探究中心对称的四边形
【知识要点】
【典型例题】
例1. 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,BC 的垂直平分线DE 交BC 于D ,交AB 于E ,点F 在DE 上,且AF=CE.
(1)求证:四边形ACEF 是平行四边形;
(2)当∠B 的大小满足什么条件时,四边形ACEF 是菱形?证明你的结论; (3)四边形ACEF 有可能是正方形吗?为什么?
例1图
例2. 如图,在□ABCD 中,E 、F 分别为边AB 、CD 的中点,BD 是对角线,AG//DB交CB 的延长线于G.
(1)求证:△ADE ≌△CBF ;
(2)若四边形BEDF 是菱形,则四边形AGBD 是什么特殊四边形?证明你的结论.
例2图
【拓展练习】
1. 如图,正方形ABCD 的对角线AC 是菱形AEFC 的一边,则∠FAB 等于( )
A. 45° B. 30° C. 22.5°
D. 15°
2. 矩形各内角的平分线若能围成一个四边形,则这个四边形一定是( )
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
3. 如图,正方形ABCD 的边长为2,点E 在AB 边上,四边形EFGB 也是正方形,设△AFC 的面积为S ,则( )
A. S=2 B. S=2.4 C. S=4 D. S与BE 长度有关
M
第4题图 第1题图 第3题图
5. 如图,在□
ABCD 中,AE 、BF 分别平分∠DAB 和∠ABC ,交CD 于E 、F ,AE
、BF 相交于点M ,已知AB=5 cm,AD=3 cm,则EF 的长度为 cm.
6. 如图,在□ABCD 中,AE ⊥BC 于E ,AF ⊥CD 于F ,∠EAF=45°,且AE+AF=,则平行四边形ABCD 的周长是 .
7. 如图,P 是矩形ABCD 内的一点,PA=3 cm,PD= 4cm,PC= 5cm,则PB= cm..
第5题图 第6题图 第7题图
8. 如图,在菱形ABCD 中,E ,F 分别是BC ,CD 点的点,且CE =CF .
(1)求证:△ABE ≌△ADF ;
(2)过点C 作CG ∥EA ,交AF 于点H ,交AD 于点G .
D
若∠BAE =25︒,∠BCD =130︒,求∠AHC 的度数.
B
第8题图
9. 如图,在△ABC 中,已知∠BAC =45︒,AD ⊥BC 于点D ,BD =2,DC =3. 分别以AB ,AC 为对称轴,作出△ABD ,△ACD 的轴对称图形,点D 的对称点分别为E ,F ,延长EB ,FC 交于点G . (1)证明四边形AEGF 是正方形;
(2)设AD =x ,利用勾股定理,建立关于x 的方程模型,求出AD 的值.
F
G
第9题图
10. 如图,在矩形ABCD 中,点P 沿AB 边从点A 开始几点B 以2cm /s AB=12cm,BC=6cm,的速度移动,点Q 沿DA 从点D 开始向点A 以1cm /s 的速度移动,如果P , Q 同时出发,用
t (s ) 表示移动的时间(0≤t ≤6) .
(1)求当t 为何值时,△QAP 为等腰直角三角形? (2)求四边形QAPC 的面积,并探索一个与计算结果 有关的结论.
D C
第10题图
11. 如图所示,正方形纸
片ABCD 的边长为1,M ,N 分别是AD ,BC 的中点,将点C 折叠到MN 上,落在点P 的位置,折痕为BQ . 连结QP ,PB ,求PN ,MP 和CQ 的长.
M A
Q
B N
第11题图
【归纳小结】