学习目的：理解并掌握微分方程的基本概念，主要包括微分方程的阶，微分方程
的通解、特解及微分方程的初始条件等
学习重点：常微分方程的基本概念，常微分方程的通解、特解及初始条件 学习难点：微分方程的通解概念的理解
学习内容：
1、首先通过几个具体的问题来给出微分方程的基本概念。
（1）一条曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点M （x , y ）处的切线的斜率为2x ，求这条曲线的方程。
解 设曲线方程为y =y (x ) . 由导数的几何意义可知函数y =y (x ) 满足
dy =2x （1） dx
同时还满足以下条件：
x =1时，y =2 （2）
把（1）式两端积分，得
y =⎰2xdx 即 y =x 2+C （3）
其中C 是任意常数。
把条件（2）代入（3）式，得
C =1，
由此解出C 并代入（3）式，得到所求曲线方程：
y =x 2+1 （4）
（2）列车在平直线路上以20m /s 的速度行驶；当制动时列车获得加速度-0. 4m /s . 2问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？
解 设列车开始制动后t 秒时行驶了s 米。根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数s =s (t ) 满足：
d 2s =-0. 4 （5） 2dt
此外，还满足条件：
t =0时，s =0, v =
(5)式两端积分一次得： ds =20 （6） dt
v =
再积分一次得 ds =-0. 4t +C 1 （7） dt
s =-0. 2t 2+C 1t +C 2 （8）
其中C 1, C 2都是任意常数。
把条件“t =0时v =20”和“t =0时s =0”分别代入（７）式和（８）式，得
C 1=20, C 2=0
把C 1, C 2的值代入（7）及（8）式得
v =-0. 4t +20, （9）
s =-0. 2t 2+20t （10）
在（9）式中令v =0，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间：
t =20=50(s ) 。 0. 4
再把t =5代入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程
s =-0. 2⨯502+20⨯50=500(m ).
上述两个例子中的关系式（1）和（5）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。
2、 定义 一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系到的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。本章只讨论常微分方程。
微分方程中所出现的求知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。例如，方程（1）是一阶微分方程；方程（5）是二阶微分方程方程。又如，方程
y (4)-4y ' ' ' +10y ' ' -12y ' +5y =sin 2x
是四阶微分方程。
一般地，n 阶微分方程的形式是
F (x , y , y ' , , y (n ) ) =0, （11）
其中F 是个n +2变量的函数。这里必须指出，在方程（11）中，y (n ) 是必须出现的，而
x , y , y ' , , y (n -1) 等变量则可以不出现。例如n 阶微分方程
y (n ) +1=0
中，除y (n ) 外，其他变量都没有出现。
如果能从方程（11）中解出最高阶导数，得微分方程
y (n ) =f (x , y , y ' , , y (n -1) ). （12）
以后我们讨论的微分方程都是已解出最高阶导数的方程或能解出最高阶导数的方程，且（12）式右端的函数f 在所讨论的范围内连续。
由前面的例子我们看到，在研究某些实际问题时，首先要建立微分方程，然后找出满足微分方程的函数，就是说，找出这样的函数 ，把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式。这个函数就叫做该微分方程的解。确切地说，设函数y =ϕ(x ) 在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上，
F [x , ϕ(x ), ϕ' (x ), , ϕ(n )(x )]≡0,
那么函数y =ϕ(x ) 就叫做微分方程（11）在区间I 上的解。
例如，函数（3）和（4）都是微分方程（1）的解；函数（8）和（10）都是微分方程（5）的解。
如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。例如，函数（3）是方程（1）的解，它含有一个任意常数，而方程
（1）是一阶的，所以函数（3）是方程（1）的通解。又如，函数（8）是方程的解，它含有两个任意常数，而方程（5）是二阶的，所以函数（8）是方程（5）的通解。
由于通解中含有任意常数，所以它还不能完全确定地反映某一客观事物的规律性，必须确定这些常数的值。为此，要根据问题的实际情况提出确定这些常数的条件。例如，例1中的条件（2），例2中的条件（6），便是这样的条件。
设微分方程中的未知函数为y =y (x ) ，如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的条件是
x =x 0时，y =y 0，
或写成 y |x =x 0=y 0
其中x 0，y 0都是给定的值；如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的条件是：
x =x 0时，y =y 0，y ' =y ' 0
或写成 y |x =x 0=y 0，y ' |x =x 0=y ' 0
其中x 0，y 0和y ' 0都是给定的值。上述条件叫做初始条件。
确定了通解中的任意常数以后，就得到了微分方程的特解。例如（4）式是方程（1）满足条件（2）的特解；（10）式是方程（5）满足条件（6）的特解。
求微分方程y ' =f (x , y ) 满足初始条件y |x =x 0=y 0的特解这样一个问题，叫做一阶微分方程的初值问题，记作
⎧y ' =f (x , y ), （13） ⎨y |=y . 0⎩x =x 0
微分方程的解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线。初值问题（13）的几何意义是求微分方程的通过点(x 0, y 0) 的那条积分曲线。二阶微分方程的初值问题
⎧y ' ' =f (x , y , y ' ), ⎨y |=y , y ' |=y ' 0x =x 00⎩x =x 0
的几何意义是求微分方程的通过点(x 0, y 0) 且在该点处的切线斜率为y ' 0的那条积分曲线。
3、 例题
例1 验证：函数
x =C 1cos kt +C 2sin kt （14）
是微分方程
d 2x 2+k x =0 （15） 2dt
的解。
解 求出所给函数（14）的导数
dx =-kC 1sin kt +kC 2cos kt , dt
d 2x =-k 2C 1cos kt -k 2C 2sin kt =-k 2(C 1cos kt +C 2sin kt ) 2dt
d 2x 把2及x 的表达式代入方程（15）得 dt
-k 2(C 1cos kt +C 2sin kt ) +k 2(C 1cos kt +C 2sin kt ) ≡0
函数（14）及其导数代入方程（15）后成为一个恒等式，因此函数（14）是微分方程（15）的解。
小结：本节讲述了微分方程的基本概念，及一般形式，常微分方程的通解、特解
及微分方程的初始问题
学习目的：熟练掌握可分离变量的微分方程的解法
学习重点：可分离变量的微分方程的解法
学习难点：可分离变量的微分方程的解法
学习内容：
本节开始, 我们讨论一阶微分方程
y ' =f (x , y ) (1)
的一些解法.
一阶微分方程有时也写成如下的对称形式:
P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =0 (2)
在方程(2)中, 变量x 与y 对称, 它既可以看作是以为x 自变量、y 为未知函数的方程
dy P (x , y ) =- (Q (x , y ) ≠0) , dx Q (x , y )
也可看作是以x 为自变量、y 为未知函数的方程
dx Q (x , y ) =- (P (x , y ) ≠0) , dy P (x , y )
在第一节的例1中，我们遇到一阶微分方程
dy =2x ， dx
或 dy =2xdx .
把上式两端积分就得到这个方程的通解：
y =x 2+C 。
但是并不是所有的一阶微分方程都能这样求解。例如，对于一阶微分方程
dy =2xy 2 （3） dx
就不能像上面那样直接两端用积分的方法求出它的通解。原因是方程（3）的右端含有未知函数y 积分
22xy ⎰dx
求不出来。为我解决这个困难，在方程（3）的两端同时乘以dx ，使方程（3）变为 2y
dy =2xdx ， 2y
这样，变量x 与y 已分离在等式的两端，然后两端积分得
-1=x 2+C y
1 （4） x 2+C 或 y =-
其中C 是任意常数。
可以验证，函数（4）确实满足一阶微分方程（3），且含有一个任意常数，所以它是方程（3）的通解。
一般地，如果一个一阶微分方程能写成
g (y ) dy =f (x ) dx （5）
的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含y 的函数和dy ，另一端只含x 的函数和dx ，那么原方程就称为可分离变量的微分方程。
假定方程（5）中的函数g (y ) 和f (x ) 是连续的，设y =ϕ(x ) 是方程的解，将它代入（5）中得到恒等式
g [ϕ(x )]ϕ' (x ) dx =f (x ) dx .
将上式两端积分，并由y =ϕ(x ) 引进变量y ，得
⎰g (y ) dy =⎰f (x ) dx
设G (y ) 及F (x ) 依次为g (y ) 和f (x ) 的原函数，于是有
G (y ) =F (x ) +C （6）
因此，方程（5）满足关系式（6）。反之，如果y =Φ(x ) 是由关系到式（6）所确定的隐函数 ，那么在g (y ) ≠0的条件下，y =Φ(x ) 也是方程（5）的解。事实上，由隐函数的求导法可知，当g (y ) ≠0时，
Φ' (x ) =F ' (x ) f (x ) =, G ' (y ) g (y )
这就表示函数y =Φ(x ) 满足方程（5）。所以如果已分离变量的方程（5）中g (y ) 和f (x ) 是连续的，且g (y ) ≠0，那么（5）式两端积分后得到的关系式（6），就用隐式给出了方程（5）的解，（6）式就叫做微分方程（5）的隐式解。又由于关系式（6）中含有任意常数，因此（6）式所确定的隐函数是方程（5）的通解，所以（6）式叫做微分方程（5）的隐式通解。 例1 求微分方程
dy =2xy （7） dx
的通解。
解 方程（7）是可分离变量的，分离变量后得
dy =2xdx y
两端积分 dy ⎰y =⎰2xdx ,
2得 ln y =x +C 1,
从而 y =±e
C x 2+C 1=±e C 1e x 。 2又因为±e 1仍是任意常数，把它记作C 便得到方程（7）的通解
y =Ce 。
例2 放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断x 2减少，这种现象叫做衰变。由原子物理学知道，铀的误变速度与当时未衰变的原子的含量M
成正比。已知t =0时铀的含量为M 0，求在衰变过程中含量M (t ) 随时间变化的规律。 解 铀的衰变速度就是M (t ) 对时间t 的导数dM 。由于铀的衰变速度与其含量成正dt
比，得到微分方程如下
dM =-λM , （8） dt
其中λ(λ>0) 是常数，叫做衰变系数。λ前的负号是指由于当t 增加时M 单调减少，即dM
由题易知，初始条件为
M |t =0=M 0
方程（8）是可以分离变量的，分离后得
dM =-λdt . M
dM =⎰(-λ)dt . 两端积分 ⎰M
以ln C 表示任意常数，因为M >0，得
ln M =-λt +ln C ,
即 M =Ce -λt .
是方程（8）的通解。以初始条件代入上式，解得
M 0=Ce o =C
故得 M =M 0e -λt .
由此可见，铀的含量随时间的增加而按指数规律衰落减。
小结：本节讲述了一阶微分方程中可分离变量的微分方程，及其解法。
学习目的：熟练掌握齐次微分方程的解法
学习重点：齐次方程的解法
学习难点：齐次方程的解法
学习内容：
1、 齐次方程的形式
如果一阶微分方程
y ' =f (x , y )
中的函数f (x , y ) 可写成y y 的函数，即f (x , y ) =ϕ() ，则称这方程为齐次方程。例如x x
(x +y ) dx +(y -x ) dy =0
是齐次方程，因为其可化为
1+y
dy
dx =x +y x -y =.
1-y
x
2、 齐次方程
f (x , y ) =ϕ(y
x )
的解法。
作代换 u =y
x ，则y =ux ，于是
dy
dx =x du
dx +u .
从而 x du
dx +u =ϕ(u ) ，
du ϕ(u ) -u
dx =x ，
分离变量得 du dx
ϕ(u ) -u =x
两端积分得 ⎰du
ϕ(u ) -u =⎰dx
x 求出积分后，再用y
x 代替u ，便得所给齐次方程的通解。如上例
x du 1+u
dx +u =1-u
分离变量，得 (1+u ) du
1+u 2=dx x
积分后，将u =y
x 代回即得所求通解。
例1 解方程
xy ' =y (1+ln y -ln x ) 。
解 原式可化为 1） （
dy y y =(1+ln ) ， dx x x
令u =
于是 y dy du =x +u ， ，则 dx dx x
du +u =u (1+ln u ) dx
du dx =分离变量 u ln u x x
两端积分得 ln ln u =ln u +ln C
ln u =Cx
即 u =e Cx 。
故方程通解为 y =xe Cx 。
3、 练习
221 x y ' +y =xy 通解为 ln y =y +C x
2 (-3x 2+y 2) dx +2xydy =0 通解为 x 2-y 2=Cx -1
小结：本节讲述了齐次方程，及其解法
学习目的：掌握一阶线性微分方程的形式，熟练掌握其解法；掌握利用变量代换
解微分方程的方法；了解贝努利方程的形式及解法
学习重点：一阶线性微分方程的形式, 及解的形式，利用变量代换解微分方程 学习难点：一阶线性微分方程通解的形式，利用变量代换解微分方程 学习内容：
一、线性方程
1、定义 方程dy +P (x ) y =Q (x ) （1）称为一阶线性微分方程。 dx
特点 关于未知函数y 及其导数y ' 是一次的。
若Q (x ) ≡0
若Q (x ) ≠0，称（1）为齐次的； ，称（1）为非齐次的。
2
2y
5
如：（1）y ' +2xy =2xe -x （2）y ' -x +1
=(x +1) 2
2、解法
当Q (x ) ≡0时，方程（1）为可分离变量的微分方程。 当Q (x ) ≠0时，为求其解首先把Q (x ) 换为0，即
dy
dx
+P (x ) y =0 称为对应于（1）的齐次微分方程，求得其解
y =Ce -⎰P (x ) dx
为求（1）的解，利用常数变易法，用u (x ) 代替C ，即y =u (x ) e -⎰P (x ) dx
于是，
dy
dx
=u ' e -⎰P (x ) dx +ue -⎰P (x ) dx [-P (x )] 代入（1），得
u =⎰Q (x ) e ⎰
P (x ) dx
dx +C
故 y =e -⎰P (x ) dx (⎰
Q (x ) e ⎰P (x ) dx dx +C ) 。
3、例 求方程
5
y ' -2y
x +1
=(x +1) 2 的通解.
解 这是一个非齐次线性方程。先求对应的齐次方程的通解。
dy 2y dx -x +1
=0， dy 2y =dx x +1， ln y =2ln(x +1) +ln C ，
y =C (x +1) 2
用常数变易法。把C 换成u (x ) ，即令
2）3）4）5） （
（
（
（
y =u (x +1) 2，
则有 代入（1）式中得
dy
=u ' (x +1) 2+2u (x +1) ， dx
12
u ' =(x +1) ，
2
两端积分，得 u =(x +1) 2+C 。
3
再代入（4）式即得所求方程通解
3
2
y =(x +1) [(x +1) 2+C ]。
3
2
3
另解 我们可以直接应用（3）式
-P (x ) dx P (x ) dx
y =e ⎰(⎰Q (x ) e ⎰dx +C )
得到方程的通解，其中，
2P (x ) =-， Q (x ) =(x +1) 2
x +1
代入积分同样可得方程通解
5
2
y =(x +1) [(x +1) 2+C ]，
3
2
3
此法较为简便，因此，以后的解方程中，可以直接应用（3）式求解。
二、贝努力方程
1、定义
dy
+P (x ) y =Q (x ) y n (n ≠0, 1) 称为贝努力方程。 dx
当n =0, 1时，为一阶线性微分方程。 2、解法 两边同除y
n
dy
+P (x ) y 1-n =Q (x ) dx dz dy 1-n
=(1-n ) y -n 令z =y ，则有 dx dx 1dz
+P (x ) z =Q (x )
1-n dx
y -n
而 为一阶线性微分方程，故
dz
+(1-n ) P (x ) z =(1-n ) Q (x ) dx
-(1-n ) P (x ) dx (1-n ) P (x ) dx
z =e ⎰(⎰(1-n ) Q (x ) e ⎰dx +C ) 。
贝努力方程的解题步骤
（1） 两端同(1-n ) y n （2） 代换z =y 1-n
（3） 解关于z 的线性微分方程 （4） 还原
例 解方程 xy ' +y =x 3y 6 解 过程略，通解为 y
-5
=
53
x +Cx 5。 2
三、利用变量代换解微分方程
例 解方程 xy ' +y =y (lnx +ln y ) 解 令 xy =u ，则
du dy
=y +x ，于是 dx dx
du u
=y ln u =ln u dx x
Cx
解得 u =e
Cx
， 即 xy =e
例 解方程
dy 1
= dx x +y
y
解 过程略，通解为 1+x +y =Ce 。
小结：本节讲述了一阶线性微分方程，及贝努力方程的解法，利用常数变易法，
和变量代换法来解微分方程。
学习目的：掌握全微分方程成立的充要条件，掌握全微分方程的解法，会用观察
法找积分因子
学习重点：全微分方程的解法，观察法找积分因子 学习难点：全微分方程的解法，观察法找积分因子 学习内容：
1、定义 若P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =0 （1）恰为某一个函数的全微分方程，即存在
某个u (x , y ) ，使有du =P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy ，则称（1）为全微分方程。
可以证明 u (x , y ) =C 是（1）式的隐式通解。
2、解法 若P (x , y ) ，Q (x , y ) 在单连通域G 内具有一阶连续偏导数，条件
∂P ∂Q
=
∂y ∂x
是（1）式为全微分方程的充要要条件。
通解为 u (x , y ) =
x
y
⎰
x 0
P (x , y ) dx +⎰Q (x , y ) dy =C 。
y 0
例1 求解 (5x 4+3xy 2-y 3) dx +(3x 2y -3xy 2+y 2) dy =0 解 令 P =
5x 4+3xy 2-y 3，Q =3x 2y -3xy 2+y 2
∂P ∂Q =6xy -3y 2= ∂y ∂x
x
y
则
此方程为全微分方程。于是
u (x , y ) =⎰(5x 4+3xy 2-y 3) dx +⎰y 2dy
31 =x +x 2y 2-xy 3+y 3
23
3221353
通解为 x +x y -xy +y =C
23
5
3、积分因子
若
∂P ∂Q ≠，则（1）式不是全微分方程，但若有一个适当函数μ=μ(x , y ) ，使（1）∂y ∂x
式乘以μ(x , y ) 后为全微分方程，称函数μ(x , y ) 为积分因子。
一般积分因子不好求，我们只要求通过观察找到积分因子。 例2 方程ydx -xdy =0 不是全微分方程，但
x ydx -xdy d () = 2
y y
于是将方程乘以
1ydx -xdy
=0， ，则有 22
y y
即 d () =0，从而
x y x 1
=C 为其通解。此时2为其积分因子。 y y
注意 积分因子一般不唯一。 如上述方程，若同乘
1dx dy
有 -=0， xy x y
x 1
也是其积分因子。 =C 为其通解。
y xy
于是 d (lnx -ln y ) =0，即
小结：本节讲述了全微分方程的解法，用观察法长积分因子，使之满足全微分方
程的充要条件。
学习目的：掌握三种容易降阶的高阶微分方程的求解方法
学习重点：三种可降阶的高阶微分方程的求法 学习难点：三种可降阶的高阶微分方程的求法 学习内容：
一、y (n ) =f (x ) 型
令 y
(n -1)
=z ，则原方程可化为
dz
=f (x ) ， dx
(n -1)
=于是 z =y
⎰f (x ) dx +C
1
同理 y
(n -2)
=⎰[⎰f (x ) dx +C 1]dx +C
。。。 。。。
n 次积分后可求其通解。
其特点：只含有y
(n )
和x ，不含y 及y 的1~(n -1) 阶导数。
例1 解方程 y ' ' ' =
12x +1
5
1
(2x +1) 2+C 1x 2+C 2x +C 3 为其通解。 解得 y =15
二、y ' ' =f (x , y ' )
令 y ' =p , 则 y ' ' =p ' ，于是可将其化成一阶微分方程。 特点 含有y ' ' , y ' , x ，不含y 。
例2 xy ' ' +y ' -x 2=0 解得通解为 y =
13
x +C 1ln x +C 2 9
三、y ' ' =f (y , y ' )
令 y ' =p , 则 y ' ' =
dp dp dy dp ==p ， dx dy dx dy
于是可将其化为一阶微分方程。
特点 不显含x 。 例3 yy ' ' -y ' 2+y ' =0
解 化为一阶线性或可分离变量的微分方程，解得通解为
ln(1+C 1y ) =C 1x +C 2。
小结：本节讲述了三种容易降阶的高阶微分方程及其求解方法
学习目的：掌握二阶线性方程解的结构，齐次线性方程的通解，非齐线性方程的
特解及通解的形式。
学习重点：齐次线性方程的通解，非齐线性方程的特解及通解的形式。 学习难点：齐次线性方程的通解，非齐线性方程的特解及通解的形式。 学习内容：
d 2y dy
+Q (x ) y =f (x ) (1) 称为二阶线性微分方程。 1、定义：方程2+P (x )
dx dx
当f (x ) ≡0时称为齐次的，当f (x ) ≠0时称为非齐次的。 为求解方程（1）需讨论其解的性质
d 2y dy
+P (x ) +Q (x ) y =0 （2） 2、解的性质
dx 2dx
性质1 若y 1(x ), y 2(x ) 是（2）的解，则y =C 1y 1(x ) +C 2y 2(x ) 也是（2）的解，
其中C 1，C 2为任意常数。
称性质1为解的叠加原理。
但此解未必是通解，若y 1(x ) =3y 2(x ) ，则y 1(x ) =(C 2+3C 1) y 2(x ) ，那么
C 1y 1(x ) +C 2y 2(x ) 何时成为通解？只有当y 1与y 2线性无关时。
线性相关 设y 1, y 2,
使得
若存在不全为零的数k 1, k 2, , y n 是定义在区间I 内的函数，
, k n
k 1y 1+k 2y 2+
恒成立，则称y 1, y 2, 线性无关 不是线性相关。 如： 1,cos 2x ,sin 2x 线性相关， 1, x , x 2线性无关。
+k n y n =0
, y n 线性相关。
对两个函数，当它们的比值为常数时，此二函数线性相关。若它们的比值是函数时，
线性无关。
性质2 若y 1(x ), y 2(x ) 是（2）的两个线性无关的特解，那么
y =C 1y 1(x ) +C 2y 2(x )
（C 1，C 2为任意常数）是方程（2）的特解。
此性质称为二阶齐次线性微分方程（2）的通解结构。 如：y 1=cos x , y 2=sin x 是y '' +y =0的两个解，又
y 1
=c t g x ≠常数。因此，y 2
y =C 1cos x +C 2sin x 为y '' +y =0的通解。
又(x -1) y '' -xy ' +y =0的解y 1=x , y 2=e x 亦线性无关。 则y =C 1x +C 2e x 为其通解。
下面讨论非齐次微分方程（1）的解的性质. 称（2）为（1）所对应的齐次方程。 性质3 设y *是（1）的特解，Y 是（2）的通解，则y =Y +y *是（1）的通解。 如：y '' +y =x ， y =C 1cos x +C 2sin x 为y '' +y =0的通解，又y *=x -2是特解，则y =C 1cos x +C 2sin x 的通解。
性质4 设（5）式中f (x ) =f 1(x ) +f 2(x ) ，若y 1*,y 2*分别是
2
2
d 2y dy
+P (x ) +Q (x ) y =f 1(x ) ， dx 2dx d 2y dy
+P (x ) +Q (x ) y =f 2(x ) 2dx dx
的特解，则y 1*+y 2*为原方程的特解。 称此性质为解的叠加原理。
小结：本节讲述了二阶线性方程解的结构，包括齐次线性方程的通解，非齐线性
方程的特解及通解的形式。
学习目的：掌握二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根，及对应于特
征根的三种情况，通解的三种不同形式。
学习重点：特征方程，特征根，及对应于特征根的三种情况，通解的三种不同形
式。
学习难点：根据特征根的三种不同情况，得到三种不同形式的通解。 学习内容：
d 2y dy
+Q (x ) y =0 （2）中P (x ), Q (x ) 为常数，称之为二阶常系数齐次若2+P (x )
dx dx
微分方程，而(2)称之为二阶变系数齐次微分方程。
记：y '' +py ' +qy =0 （3）
将y =e 代入（3）中有(r +pr +q ) e =0，称r +pr +q =0为（3）的特征方程。 设r 1, r 2为（4）的解。
1
（1）当r +C 2e 2为其通解。 1≠r 2即p -4q >0时，y =C 1e
rx 2rx 2
2r x r x
（2）当r （3）只有一个解y =Ce 。 1=r 2=r 即p -4q =0时，
2(α±i β) x （3）当r =α±i β即p -4q
2rx
利用欧拉公式可得实解，故通解为
y =e αx (C 1cos βx +C 2sin βx ) 。
例 求下列微分方程的通解
1、y '' -2y ' -3y =0 2、y '' -2y ' +5y =0
解 过程略。
通解为 （1）y =C 1e -x +C 2e 3x ，
（2）y =e x (C 1cos2x +C 2sin 2x ) 。
上面结果可扩展到n 阶常系数微分方程。 例 求 y (4)-2y ''' +5y '' =0。
通解为 y =C 1+C 2x +e x (C 3cos2x +C 4sin 2x ) 。
小结：本节讲述了二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根，及当
特征根形式不同时，通解具有不同形式。