立体几何中的外接内切球
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上,那么称这个多面体是球的内接多面体,这个球称为多面体的外接球。有关多面体外接球的问题,是立体几何的一个重点,也是高考考查的一个热点。考查学生的空间想象能力及归纳能力。研究多面体的外接球问题,既要运用多面体的知识,又要运用球的知识。并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系,而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作业。本专题主要讨论补形法和轴截面法。
补形法:情况一:若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别为a、b、c,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体,于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R,
则有2R
情况二:若出现对边相等,一般也是构造长方体,再利用2R类题重点要找出a,b,c三边。
例1:已知点A、B、C、D在同一个球面上,
AB平面BCD,BCDC,若AB6,AC2,AD8,则外接球的体积是______ 。
例2.如图,已知球O点面上四点A、B、C、D,DA平面ABC,ABBC,DA=AB=BC=3,则球O的体积等于___________。 D
解析:本小题主要考查球的内接几何体体积计算问题。其关键是找出球心,从而
确定球的半径。由题意,三角形DAC,三角形DBC都是直角三角形,且有公共斜边。所以DC边的中点就是球心(到D、A、C、B四点距离相等),所以球的半径就是线段DC长度的一半。
例3.在正三棱锥SABC中,M、N分别是棱SC、BC的中点,且MNAM,若侧棱SA2,则正三棱锥SABC外接球的表面积是( )
A.12 B.32 C.36 D.48
解析:正三棱锥对棱互相垂直,即ACSB,又SB∥MN,且MNAM, ∴
SBAM,从而SB面SAC. ∴BSA90,以S为顶点,将三棱锥补成一个正方体,故球的直径2R3SA,即R3,∴S4R236。 例4.在四面体ABCD中,ABCD6,ACBD4,ADBC5,则四面体
ABCD的外接球的表面积为________________.
【答案】解析:构造一个长方体,使得它的三条面对角线分别为4、5、6,设长
77方体的三条边分别为x,y,z,则x2y2z2,而长方体的外接球就是四面2
77体的外接球,所以S4R2. 2
练习题:
1.一个三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直,且长度分别为16、
3,则这个三棱锥的外接球的表面积为( )
A、16π B、32π C、36π D、64π
答案:A
2.在三棱锥A-BCD中,侧棱AB、AC、AD两两垂直,△ABC、△ACD、△ADB的面23积分别为222,则三棱锥A-BCD的外接球的体积为( )
3.三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,如果此三棱锥外接球的表面积为9
π,那么PA•PB+PA•PC+PB•PC的最大值为( )
99
A.4 B.2 C.9 D.18
轴截面法:
C、D都在同一个球面上,则该球的体积为_.
[审题导引] 如图所示,根据对称性,只要在四棱锥的高线SE上找到一个点O使得OA=OS,则四棱锥的五个顶点就在同一个球面上.
[规范解答] 如图所示,在
Rt△SEA中,SA2,AE=1,故SE=1.设球的半径为r,则OA=OS=r,OE=1-r.在Rt
△OAE中,r2=(1-r)2+1,解得r=1,即点O即为球心,故这个球的体积是4π. 3
例2.已知四面体ABCD在同一球面上,且ABBC2,AC2,当四面体
2ABCD的体积最大时且为,求球的表面积( ) 3
解析:∵ABBCAC2,∴ABC是直角三角形, ∴ ABC的外接圆的圆心是边AC的中点O1,如图所示,若使四面体ABCD体积的最大值只需使点D到平
面ABC的距离最大,又OO1平面ABC,所以点D是直线OO1与球的交点 ,设球的
22半径为R,则由体积公式有:O1D2 ,在RtAOO1中,R1(2R),解
得:R525 S球O的表面积,故选C 44
1.已知球O点面上四点A、B、C、D,DA平面ABC,ABBC,DA=AB=BC=,则球O的体积等于___________
等体积法
例1.设棱锥MABCD的底面是正方形,且MAMD,MAAB,如果AMD的面积为1,试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.
解: ABAD,ABMA,AB平面MAD,
由此,面MAD面AC.记E是AD的中点,
从而MEAD.ME平面AC,MEEF
设球O是与平面MAD、平面AC、平面MBC都相切的球.如图
2,得截面图MEF及内切圆O
不妨设O平面MEF,于是O是MEF的内心.
设球O的半径为r,则r
ADEFa,SAMD1. 图2 2SMEF,设EFEMMF
22EM,MFa2,raa2222aa2aa2222221 当且仅当a2,即a2时,等号成立. a
∴当ADME2时,满足条件的球最大半径为21.
练习:1.一个正四面体内切球的表面积为3,求正四面体的棱长。2)
作业:
1
.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3
,AC=4,AB
⊥AC,AA1=12,则球O的半径为( )
A B.C.13 2D.
2.将一个气球的半径扩大1倍,它的体积扩大到原来的( )
A. 2倍 B.4倍 C.8倍 D.16倍
3.用与球心距离为1的平面去截球,所得的截面面积为π,则球的体积为( )
A.
B. C. D.
4.球的表面积与它的内接正方体的全面积之比为( )
A.
B.
C.
D.1
5.将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球,则这个球的表面积为( )
A. 2π B. 4π C. 8π D.16π
6.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB
⊥AC,AA1=12,则球O的半径为( )
A. B. C. D.
7.已知三棱锥P-ABC中,PA、PB、PC两两垂直,PA=PB=2PC=2a,且三棱锥外接球的表面积为S=9π,则实数a的值为( )
A.1 B.2 2 1D.2
8.半径为2的球面上有三个点A,B,C,若AB=6,BC=8,AC=10,经过这3个点作截面,那么球心到截面的距离为( )
A.4 B.42 C.5 D.9
9.已知三棱锥的三视图如图所示,则它的外接球表面积为(
)
A.16π B.8π C.4π D.2π
10.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为( )
A
B
C
D
二、填空题 :
1.如图,已知球O的面上四点A、B、C、D,DA⊥平面ABC,AB⊥BC,DA=AB=BC=则球O的体积等于 . ,
2.已知点A、B、C在球心为O的球面上,△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,且a2=b2+c2+bc,a3,球心O到截面ABC的距离为2,则该球的表面积为________.
3.过正四面体外接球球心的平面截正四面体所得截面如图所示,图中三角形面积为22,则正四面体棱长为____________.
4.给出下列命题: 2的正方体的所有棱都相切,则此球的体积为
1+a+…+a②若 (1-an-14π; 3)=2,则实数a=1+2 2
③已知函数f(x)=ln(x2+1),则方程f(x)=0在(1,2)内必有实根;
④圆(x-2)2+y2=2外的点M对该圆的视角为90°时,则点M的轨迹方程是(x-2)2+y2=4.
其中正确的命题序号是______.
5.过半径为2的球O表面上一点A,作球O的截面,若OA与该截面所成的角为30°,则该截面的面积为________.
6.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长AB=6,侧棱长AA1=27,它的外接
球的球心为O,点E是AB的中点,点P是球O的球面上任意一点,有以下判断:
(1)PE长的最大值是9;
(2)三棱锥P-EBC体积的最大值是32; 3
(3)存在过点E的平面,截球O的截面面积是8π;
(4)三棱锥P-AEC1体积的最大值是20.
正确的是________.
7.已知球面上有S,A,B,C四点,且SA⊥平面ABC,∠ABC=90°,SC=2.则该球的表面积为________.
8.设A,B,C,D是半径为2的球面上的四点,且满足AB⊥AC,AD⊥AC,AB⊥AD,则S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值是________.