近几年高考“万有引力与航天”10难题详析
江苏省特级教师 戴儒京
万有引力与航天，历来是高考的重点、热点和难点，体现在每年的高考试卷中都有有关万有引力与航天的题目，每套物理试卷或理综试卷都有有关万有引力与航天的题目。本文就近几年高考“万有引力与航天”的难题10题，给以详细解析，以帮助广大高三或高一的学生学习这一部分内容。当你读本文时，对每一题，还是先自己解一下，然后再看本文的解析与答案。
1．（2010年浙江卷第20题）. 宇宙飞船以周期为T 绕地地球作圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图所示。已知地球的半径为R ，地球质量为M ，引力常量为G ，地球处置周期为T 。太阳光可看作平行光，宇航员在A 点测出的张角为α，则
A. 飞船绕地球运动的线速度为
2πR T sin(
α
2
)
B. 一天内飞船经历“日全食”的次数为T/T0 C. 飞船每次“日全食”过程的时间为aT 0/(2π) D. 飞船周期为
T=
R sin(α/2)
【解析】飞船绕地球运动的线速度为v =
由几何关系知sin(α/2) =
2πR T sin(α/2)
R r
2πr T
，所以 r =
∴v =
，A 正确；
因为G
mM r
2
=m (
2πT
) r
2
所以T =2π
R
r
3
GM
=2πr
r GM
因为r =
R sin(α/2)
所以T =2π⋅
R GM sin(α/2)
24h T
sin(α/2)
，D 正确。
一天内飞船经历“日全食”的次数为n =
1
R r
=T 0/T ，所以B 错误；
α
2π
飞船每次“日全食”过程的时间，如下图所示，是飞船沿BAC 圆弧从B
到C 的时间，因为tan ∠OBC =
2
，sin
α
2
=
R r
，所以∠OBC=α，时间t =
T
，
所以C 错误；
【答案】AD
【点评】本题考查圆周运动与航天知识及用数学解决物理问题的能力。
2．（2010安徽卷17）．为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国预计于2011年10月发射第一颗火星探测器“萤火一号”。假设探测器在离火星表面高度分别为h 1和h 2的圆轨道上运动时，周期分别为T 1和T 2。火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G 。仅利用以上数据，可以计算出
A ．火星的密度和火星表面的重力加速度 B ．火星的质量和火星对“萤火一号”的引力 C ．火星的半径和“萤火一号”的质量
D ．火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力
【解析】由于万有引力提供探测器做圆周运动的向心力，则有
G
⎛2π⎫⎛2π⎫M m =m (R +h ) G =m ； ⎪ ⎪(R +h 2) 122
(R +h 1) T (R +h ) T ⎝1⎭2⎝2⎭M m
2
2
，可求得火星的
质量M =
4π(R +h 1)
G T 1
2
23
=
4π(R +h 2)
G T 2
2
23
和火星的半径R =
，根据密度
公式得：ρ=
M V
=
M 43
=
3
3M 4πR
3
。在火星表面的物体有G
M m R
2
=m g
，可得火星
πR
表面的重力加速度g =
【答案】A
G M R
2
，故选项A 正确。
3．（2010全国卷1。25）．（18分）如右图，质量分别为m 和M 的两个星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速周运动，星球A 和B 两者中心之间距离为L 。已知A 、B 的中心和O 三点始终共线，A 和B 分别在O 的两侧。引力常数为G 。
⑪ 求两星球做圆周运动的周期。
⑫ 在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A 和B ，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T 1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T 2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg 和 7.35 ×1022kg 。求T 2与T 1两者平方之比。（结果保留3位小数）
【解析】 ⑪A 和B 绕O 做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A 和B 的向心力相等。且A 和B 和O 始终共线，说明A 和B 有相同的角速度和周期。因此有
m ωr =M ωR ，r +R =L
2
2
，连立解得R =
m m +M
GMm L
2
对A 根据牛顿第二定律和万有引力定律得化简得 T =2π
L
3
L m +M 2π2M =m () L
T M +m L
，r =
M
G (M +m )
L
3
⑫将地月看成双星，由⑪得T 1=2π
G (M +m )
将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得
GMm L
2
=m (
2πT
) L
2
化简得 T 2=2π
L
3
GM
T 2T 1
3
所以两种周期的平方比值为(
) =
2
m +M M
=
5. 98⨯10
24
+7. 35⨯10
24
22
5. 98⨯10
=1. 01
2
【答案】⑪T =2π
L
G (M +m )
⑫1.012
4、（2009年海南物理 6）．近地人造卫星1和2绕地球做匀速圆周运动的周期分别为T 1和T 2, 设在卫星1、卫星2各自所在的高度上的重力加速度大小分别为g 1、g 2，则
A ．
g 1⎛T 1⎫= ⎪g 2⎝T 2⎭g 1
4/3
2
B ．
g 1⎛T 2⎫= ⎪g 2⎝T 1⎭⎛T ⎫= 2⎪g 2⎝T 1⎭g 1
4/3
2
D ．
⎛T ⎫= 1⎪g 2⎝T 2⎭
D ．
G M m R
2
【解析】卫星绕天体作匀速圆周运动由万有引力提供向心力有可得
T R
23
＝m (
2πT
)
2
R,
＝K 为常数，由重力等于万有引力
G M m R
2
＝mg ，联立解得g
＝
4
g 与T 3成反比。
【答案】B 5、（2009年重庆 17）．据报道，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行器的圆形轨道距月球表面分别约为200km 和100km ，运动速率分别为v 1和v 2，那么v 1和v 2的比值为（月球半径取1700km ） A ．
1918
B
C
D ．
1819
【解析】“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月作圆周运动，由万有引力提供向心力有
G M m R
2
＝
m v R
2
可得v
M 为月球质量），它们的轨道半径分R 1＝1900Km 、
R 2＝1800Km ，则v 1：v 2
【答案】C 6、（2009年全国卷Ⅱ第26题）．如图，P 、Q 为某地区水平地面上的两点，在P 点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为ρ石油密度远小于ρ，可将上述球形区域视为空腔。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向，当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏高，重力回速度在原竖直方向（即PO 方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”。为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P 点到附近重力加速度反常现象，已知引力常数为G
（1）设球形空腔体积为V ，球心深度为d （远小于地球半径），P Q =x 求空腔所引起的Q 点处的重力加速度反常
（2）若在水平地面上半径L 的范围内发现：重力加速度反常值在δ与kδ（k >1）之间变化, 且重力加速度反常的最大值出现在半为L 的范围的中心，如果这种反常是于地下存在某一球形空腔造成的，试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积
【解析】(1)如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值。因此，重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力G
M m r
2
=m ∆g
„„„①来计算，式中的m 是Q 点处某质点的质量,M 是填充后
球形区域的质量, M =ρV „„„„„②
而r 是球形空腔中心O 至Q
点的距离r =∆g 在数值上等于由于存在球形空腔所引起的Q 点处重力加速度改变的大小。Q 点处重力加速度改变的方向沿OQ 方向，重力加速度反常∆g '是这一改变在竖直方向上的投影
∆g '=
d r ∆g
„„„④联立以上式子得
, „„„„⑤
G ρV d
2
∆g '=
G ρVd (d +x )
2
2
3/2
(2)由⑤式得, 重力加速度反常∆g '的最大值和最小值分别为(∆g ')m ax =
⑥
(∆g ')min =
G ρVd (d +L )
2
2
3/2
„„„„„⑦由题设有(∆g ')max =k δ、(∆g ')min =δ„„⑧
联立以上式子得，地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为
d =
L
V =
L k δG ρ(k
2/3
2
-1)
【答案】（1）
G ρVd (d +x )
2
2
3/2
L k δ
2
（2
）d =
V =
G ρ(k
2/3
-1)
7、（2009年天津卷第12题）．2008年12月，天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞“人马座A*”的质量与太阳质量的倍数关系。研究发现，有一星体S2绕人马座A*做椭圆运动，其轨道半长轴为9.50⨯102天文单位（地球公转轨道的半径为一个天文单位），人马座A*就处在该椭圆的一个焦点上。观测得到S2星的运行周期为15.2年。
(1) 若将S2星的运行轨道视为半径r=9.50⨯102天文单位的圆轨道，试估算人马座A*的质量M A 是太阳质量M s 的多少倍(结果保留一位有效数字) ；
(2) 黑洞的第二宇宙速度极大，处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚。由于引力的作用，黑洞表面处质量为m 的粒子具有势能为E p =-G
M m R
(设粒子在离黑洞无限远处的势能为零) ，式中M 、
R 分别表示黑洞的质量和半径。已知引力常量G=6.7⨯10-11N·m 2/kg2，光速c=3.0⨯108m/s，太阳质量M s =2.0⨯1030kg ，太阳半径R s =7.0⨯108m ，不考虑相对论效应，利用上问结果，在经典力学范围内求人马座A*的半径R A 与太阳半径R g 之比应小于多少（结果按四舍五入保留整数）。 【解析】（1）S2星绕人马座A *做圆周运动的向心力由人马座A *对S2星的万有引力提供，设S2星的质量为m S2，角速度为ω，周期为T ，则 G
M A m S 2
r 2πT
2
=m S 2ωr
2
①
ω= ②
M S m E
r
2E
设地球质量为m E ，公转轨道半径为r E ，周期为T E ，则G
M A M S
⎛r ⎫⎛T E ⎫= ⎪ ⎪
r T ⎝⎭⎝E ⎭
3
2
=m E ωr E
2
③
综合上述三式得
式中 T E =1年 ④
r E =1天文单位 ⑤
代入数据可得
M A M S
=4⨯10
6
⑥
（2）引力对粒子作用不到的地方即为无限远，此时料子的势能为零。“处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚”，说明了黑洞表面处以光速运动的粒子在远离黑洞的过程中克服引力做功，粒子在到达无限远之前，其动能便减小为零，此时势能仍为负值，则其能量总和小于零，则有
12
m c -G
2
M m R
⑦
依题意可知 R =R A ，M =M A 可得 R A
2G M c
2
A
⑧
代入数据得 R A
R A R S
⑩
【答案】（1）4⨯106，（2）
8.(06天津理综25) 神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体, 探寻黑 洞的方案之一是观测双星系统的运动规律. 天文学家观测河外星系大麦哲伦云
时, 发现了LMCX -3双星系统, 它由可见星A 和不可见的暗星B 构成. 两星 视为质点, 不考虑其他天体的影响, A 、B 围绕两者连线上的O 点做匀速圆周运 动, 它们之间的距离保持不变, 如图所示. 引力常量为G , 由观测能够得到可见星A 的速率v 和运行周期T .
(1)可见星A 所受暗星B 的引力F A 可等效为位于O 点处质量为m ′的星体（视 为质点）对它的引力, 设A 和B 的质量分别为m 1、m 2, 试求m ′(用m 1、m 2表示);
（2）求暗星B 的质量m 2与可见星A 的速率v 、运行周期T 和质量m 1之间的关系式；
（3）恒星演化到末期, 如果其质量大于太阳质量m s 的2倍, 它将有可能成为黑洞. 若可见星A 的速率v =2.7×105 m/s, 运行周期T =4.7π×104 s , 质量m 1=6 m s , 试通过估算来判断暗星B 有可能是黑洞吗？ (G =6.67×10
-11
N ·m /kg , m s =2.0×10kg )
2230
【解析】 （1）设A 、B 的圆轨道半径分别为r 1、r 2, 由题意知, A 、B 做匀速圆周运动的角速度相同, 设其为ω. 由牛顿运动定律, 有 F A =m 1ω2r 1 F B =m 2ω2r 2 F A =F B
设A 、B 之间的距离为r , 又r =r 1+r 2, 由上述各式得 r =
m 1+m 2
m r 1
2
由万有引力定律, 有 F m A =G
1m 2r
2
F m 3将①代入得A =G
1m 2
(m 2
2
1+m 2) r
1
令F m A =G 1m ' r 2
1
比较可得m ′=
m 3
2
(m 2
1+m 2)
（2）由牛顿第二定律, 有G m 1m ' =m v
2
r 2
1
1r 1
又可见星A 的轨道半径r v T 1=2π
3
由②③④式解得
m 2
v 3
T (m 2
1+m 2)
=
2πG
（3）将m 1=6 ms 代入⑤式, 得
m 3
2
v 3
T (6m +m 2
s 2)
=
2πG
代入数据得
①
②
③ ④ ⑤
m 2
3
2
(6m s +m 2)
=3. 5m s
⑥
设m 2=nm s (n > 0),将其代入⑥式, 得
m 2
3
2
(6m s +m 2)
=(
n 6n +1)
2
m s =3. 5m s
⑦
可见, 得
(
m 2
3
2
(6m s +m 2)
的值随n 的增大而增大, 试令n =2,
⑧
n 6n +1)
2
m s =0. 125m s
若使⑦式成立, 则n 必大于2, 即暗星B 的质量m 2必大于2m s , 由此得出结论：暗星B 有可能是黑洞. 【答案】 (1)有可能是黑洞
9. （2008高考全国理综2卷第25题，20分）我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形的轨道绕月飞行。为了获得月球表面全貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化。卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球。设地球和月球的质量分别为M 和m ，地球和月球的半径分别为R 和R 1，月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r 和r 1，月球绕地球转动的周期为T 。假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面，求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间（用M 、m 、R 、R 1、r 、r 1和T 表示，忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响）。
【解析】如图, O 和O '分别表示地球和月球的中心。在卫星轨道平面上，A 是地月连心线O O '与地月球面的公切线ACD 的交点，D 、C 和B 分别是该公切线与地球表面、月球表面和卫星圆轨道的交点。根据对称性，过A 点在另一侧作地月球面的公切线，交卫星轨道于E 点。卫星在BE
弧上运动时发出的信号被遮挡。
m 2
3
2
(m 1+m 2)
(2)
m 2
3
2
(m 1+m 2)
=
v T 2πG
3
(3)暗星B
设探月卫星的质量为m 0, 万有引力常量为G, 根据万有引力定律有
G Mm r
2
=m (
2πT
) r
2
①
2
G
Mm 0r 1
2
=m 0(
2πT 1
) r 1 ②
式中, T 1是探月卫星绕月球转动的周期。由①②式得
(T 1T
t T 1
) =
2
M m
(
r 1r
) ③
3
设卫星的微波信号被遮挡的时间为t ，则由于卫星绕月做匀速圆周运动，应有
=
α-βπ
④
式中，α=∠C O 'A , β=∠C O 'B 。由几何关系得
r cos α=R -R 1 ⑤ r 1cos β=R 1 ⑥ 由③④⑤⑥式得t =
T
Mr 1mr
3
π
3
(arccos
R -R 1
r
-arccos
R 1r 1
)
10．（2010上海物理24）. 如图，三个质点a 、b 、c 质量分别为m 1、m 2、M （M m 1, M m 2）. 在C 的万有引力作用下，a 、b 在同一平面内绕c 沿逆时针方向做匀速圆周运动，轨道半径之比r a :r b =1:4, 则它们的周期之比
T a :T b =______;从图示位置开始，在
b 运动一周的过程中，a 、b 、c 共线了____
次。
【解析】根据G
Mm r
2
=m
4πT
2
2
r ，得T =
4πr GM
23
, 所以
T a T b
=
18
，
在b 运动一周的过程中，a 运动8周，a 、b 、c 共线了多少次。 解法1。物理情境分析法
在a 运动第1周的时间内，b 运动了周，如下左图，a 与b 共线1次，
81
在a 运动第2到第4周的时间内，b 运动了
18
38
周，a 每周与b 共线2次，在a 运
动第5周的时间内，b 运动了周，如上中图，也是共线1次，在a 运动第6到第8周的时间内，b 运动了
38
周，a 每周与b 共线2次，（上右图是第8周）。所
以从图示位置开始，在b 运动一周的过程中，a 、b 、c 共线了14次。
解法2。计算法
设从图示位置开始，在时间t 内a 转过的角度为θa , 则θa =ωa t =
2πT b
2πT a
t
；在时间t
内b 转过的角度为θb , 则θb =ωb t =所以有θa =2πt ，θb =
π
4t
t
。因为
T a T b
=
18
，不妨设T a =1, 则T b =8,
，转换为角度为θa =360t ，θb =45t ，要求从图示位置
开始，则从图示位置开始计时，因为沿逆时针方向a 在b 前550（笔者按原图用量角器量的），所以应该是θa =360t +55，求在b 运动一周的过程中，a 、b 、c 共线了____次，即θa -θb =180n ，将θa =360t +55和θb =45t 代入并整理得：
t =
3663n -
[**************]3
，并且0
为保险起见，我逐次计算， n=1,t 1=n=2,t 2=
=0. 40=0. 97
, ,
在a 运动的第1周，a 、b 、c 共线了2次； n=3,t 3=
=1.54,
在a 运动的第2周，a 、b 、c 共线了1次；
11
n=4,t 4=n=5,t 5=
[***********][1**********]3
=2.11, =2. 68
,
在a 运动的第3周，a 、b 、c 共线了2次； n=6,t 6=n=7,t 7=
=3. 25=3. 83
, ,
在a 运动的第4周，a 、b 、c 共线了2次； n=8,t 8=n=9,t 9=
=4. 40=4. 97
, ,
在a 运动的第5周，a 、b 、c 共线了2次； n=10,t 10=
[***********][1**********]3
=5. 54
,
在a 运动的第6周，a 、b 、c 共线了1次； n=11,t 11=n=12,t 12=
=6. 11=6. 68
, ,
在a 运动的第7周，a 、b 、c 共线了2次； n=13,t 13=n=14,t 14=
=7.25
,
=7.83,
在a 运动的第8周，a 、b 、c 共线了2次； n=15,t 15=
=8.40>8, 不再计算。
综上，从图示位置开始，在b 运动一周的过程中，a 、b 、c 共线了14次。 本题考查万有引力和圆周运动。难度：难。
难在以前的题目从a 、b 共线开始，在b 运动一周的过程中，a 、b 、c 共线了16次，本题开始时刻a 、b 不共线，所以少了2次，为14次。 解法3。公式法
设经过时间t ，a 、b 、c 共线1次，则ωa t -ωb t =π，因为ω=
T b t
2πT
, 且
T a T b
=
18
，
所以ωa =8ωb ，所以在时间T b 内a 、b 、c 共线次数为n =【答案】1:8,14
=14。
进一步研究，a 、b 、c 共线次数是否与初始位置有关，有什么关系？ 之前，我们看到过这样的题，初始位置a 、b 、c 在一条线上，如下图
12
则根据θa -θb =180n ，将θa =360t 和θb =45t 代入并整理得：t =且0
8s
7⨯84
=14
3663n =
47n
，并
47
，不变。a 、b 、c 共线的时间（时刻）s ，，
287s
7567
，
127
s ，
167
s ，
207
s
，
247
s
，
327
s ，
367
s ，
407
s
，
447
s
，
487
s
，
527
s
，
s 。其中在a 运动的第1周，a 、b 、c 共线1次（初始位置不计），在a 运动
的第5周，a 、b 、c 共线1次，其余各周皆2次。
再假设，初始位置a 在b 后550（逆时针方向），如下图所示，
根据θa -θb =180n ，将θa =360t -55和θb =45t 代入并整理得：t =并且0
为保险起见，我逐次计算， n=0,t 0=n=1,t 1=
[***********]5563=0. 17=0. 97
3663n +
1163
，
, ,
在a 运动的第1周，a 、b 、c 共线了2次； n=2,t 2=n=3,t 3=
=1.32
, ,
=1. 89
在a 运动的第2周，a 、b 、c 共线了2次； n=4,t 4=
=2. 46
,
在a 运动的第3周，a 、b 、c 共线了1次；
13
n=5,t 1915=63=3. 03, n=6,t 2276=
63=3. 60
,
在a 运动的第4周，a 、b 、c 共线了2次； n=7,t 2637=63=4. 17, n=8,t 2998=
63=4. 75
,
在a 运动的第5周，a 、b 、c 共线了2次； n=9,t 335
9=63=5. 32, n=10,t 10
=37163=5. 89, 在a 运动的第6周，a 、b 、c 共线了2次； n=11,t 40711=
63=6. 46
,
在a 运动的第7周，a 、b 、c 共线了1次； n=12,t 44312=63=7. 03, n=13,t 47913=
63=7. 60
,
在a 运动的第8周，a 、b 、c 共线了2次； n=14,t 51514=
63
=8.17>8, 不再计算。
综上，从图示位置开始，在b 运动一周的过程中，a 、b 、c 共线了14次。由此可见，a 、b 、c 共线次数与初始位置无关。
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