2，a 3是正实数．当a 1，a 2，a 3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实
222
18．（5分）（2015•上海）设 P n （x n ，y n ）是直线2x ﹣y=
（n ∈N ）与圆x +y=2在第一
*
2
2
象限的交点，则极限=（ ）
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19．（12分）（2015•上海）如图，在长方体ABCD ﹣A
1B 1C 1D 1中，AA 1=1，AB=AD=2，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，证明A 1、C 1、F 、E 四点共面，并求直线CD 1与平面A 1C 1FE 所成的角的大小．
20．（14分）（2015•上海）如图，A ，B ，C 三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为f （t ）（单位：千米）．甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时．乙到达B 地后原地等待．设t=t1
时乙到达C 地． （1）求t 1与f （t 1）的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t 1≤t ≤1时，求f （t ）的表达式，并判断f （t ）在[t1，1]上的最大值是否超过3？说明理由．
21．（14分）（2015•上海）已知椭圆x +2y=1，过原点的两条直线l 1和l 2分别于椭圆交于A 、B 和C 、D ，记得到的平行四边形ABCD 的面积为S ． （1）设A （x 1，y 1），C （x 2，y 2），用A 、C 的坐标表示点C 到直线l 1的距离，并证明S=2|x1y 2﹣x 2y 1|；
（2）设l 1与l 2的斜率之积为﹣，求面积S 的值．
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22．（16分）（2015•上海）已知数列{an }与{bn }满足a n+1﹣a n =2（b n+1﹣b n ），n ∈N ． （1）若b n =3n+5，且a 1=1，求数列{an }的通项公式； （2）设{an }的第n 0项是最大项，即a
n
*
*
≥a n （n ∈N ），求证：数列{bn }的第n 0项是最大项；
*
（3）设a 1=λ＜0，b n =λ（n ∈N ），求λ的取值范围，使得{an }有最大值M 与最小值m ，且∈（﹣2，2）．
23．（18分）（2015•上海）对于定义域为R 的函数g （x ），若存在正常数T ，使得cosg （x ）是以T 为周期的函数，则称g （x ）为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期．已知f （x ）是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R ．设f （x ）单调递增，f （0）=0，f （T ）=4π． （1）验证g （x ）=x+sin是以6π为周期的余弦周期函数；
（2）设a ＜b ，证明对任意c ∈[f（a ），f （b ）]，存在x 0∈[a，b ]，使得f （x 0）=c；
（3）证明：“u 0为方程cosf （x ）=1在[0，T ]上得解，”的充分条件是“u 0+T为方程cosf （x ）=1在区间[T，2T ]上的解”，并证明对任意x ∈[0，T ]，都有f （x+T）=f（x ）+f（T ）．