浅议直线斜率公式的应用
贵州省岑巩县第一中学 蒋世军
摘要：直线是一种简单的几何图形，而斜率是直线的本质属性，它直观反映了一条直线的倾斜程度。直线的斜率公式是平面解析几何中的重要公式，也是高中数学的一个重要知识点。在新课标和考试说明中都有较高的要求，由于斜率公式与代数中的分式在结构上有密切的联系。所以它除了直接用来求直线方程，求直线的斜率外，还可以用来解决其他一些问题。如求分式函数的值域（最值），解决数列有关问题，以及不等式的有关问题等-----都可借助斜率的几何意义，巧妙的解决。
关键词：直线 斜率公式 应用
下面就问题举例说明：
一、求直线的倾斜角
例1：已知直线l 1经过两点A(－23，1) 、B (6，－3) ，直线l 2的斜率为直线l 1的斜率的一半，求直线l 2的倾斜角θ.
分析：先利用过两点的斜率公式求l 1的斜率，再求得l 2的斜率，从而求得θ. 解：设直线l 1、l 2的斜率斜率分别为k 1、k 2，则 由已知可求得k 1=-23-6=-23，
1-(-)
∴k 2＝-3 即ta n θ＝－3，
2π 3
点评：经过两点的直线的斜率公式在解题中有广泛的应用，必须熟记并灵活应用. 根据斜率求倾斜角时，在tan θ＝k 中，θ的取值与k 的正负有关，当k ≥∵θ∈[0，＋∞) ∴θ＝
⎡π⎫⎛π⎫0时，θ∈⎢0, ⎪，当k ＜0时，θ∈ , π⎪，另外要注意斜率不存在时，直线的⎣2⎭⎝2⎭
倾斜角为π。 2
二、证三点共线
例2：求证：A(1，3) 、B （5，7）、C （10，12）三点在同一条直线上。 分析：要证A 、B 、C 三点共线，只需证直线AB,AC 的斜率相等。 证明：∵K AB =7-312-3=1 K AC ==1
5-110-1
∴K AB =K AC
又∵直线AB,AC 有共同的端点A 。
∴A 、B 、C 三点在同一条直线上。
例3：过抛物线焦点的一条直线与抛物线交于P 、Q 两点，自Q 点向抛物线的准线作垂线，垂足为Q ' ，求证：P Q ' 过抛物线的顶点。
证明：设抛物线方程为y=2px(p>0)，则焦点F 的坐标为（
为x=-P ,
2p ）, 0，准线方程2
可设过焦点F 的直线方程为x=my+P
2⎧y 2=2px 解方程组⎨p ⎩x =m y +2⇒y
2-2pmx -p 2=0解得
y 1=
(m -m 2+1) p y 2=(m +m 2+1) p x =-p
2
将y 1, y 2代入抛物线方程y 2=2px 得
(m -m 2+1) 2(m +m 2+1) 2
x 1=p x 2=p 22
p (m +m 2+1) 2
所以 P(p , (m +m 2+1) p ) Q 1(-, (m -m 2+1) p ) 22
因此k op =k oQ ' =-2(m -m 2+1)
所以P 、O 、Q 三点共线。
即直线P Q ' 过抛物线的顶点O 点。
评注：两直线AB 、AC 的斜率相等⇒A 、B 、C 三点共线；反过来，A 、B 、C 三点共线⇒两直线AB 、AC 三、求函数的值域（最值） 5sin θ+1例4：求函数y =的值域。 cos θ+2解：若将y 看成是动点M （cos θ，sin θ）和 定点A （-2，-1不妨设x=cosθ，y=sin θ 消去θ得
y 2
+x 2=1 5
（如右图）当MA 与椭圆相切时，得出斜率的最大值与最小值。令切线的斜率为k ，则切线的方程为：y +1=k (x +2)
将其方程与椭圆方程消去y 得：
(k 2+5) x 2+(4k 2-2k ) x +4k 2-4k -4=0 （*）
因此该方程的判别式∆=
(4k 2-2k ) 2-4(k 22 =-60k +80k +80=0
2 解得 k 1=-, k 2=2 32所以 函数y =5sin θ+1⎡2⎤的值域是⎢-, 2⎥cos θ+2⎣3⎦四、不等式证明和解不等式中的应用 例5：已知a 、b 、m 都是正数，并且a
a +m a > （旧人教版第二册6.3求证：12b +m b
a +m 分析：对问题我们可以把看成是经过P （b ，a ），Q （-m ，-m ）两点的b +m
直线的斜率。
a +m a 即k PQ = ，把看成是经过点P （b ，a ）、o （0,0）两点的直线的斜率。 b +m b
a -0a = 。即k po =（如图） b -0b
证明：如图， 0
a a +m PM ，则直线OP 的斜率为，直线PQ 的斜率为；因为直线PQ 的倾斜角大b b +m
于直线OP 的倾斜角。
a +m a > 所以b +m b
例6：关于x 的不等式2x -1>a (x -2) 的解集为R ，求a 的取值范围。
分析：令y 1=2x -1为斜率k 1=2直线方程，y 2=a (x -2) 是过点A （2,0）且斜率k 2=a的直线方程。由于不等式2x -1>a (x -2) 的解集为R 。即x ∈R 时，y 1>y 2
只能有k 1 = k2 即a = 2 。
解:略。
五、比较大小
ln 2ln 3ln 5, b =, c = 例7：若a =，则（ ） 235
A. B. C. D. （高考题）
ln x ln x -0=，表示函数y =ln x 的图象 x x -0
上的点（x ，y ）与坐标原点O 连线的斜率，如图 ， 解：因为
则 a =k OA b =k OB C =k OC
由图象可知：k O C
即，选C 。
x 说明：也可以考察函数y =ln x 的单调性，即利用它的导数来严格求解，
但对于选择题、填空题，用数形结合的思想将问题转化为过曲线y =ln x 上的点与原点的直线的斜率，问题便可直观、简捷地解出，但图形须相对准确。
六、构造直线斜率解决数列问题
数列是一种特殊函数，他的定义域是自然数集N 或N 的子集，任何一个数列都可以对应的“还原”为一个函数。从图像上看，表示数列的点在对应函数的图像上，高中教材中比较典型的等差数列的通项公式：a n =a 1+(n -1) d =dn +a 1-d ，若令y =a n , x =n ，则“还原”为一次函数y =kx +b 。其中斜率k =d ，截距b =a 1-d , 那么表示数列的点(n , a n ) 必在直线y =kx +b 上，这种“还原”就为我们用直线方式观察等差数列问题创造了条件。
例8：在等差数列{a n }中，a 3=6, a 8=21，求a 1及d 。
解：从函数的观点来看，在等差数列中，通项a n 是自变量n 的一次函数，则两点 和(8, a 8) ，即（3,6）和（8,21）都在一次函数所对应的直线上，（3，a 3）
直线斜率为
a -a 3k =8=3 8-3
由直线方程的点斜式可得：a n -6=3(n -3)
整理得：a n =3(n -1)
所以 a 1=0 d =3
总之，对直线斜率公式的应用比较广泛，仅从以上例题可以看出，运用直线斜率公式解决某些数学问题方便简捷。