《平面向量》
一、平面向量在教材中的地位和作用
1、 地位
（1）改变传统教材结构
在几十年来的国内外数学教育改革中，向量进入中学是一个重要的特征。平面向量的集中讲授，在我国高中数学教材中是首次，其目的之一是系统地学习向量知识，目的之二是以向量知识作为工具，改变传统的综合几何、平面三角等内容的讲法。向量、向量的加法与减法在传统教材的复数中讲授，线段的定比分点、平面两点间的距离、平移在传统教材在解析几何中讲授，正弦定理、余弦定理在传统教材的三角中讲授，新教材把这些内容糅合到一章。用向量的观点来处理，大大地改变了传统教材的编排体系。
按照新教材的编排体系，平面向量作为工具性内容在安排上尽量提前。由于介绍向量的数量积要用到有关三角知识，因此将平面向量安排在紧随三角函数之后作为第五章。又由于讲斜三角形解法可以用到平面向量，新教材又作了将斜三角形解法移入平面向量这一章的调整。需要指出的是，在平面向量这章还运用向量方法解决了解析几何入门的有关知识，为学习解析几何做好了准备。同时，在后续的第七章直线与圆的部分向量知识立刻就能应用，在学习立体几何之后安排空间向量，让向量的应用得到完善和深化。这样的安排是科学的、合理的。
（2）改变传统教材内容
用向量的观点来处理，由于向量具有几何形式与代数形式的双重身份，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介。因此，向量的引入不仅使高中数学教材采取混编体系成为一件别无选择的事，而且使它在研究其它许多问题时获得了广泛的应用。新高中数学课程为了有利于精简教学内容，提高教学效益，有利于加强数学各部分内容的相互联系与知识的综合运用，将代数、几何等内容综合编排。向量的引入，使高中数学各部分内容的联系加强了；使高中教学内容与大学内容衔接更加紧密。
2、作用
（1）工具性和方法性
向量带有基础知识的特点，是一种工具性和方法性知识。向量有一套优秀的运算系统，由于它提供的向量法、坐标法，使其成为研究高中数学的重要方法。纵观平面向量这一章，如果除去应用性知识，纯属向量知识约占10课时，教材上大量的篇幅是突出向量的应用，突出向量的工具性和方法性。例如用向量方法推出线段定比分点坐标公式、平面上两点间距离公式、平移公式、正弦定理、余弦定理，而且与物理学中力学等内容的学习相互呼应。在后续的解析几何、立体几何、复数等内容的学习中，向量仍将继续发挥其重要作用。仅花费10课时的代价换来这么大的效益是十分合算的。
向量有一套优良的运算系统，几何中有关长度、角度的计算，平行、垂直的判定与证明，很多场合下都可以化归为向量的运算来完成，教材中正弦定理、余弦定理的证明、定比分点坐标公式的导出，就是这方面典型的例子。这些体现了数学中化归和数形结合的思想。
向量“形”、“数”兼备，是数形结合的桥梁。在引进向量知识时，教材充分运用几何图形直观的特点，而在解决几何问题时，又注意充分运用向量法与坐标法，处处渗透了数形结合的思想。
（2）沟通代数与几何
向量是除函数外的另一条主线，使几何代数化、符号化、形式化。向量是近代数学中重要和基础的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角的工具。新教材引进向量，充分体现了新课程理念。由于它的引入，使几何与代数变得更加紧密，一维二维和三维过度更加顺畅；有效克服了繁琐和技巧导致的“双基异化”。它是知识、是方法、是思想。
（3）突出新教材的理念„„注重应用
向量的概念是从生活实践中抽象出来的，反过来又成为解决物理学和工程技术中有关问题的重要工具。教材中十分注重理论和实际的结合，更加注重应用。用例如从速度、位移、力、加速度等引进向量的概念，从力做功引入向量的数量积。关于向量应用的实例课本上比比皆是，涉及到力、速度的分解与合成，各种测量问题，工程技术中的曲柄连杆机构问题等等。课本上还安排了有关实
习作业。值得一提的是，教材在本章结束时安排了一个研究性课题——向量在物理中的应用，要求将物理问题转化为数学问题，即把物理量之间的关系抽象为数学模型，然后再通过对这个数学模型的研究来解释日常生活中相关的物理现象，这已经不是将数学知识简单地套用到实际问题中，而是充分体现了数学应用的内涵和它的深刻性，并能有力地培养同学们的应用能力和探索能力。
二、主要内容及知识体系
向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题。
向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用。因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等。之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标) 的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法。
本章共分两部分。第一部分是“向量及其运算”；内容包括向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积、平面向量的坐标运算；线段的定比分点、平面向量的数量积及运算律、平面向量数量积的坐标表示、平移等。
第二部分是“解斜三角形”；这一部分可以看成是向量知识的应用，内容包括正弦定理、余弦定理，解斜三角形应用举例和实习作业等。
正弦定理、余弦定理是关于任意三角形边角之间关系的两个重要定理，教科书通过向量的数量积把三角形的边与角联系起来，推导出了这两个定理，并运用这两个定理初步解决了测量、工业、几何等方面的实际问题，特别在这部分一中，还安排了一个实习作业，从而使学生进一步了解数学在实际中的应用，激发学生学习数学的兴趣，培养学生由实际问题抽象出数学问题并加以解决的能力。
为扩大学生的知识面，本章中还安排了两个阅读材料，即“向量的三种类型”和“人们早期怎样测量地球的半径”。
本章重点：向量的概念，向量的几何表示和坐标表示，向量的线性运算，平面向量的数量积，线段的定比分点和中点坐标公式，平移公式，解斜三角形等。
本章的难点：向量的概念，向量运算法则、平面向量基本定理的理解和运用、解斜三角形等。 本章的主要内容：向量的概念，运算及其坐标表示，线段的定比分点，平移、正弦定理、余弦定理及其在解斜三角形中的应用。知识体系如下图所示：
三、向量在高考中的地位
1、 高考必考内容
每年高考都有不同程度的试题，04年广东试题占20%。随着使用新教材的深入，必将成为一个考试的亮点或热点。分析05年高考试题，对向量的考查开始横向发展，突出其工具性和方法性特征。
2、命题变化趋势
2000年——考查向量基本概念，定比分点公式。
2001年——考查向量坐标运算，向量的数量积。
2002年——考查向量坐标运算，基本出现向量与数列的综合。
2003年——考查向量与平面几何的综合，向量与解析几何的综合。
2004年――考查向量夹角计算，求向量的长度。
2005年――考查向量的基本运算及应用向量知识解决数学问题的能力。
几年的命题体现了平面向量考查的三个层次
第一层次：主要考查平面向量的性质和运算法则，以及基本运算技能，数乘要求考查掌握平面向量的和、差、数乘和内积的运算法则。理解其直观的几何意义，并能正确地进行运算。（2000年考题）
第二层次：主要考查平面向量的坐标表示，向量的线性运算。
第三层次：和其它数学内容结合在一起，如同曲线、数列三角等知识相结合，考查逻辑推理能力和运算能力综合运用数学知识解决问题的能力。
四、几点建议
(1) 把握好本章教学的要求
由于这一章是新内容，因此教学时，一定要把握好教学要求，按大纲的规定，我们把这一章知识点归类如下:
应了解的内容：共线向量的概念，平面向量的基本定理，用平面向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题。
应理解的内容：向量的概念，两个向量共线的充要条件，平面向量坐标的概念。
应掌握的内容：向量的几何表示，向量的加法与减法，实数与向量的积，平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及几何意义，向量垂直的条件，平移公式。
会运用的内容：线段的定比分点和中点坐标公式，正弦定理，余弦定理，斜三角形的计算问题，及通过解三角形应用的教学，继续提高学生解决实际问题的能力。
教学时，一定要突出重点、抓住关键、解决难点，以保证这一章的教学顺利。
（2）重视本章的教学，充分认识它的重要性
由于这一章是为以后学习解析几何和立体几何作准备的，所以教学时，一定要让学生学好这一章的知识。而对于基本技能和能力，要遵循学生的认识规律，结合教学内容，选择合适的教学方法，有目的、有计划、分阶段地进行训练和培养。要随着学生对基础知识的理解的不断加深，逐步提高对基本技能和能力的要求，培养学生独立获取新知识和正确运用数学语言进行数学交流的能力。
（3）重视向量的工具性和方法性特征
平面向量由于具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介, 在高中数学教学内容中有广泛的应用。这一章教科书注意突出向量的工具性和方法性，很多公式都用向量来推导，如线段的定比分点公式、平面两点间距离公式、平移公式及正弦定理、余弦定理等。
（4）注意处理好新旧思维矛盾
学习向量运算与学习数的运算有类似之处：从学习顺序上看，都是先定义运算，再研究运算性质；从学习内容来看，向量运算具有与数的运算类似的良好性质。当引入向量后，运算对象扩充了，不仅仅是数的运算了，向量运算是建立在新的运算法则上，向量的运算与实数的运算不尽相同，向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围
内不都适用，它有一套自己的运算法则。但很多学生往往完全照搬数的运算法则，而不注意向量运算法则的特点，因此常常出错。
在教学中要注意新旧知识之间的矛盾冲突，及时让学生加以辨别、总结，利于正确理解向量的实质。例如向量的加法与向量模的加法的区别，向量的数量积与实数积的区别，在坐标表示中两个向量共线与垂直的充要条件的区别等等。
(5)注意数学思想方法的渗透
在这一章中，从引言开始，就注意结合具体内容渗透数学思想方法。例如，从帆船在大海中航行时的位移，渗透数学建模的思想。通过介绍相等向量及有关作图的训练，渗透平移变换的思想。
由于向量具有两个明显特点——“形”的特点和“数”的特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁，向量的坐标实际是把点与数联系了起来，进而可把曲线与方程联系起来，这样就可用代数方程研究几何问题，同时也可以用几何的观点处理某些代数问题，因此这部分知识还渗透了数形结合的解析几何思想。
附：聚焦2005年高考数学平面向量的“交汇性”
向量是新课程新增内容，具体代数与几何形式的双重身份，它有着极其丰富的实际背景，用向量证明几何中有关平行、共线和垂直的命题，用向量计算角度和距离，用向量表示点的轨迹，以及用向量处理三角恒等变形，证明不等式，求解函数的最值，较之传统方法更为简捷。
作为中学数学的一个新的知识“交汇点”，向量与三角函数、解析几何、数列、不等式的综合题成为各类考试中考查的一个新热点。本文将该部分2005年高考试题作一归纳总结，供参考。
1、平面向量与函数的交汇
例1．（2005年上海市高考数学试题）已知函数f (x ) =kx +b 的图象与x , y 轴分别相交于点A 、B ，AB =2i +2j （i , j 分别是与x , y 轴正半轴同方向的单位向量），函数g (x ) =x 2-x -6。
（1） 求k , b 的值；（2）当x 满足f (x ) >g (x ) 时，求函数g (x ) +1的最小值。
f (x )
分析：向量的方向向量实际上它是继直线的斜率、倾斜角以后的第三个表示直线方向的等重要概念。要学会并善于运用它来求解.
解：（1）由已知得A (-b b b , 0), B (0, b ), 则={, b } 于是 ⎧⎪⎨k k k =2,
⎪⎩b =2⎧k =1 ∴⎨. ⎩b =2
2（2）由f (x ) >g (x ), 得x +2>x -x -6, 即 (x +2)(x -4)
g (x ) +1x 2-x -51==x +2+-5, 由于
f (x ) x +2x +2x +2>0, 则g (x ) +1≥-3，其中等号当且仅当f (x )
x +2=1，即x =－1时成立，∴g (x ) +1时的最小值是－3.
f (x )
例2（2005年湖北省高考数学试题）已知向量=(x 2, x +1), =(1-x , t ), 若函数f (x ) =⋅在区间（－1，1）上是增函数，求t 的取值范围.
分析：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、利用导数研究函数的单调性，以及运用基本函数的性质分析和解决问题的能力.
解：依定义f (x ) =x (1-x ) +t (x +1) =-x +x +tx +t , 则f '(x ) =-3x +2x +t . 2322
若f (x ) 在(-1, 1) 上是增函数, 则在(-1, 1) 上可设f '(x ) ≥0.
∴f '(x ) ≥0⇔t ≥3x 2-2x , 在区间(-1, 1) 上恒成立, 考虑函数g (x ) =3x 2-2x ,
1由于g (x ) 的图象是对称轴为x =, 开口向上的抛物线， 3
故要使t ≥3x 2-2x 在区间（－1，1）上恒成立⇔t ≥g (-1), 即t ≥5.
而当t ≥5时, f '(x ) 在(-1, 1) 上满足f '(x ) >0, 即f (x ) 在(-1, 1) 上是增函数.
故t 的取值范围是t ≥5.
评注：利用向量的数量积可以把问题转化为代数表达形式，即而运用代数方法——高次求导法、二次判别式法、配方法、均值不等式法求解.
2、平面向量与不等式的交汇
例3．（2005年浙江省高考试题）已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则（ ）
(A) a ⊥e (B) a ⊥(a －e ) (C) e ⊥(a －e ) (D) (a ＋e ) ⊥(a －e )
解：对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，故两边平方得：
a -2t ⋅a c +t ≥a -2⋅a c +1, 222即：t 2-2t ⋅a c +2t ⋅a c -1≥0
22又上式对任意t ∈R ，恒成立，即有：∆≤0恒成立. 即∆=4（a c ）-（42a c -1）=（4a c -1）≤0
故当a c =1时，上式成立，本题应选C 。
例4．(2005年江西省高考试题) 在△OAB 中，O 为坐标原点，A (1, cos θ), B (sinθ, 1), θ∈(0, 则当△OAB 的面积达最大值时，θ=（ D ）
A ．π2]，ππππ B． C． D． 6432
122解：a b =sin θ+cos θ，∴（a b ）=1+sin 2θ，且（|a |||b |）
=（1+
cos 2θ）（1+sin2θ）=2+sin 22θ 4
由三角形面积公解式：S === （0]，∴sin 2θ∈[0，1]，故当θ=又θ∈2ππ2时，S 最大. 应选（D ）.
3、向量与三角的交汇
向量与三角的交汇就是当今高考命题的一个热点. 它常常包括向量与三角函数化简、求值与证
明的交汇、向量与解三角形的交汇、向量与三角函数的图象与性质的交汇等几个方面.
例5．（2005年山东省高考试题）．已知向量m =
(cosθ,sin θ) 和n =sin θ
,cos θ, θ∈(π,2π)，)
且m +n =⎛θ
π⎫求cos +⎪的值. ⎝28⎭
解: ∵m +n =cos θ-sin θ+
θ+sin θ
∴ m +n =()
由已知m +n =π⎫π, 得⎛π⎫72θ⎛cos θ+⎪=又cos θ+⎪=2cos (+) -1 4⎭284⎭25⎝⎝
16 ∴θ∈25cos 2(θ
2+
+π8) =(π,2π) ∴ 5π8
⎝2 ∴ cos ⎛θ+π⎫=-4
评注：本题是以向量的模为背景，结合三角函数化简求值等有关知识进行考查。 例6．（2005年天津市高考试题）在直角坐标系xOy 中，已知点A (0，1) 和点B (-3，4) ，若点C 在∠AOB 的平分线上且| OC | = 2，则OC = __________。 解：设OC =(2cos θ,2sin θ)，则θ的终边在第2象限，即sin θ>0且cos θ
π⎛4⎫⎤1⎛3π4⎫ 又θ=1⎡+π-arctan =-arctan ⎪ ⎪2⎢23⎥223⎣⎝⎭⎦⎝⎭
4⎫4⎫41⎛3π⎛-arctan ⎪
=1-sin arctan ⎪=1-= 由 cos2θ=2cos 2θ-1，得2cos 2θ=1-cos 3⎭3⎭
55⎝2⎝
所以：cos 2θ=19⇒cos θ=
θ=，sin 2θ
= 1010
⎝⎝⎭. 得：OC =(2cos θ,2sin θ)=⎛=⎛ 4、向量与解析几何的交汇
以解几为知识为载体，以向量为工具，以考查圆锥曲线性质和向量有关公式、性质及应用为目标的平面向量与解析几何的交汇试题是近几年高考试题的一个热点.
例7．（2005年全国卷Ⅰ文科试题）已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OA +OB 与a =(3,-1) 共线。
22（Ⅰ）求离心率（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且OM =λOA +μOB (λ, μ∈R ) ，证明λ+μ为
定值。
（I ）略解：离心率e=c 6. =a 3
a b 22（II ）证明：（1）知a 2=3b 2，所以椭圆x +y =1可化为x 2+3y 2=3b 2. 22
设=(x , y ) ，由已知得(x , y ) =λ(x 1, y 1) +μ(x 2, y 2),
⎧x =λx 1+μx 2, M (x , y ) 在椭圆上，∴(λx +μx ) 2+3(λy +μy ) 2=3b 2. ∴⎨1212⎩y =λx 1+μx 2.
222即λ2(x 1+3y 12) +μ2(x 2+3y 2) +2λμ(x 1x 2+3y 1y 2) =3b 2. ①
2222由（1）知 x 1+x 2=3c , a 2=3c 2, b 2=1c 2. x 1x 2=a c -a b =3c 2 22222a +b 8
x 1x 2+3y 1y 2=x 1x 2+3(x 1-c )(x 2-c ) =4x 1x 2-3(x 1+x 2) c +3c 2=3292c -c +3c 2=0. 22
22222又x 2，代入①得λ2+μ2=1. 故λ2+μ2为定值，定值为1. +3y =3b , x +3y =3b 1122
例8．（2005年福建省高考试题）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为(3, 0)
（1）求双曲线C 的方程；
（2）若直线l :y =kx +2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且⋅>2（其中O 为原点）. 求k 的取值范围.
分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，可以设法得到关于k 的不等式，通过解不等式求出k 的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将k 表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出k 的范围。
2解：（Ⅰ）略解：双曲线C 的方程为x -y 2=1.
3
（Ⅱ）将y =kx +2代入22x 2
-y 2=1得 (1-3k ) x 3-62kx -9=0.
即由直线l 与双曲线交于不同的两点得
1且k 2
32⎧⎪1-3k ≠0, ⎨222⎪⎩∆=(62k ) +36(1-3k ) =36(1-k ) >0. k 2≠
设A (x A , y A ), B (x B , y B ) ，则
x A +x B =62k -9, x A x B =, 由⋅>2得x A x B +y A y B >2, 221-3k 1-3k
而x A x B +y A y B =x A x B +(kx A +2)(kx B +2) =(k 2+1) x A x B +2k (x A +x B ) +2
=(k 2-9+1) +1-3k 262k 3k 2+7 2k +2=. 1-3k 23k 2-1
22于是3k +7>2, 即-3k +9>0, 解此不等式得： 1
223k -13k -13
由①、②得 1
333
本题通过平面向量的数量积与解析几何的交汇知识点，形成一求解参数k 的取值范围的综合题，它既考查了平面向量的概念和运算，也考查了解析几何中的有关直线与圆锥曲线的相关问题。.
5、平面向量与平面几何的交汇
平面向量与平面几何的交汇试题，既考查平面向量的概念与运算，也考查了平面几何知识，同时考查了向量知识在平面几何问题中的运用.
例9．（2005年湖南省高考试题）P 是△ABC 所在平面上一点，若
⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（ ）
A ．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
解：由条件⋅=⋅=⋅知：PB (PA -PC ) =PB CA =0;
PC (PB -PA ) =PC AB =0，故PB ⊥CA PC ⊥AB ，P 为P 是△ABC 的垂心.
例10．（2005年江苏省高考试题）在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM ＝2，则OA （OB +OC ）的最小值是解：如图，设|OA |=x , 则|OM |=2-x ，（ 0≤x ≤2）
M 为BC 的中点，∴OB +OC =2OM ，
∴OA （OB +OC ）=OA 2OM =2（x 2-x ）cos180︒
=2x -4x =（2x -1）-（20≤x ≤2）22∴当x =1时，取最小值-2. 例11图
6、平面向量与导数的交汇
向量、导数都是新课程新增内容，它们都是重要的解题工具。同时又是新旧知识的一个重要的交汇点.
例11．（2005年江西理科试题）
已知向量
x x πx πx πa =(2cos, tan(+)), b =+), tan(-)), 令f (x ) =a ⋅b . 是否存在实数2242424
x ∈[0, π],使f (x ) +f '(x ) =0(其中f '(x ) 是f (x ) 的导函数) ? 若存在，则求出x 的值；若不存
在，则证明之.
解：f (x ) =⋅=22
cos x x πx πx
πsin(+) +tan(+) tan(-
) 2242424
1+tan x x tan -1x x x ⋅=+) + 2221-tan 1+tan 22
x x x =2sin cos +2cos 2-1=sin x +cos x 222
令f (x ) +f '(x ) =0, 即:f (x ) +f '(x ) =sin x +cos x +cos x -sin x =2cos x =
可得x =π
2, 所以存在实数x =π
2∈[0, π],使f (x ) +f '(x ) =0.
7、平面向量与学科外的交汇
例12．(2005年全国卷Ⅱ高考试题) 点P 在平面上作匀速直线运动, 速度向量ν=(4,-3) (即点P 的运动方向与v 相同, 且每秒移动的距离|v |个单位). 设开始时点P 的坐标为(－10,10), 则5秒后点P 的坐标为（ ）
(A)(-2,4) (B)(-30,25) (C)(10,-5) (D)(5,-10)解：设5秒后点P 的坐标为P 0（x 0，y 0），则x 0=-10+20=10，y 0=10+（-3）×5=-5，故选C 。
以上是一家之言，仅供参考，敬请批评指证。