8.3平面向量的分解定理
一、教学目标：
1．理解和掌握平面向量的分解定理；
2．掌握平面内任一向量都可以用两个不平行向量来表示；掌握基的概念，并能够用基表示平面内的向量；
3．根据学生已有的物理知识经验，在熟悉的问题情景中，体会研究向量分解的
必要性。
4．经历平面向量分解定理的探求过程，培养观察能力、抽象概括能力、交流合作能力、体会化归思想。. 二、教学重点及难点：平面向量分解定理的发现和形成过程；分解唯一性的说明。 三、教学过程：
一．复习：（1）向量的正交分解及向量i,j的线性组合（2）非零向量平行的充
要条件
二，引入: 利用学生已有的物理知识中力的合成和分解经验，体会研究向量分解
的必要性。
e2是同一平面内两个不平行的非零向量，a是该平面问题的提出：如果e1、
M 内的任意一个向量，我们研究向量a与e1、。e2的关系。
C
O
N
在平面上任取一点O，做OA=e1,OB=e2,OC=a，过点C作平行与直线OB的直线，与直线OA交于M，过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于N，由向量平行的充要条件可知，存在实数λ1、λ2使得OM=λ1e1,ON=λ2e2，由于
OC=OM+ON,所以a=λ1e1+λ2e2，那么如果给定平面上两个不平行的向量，
那么平面上任意一个向量是否都可以唯一地表示为这两个向量的线性组合呢？
→→→→
假设有两种方法：→
a=λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2
→→→→
(λ-μ)e+(λ-μ)e=0由于向量e，e非零且不平行
11122212
λ1-μ1=0，λ2-μ2=0λ1=μ1，λ2=μ2
三．平面向量分解定理
e2是同一平面内的两个不平行向量 那么对于这一平面内的任意向量 如果e1、
a
e2 ，使 a=λ1e1+λ2e2，有且只有一对实数 e1、
e2叫做这一平面内所有向量的一组基。 我们把不平行的向量e1、
思考：（1）一组平面向量的基有多少对？
(2)若基选取不同，则表示同一向量的实数λ1、λ2是否相同？
特别的，若 a = 0 ，则有且只有 ：λ1=λ2=0 可使0=0e1+0e2特别的，若a与e1(e2）共线，则有λ1=0（λ2=0），使得:
a=λ1e1+λ2e2
说明:
（1） 向量e1、e2是非零向量 （2） 向量e1、e2是不平行的向量
（3） e1、e2不一定垂直，也不一定是单位向量 四．例题讲解：
例1.下列各向量组中，能否作为表示它们所在平面内所有向量的基. (1)e=(1,2),e=(5,7)
(2)e1=(3,5),e2=(6,10)12
(3)e1=(-1,3),e2=(0,0)(4)e1=(2,0),e2=(-3,0)
例2.将图中的向量a分解为关于向量e1与e2的线性组合.
例3.已知e1=(3,-2)，e2=(-1,4)，a=(5,-1)，试将a分解为关于e1与e2的线性组合.
解：设a=λe+λe，
1122
即：(5,-1)=λ1(3,-2)+λ2(-1,4)
19⎧λ＝ ⎪110⎧5＝3λ1－λ2197
解得：则：⎨∴a=e+e2. ⎨17－1
＝－2λ＋4λ1010⎪λ2＝12⎩
10⎩
说明：当给出向量的坐标时，将一个向量分解成两个已知向量的线性组合用待定系数法。
b表示下列向量
例4.设正六边形ABCDEF中,AE=a,BC=b，用a、
(1)CD=a-b
D
(2)AB=2b-aA
(3)CE=2a-3b
练习1.任意四边形ABCD,M、N、P、Q分别是AB、BC、CD、DA的中点，
AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,求MN+QP已知 练习2.如图所示，已知a=OA,b=OB,c=OC若c=λa+μb(λ,μ∈R), 则ABC三点共线的充要条件是λ+μ=1
五．小结：
1、平面向量分解定理： 2、对分解定理的理解：
（1）实数对λ1、 λ２的存在性和唯一性 （2）基的不唯一性
（3）能够在具体问题中适当的选取基，使其他向量都能够用基来表达。