2015中考数学真题分类汇编：01有理数
一．选择题（共9小题）
1．（2015•乌鲁木齐）﹣2的相反数是（ ）
A． ﹣2 B． ﹣ C．
D． 2
2．（2015•荆州）如图，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于A，B两点，若∠1=70°，则∠2=（ ）
A． 70° B． 80° C． 110° D． 120°
3．（2011•宁波校级自主招生）下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C． x2•x3=x6 D． ﹣|﹣2|=﹣2
24．（2015•道里区三模）将抛物线y=﹣x向左平移2个单位，再向上平移3个单位，平
移后抛物线的解析式是（ ）
A． y=﹣x2﹣4x﹣1 B． y=﹣x2﹣2x+3 C． y=﹣x2﹣4x+l D． y=﹣x2+4x+l
5．（2015•荆州）如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是（ ）
A． 55° B． 60° C． 65° D． 70°
6．（2015•荆州）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）
A． ∠ABP=∠C B． ∠APB=∠ABC
7．（2015•荆州）若关于x的分式方程C．
= D．
= =2的解为非负数，则m的取值范围是（ ）
A． m＞﹣1 B． m≥1 C． m＞﹣1且m≠1 D． m≥﹣1且m≠1
8．取一张正方形纸片，沿对角线对折（左图），再沿虚线高对折（中图），得到如图所示的样子．若要求剪去其一个角，展开铺平后的图形如样图所示，则对该三角形沿虚线的剪法是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2015•荆州）如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
二．填空题（共15小题）
10．计算：=．
11．（2015•荆州）分解因式：ab2﹣ac2=
12．（2013秋•郑州期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AB边的垂直平分线DE交AC于点D．已知△BDC的周长为14，BC=6，则AB= ．
13．（2015•荆州）如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，
然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为 米（结果保留整数，测角仪忽略不计，≈1.414，，1.732）
14．（2015•荆州）如图，矩形ABCD中，OA在x轴上，OC在y轴上，且OA=2，AB=5，把△ABC沿着AC对折得到△AB′C，AB′交y轴于D点，则D点的坐标为 ．
15．（2015•荆州）如图，将一张边长为6cm的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成底面是正六边形的棱柱，则这个六棱柱的侧面积为 cm2．
16．（2015•荆州）如图，OA在x轴上，OB在y轴上，OA=8，AB=10，点C在边OA上，AC=2，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y=（k≠0）的图象经过圆心P，则k= ．
17．（2015•广西）﹣2015的相反数是
18．（2015•烟台）如图，数轴上点A、B所表示的两个数的和的绝对值是
19．（2015•铜仁市）|﹣6.18|=
20．（2015•河北）若|a|=20150，则a= ．
21．（2015•湘潭）的倒数是．
22．（2015•武汉）计算：﹣10+（+6）=
23．（2015•上海）计算：|﹣2|+2=．
24．（2015•湖州）计算：2×（）=
三．解答题（共6小题）
25．（2012秋•九江期末）解方程组． 32
26．（2015•荆州）某校八年级（1）班语文杨老师为了了解学生汉字听写能力情况，对班上一个组学生的汉字听写成绩按A，B，C，D四个等级进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图：
（1）求D等级所对扇形的圆心角，并将条形统计图补充完整；
（2）该组达到A等级的同学中只有1位男同学，杨老师打算从该组达到A等级的同学中随机选出2位同学在全班介绍经验，请用列表法或画树状图的方法，求出所选两位同学恰好是1位男同学和1位女同学的概率．
27．（2015•荆州）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线AB分别与x轴、y轴交于B和A，与反比例函数的图象交于C、D，CE⊥x轴于点E，tan∠ABO=，OB=4，OE=2．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）求△OCD的面积．
28．（2015•荆州）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．
（1）证明：PC=PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
29．（2015•荆州）荆州素有“鱼米之乡”的美称，某渔业公司组织20辆汽车装运鲢鱼、
草鱼、青鱼共120吨去外地销售，按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种鱼，且必须装满，根据下表提供的信息，解答以下问题：
鲢鱼 草鱼 青鱼
每辆汽车载鱼量（吨） 8 6 5
每吨鱼获利（万元） 0.25 0.3 0.2
（1）设装运鲢鱼的车辆为x辆，装运草鱼的车辆为y辆，求y与x之间的函数关系式；
（2）如果装运每种鱼的车辆都不少于2辆，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出最大利润．
30．（2013•怀柔区一模）已知关于x的方程kx2+（3k+1）x+3=0．
（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2）若二次函数y=kx2+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，求k值；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M，直线y=﹣2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围．
2015中考数学真题分类汇编：01有理数
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．（2015•乌鲁木齐）﹣2的相反数是（ ）
A． ﹣2 B． ﹣ C．
D． 2
考点： 相反数．
分析： 一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．
解答： 解：﹣2的相反数是2．
故选：D．
点评： 本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．（2015•荆州）如图，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于A，B两点，若∠1=70°，则∠2=（ ）
A． 70° B． 80° C． 110° D． 120°
考点： 平行线的性质．
分析： 根据平行线的性质求出∠3=∠1=70°，即可求出答案．
解答： 解：
∵直线l1∥l2，∠1=70°，
∴∠3=∠1=70°，
∴∠2=180°﹣∠3=110°，
故选C．
点评： 本题考查了平行线的性质，邻补角定义的应用，解此题的关键是求出∠3的度数，注意：两直线平行，同位角相等．
3．（2011•宁波校级自主招生）下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C． x2•x3=x6 D． ﹣|﹣2|=﹣2
考点： 同底数幂的乘法；绝对值；算术平方根．
专题： 计算题．
分析： 根据二次根式的定义，二次根式的加法法则，同底数幂的乘法法则以及绝对值的性质，可求得的答案．
解答： 解：A、=2，故本选项错误；
B、+≠，故本答案错误；
C、x2•x3=x5，故本选项错误；
D、﹣|﹣2|=﹣2，故本选项正确．
故选D．
点评： 本题考查了二次根式的性质，同底数幂的乘法，绝对值的性质等知识．题目比较简单，解题要注意细心．
4．（2015•道里区三模）将抛物线y=﹣x2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的解析式是（ ）
A． y=﹣x2﹣4x﹣1 B． y=﹣x2﹣2x+3 C． y=﹣x2﹣4x+l D． y=﹣x2+4x+l
考点： 二次函数图象与几何变换．
分析： 根据图象向左平移加，向上平移加，可得答案．
解答： 解；将抛物线y=﹣x2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的解析式是将抛物线y=﹣（x+2）2+3，
化简得y=﹣x2﹣4x﹣1，
故选：A．
点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移的规律是左加右减，上加下减．
5．（2015•荆州）如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是（ ）
A． 55° B． 60° C． 65° D． 70°
考点： 圆周角定理．
分析： 连接OB，要求∠BAO的度数，只要在等腰三角形OAB中求得一个角的度数即可得到答案，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOB=50°，然后根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理即可求得．
解答： 解：连接OB，
∵∠ACB=25°，
∴∠AOB=2×25°=50°，
由OA=OB，
∴∠BAO=∠ABO，
∴∠BAO=（180°﹣50°）=65°．
故选C．
点评： 本题考查了圆周角定理；作出辅助线，构建等腰三角形是正确解答本题的关键．
6．（2015•荆州）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）
A． ∠ABP=∠C B． ∠APB=∠ABC C．
= D．
=
考点： 相似三角形的判定．
分析： 分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
解答： 解：A、当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
B、当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
C、当=时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．
故选：D．
点评： 此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．
7．（2015•荆州）若关于x的分式方程=2的解为非负数，则m的取值范围是（ ）
A． m＞﹣1 B． m≥1 C． m＞﹣1且m≠1 D． m≥﹣1且m≠1
考点： 分式方程的解．
专题： 计算题．
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式方程分母不为0求出m的范围即可．
解答： 解：去分母得：m﹣1=2x﹣2，
解得：x=
由题意得：， ≥0且≠1，
解得：m≥﹣1且m≠1，
故选D
点评： 此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0．
8．取一张正方形纸片，沿对角线对折（左图），再沿虚线高对折（中图），得到如图所示的样子．若要求剪去其一个角，展开铺平后的图形如样图所示，则对该三角形沿虚线的剪法是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点： 剪纸问题．
分析： 严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来．
解答： 解：观察发现最后得到中间的图形是正方形，那么它的四分之一是等腰直角三角形．
故选C．
点评： 本题主要考查了剪纸问题，培养学生空间想象能力：由一个图形的整体看出四分之一是解题关键．
9．（2015•荆州）如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点： 动点问题的函数图象．
分析： 首先根据正方形的边长与动点P、Q的速度可知动点Q始终在AB边上，而动点P可以在BC边、CD边、AD边上，再分三种情况进行讨论：①0≤x≤1；②1＜x≤2；③2＜x≤3；分别求出y关于x的函数解析式，然后根据函数的图象与性质即可求解． 解答： 解：由题意可得BQ=x．
①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP=3x，
则△BPQ的面积=BP•BQ，
解y=•3x•x=x2；故A选项错误；
②1＜x≤2时，P点在CD边上，
则△BPQ的面积=BQ•BC，
解y=•x•3=x；故B选项错误；
③2＜x≤3时，P点在AD边上，AP=9﹣3x，
则△BPQ的面积=AP•BQ，
解y=•（9﹣3x）•x=x﹣x；故D选项错误．
故选C．
点评： 本题考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，三角形的面积，利用数形结合、分类讨论是解题的关键．
二．填空题（共15小题）
10．计算：2=
考点： 实数的运算．
专题： 计算题．
分析： 本题涉及乘方、平方根、立方根等考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答： 解：原式=﹣1﹣3+2
=﹣4+2
=﹣2．
点评： 本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握乘方、平方根、立方根等考点的运算．
11．（2015•荆州）分解因式：ab2﹣ac2=
考点： 提公因式法与公式法的综合运用．
专题： 计算题．
分析： 原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
解答： 解：原式=a（b2﹣c2）=a（b+c）（b﹣c），
故答案为：a（b+c）（b﹣c）
点评： 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．（2013秋•郑州期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AB边的垂直平分线DE交AC于点D．已知△BDC的周长为14，BC=6，则AB= 8 ．
考点： 线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
分析： 根据线段垂直平分线性质得出AD=BD，求出△BDC的周长为AC+BC，代入求出即可．
解答： 解：∵AB边的垂直平分线DE，
∴AD=BD，
∵△BDC的周长为14，BC=6，
∴BC+BD+DC=14，
∴AD+DC+6=14，
∴AC=8，
∴AB=AC=8，
故答案为：8．
点评： 本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形性质、线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
13．（2015•荆州）如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为 137 米（结果保留整数，测角仪忽略不计，≈1.414，，1.732）
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
专题： 计算题．
分析： 根据仰角和俯角的定义得到∠ABD=30°，∠ACD=45°，设AD=xm，先在Rt△ACD中，利用∠ACD的正切可得CD=AD=x，则BD=BC+CD=x+100，然后在Rt△ABD中，利用∠ABD的正切得到x=（x+100），解得x=50（+1），再进行近似计算即可． 解答： 解：如图，∠ABD=30°，∠ACD=45°，BC=100m，
设AD=xm，
在Rt△ACD中，∵tan∠ACD=
∴CD=AD=x，
∴BD=BC+CD=x+100，
在Rt△ABD中，∵tan∠ABD=
∴x=（x+100）， ， ，
∴x=50（+1）≈137，
即山高AD为137米．
故答案为137．
点评： 本题考查了解直角三角形﹣的应用﹣仰角俯角：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
14．（2015•荆州）如图，矩形ABCD中，OA在x轴上，OC在y轴上，且OA=2，AB=5，把△ABC沿着AC对折得到△AB′C，AB′交y轴于D点，则D点的坐标为 （，） ．
考点： 翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质．
分析： 作B′E⊥x轴，设OD=x，在Rt△AOD中，根据勾股定理列方程，再由△ADO∽△AB′E，求出B′E和OE．
解答： 解：作B′E⊥x轴，
易证AD=CD，
设OD=x，AD=5﹣x，
222在Rt△AOD中，根据勾股定理列方程得：2+x=（5﹣x），
解得：x=2.1，
∴AD=2.9，
∵OD∥B′E，
∴△ADO∽△AB′E， ∴
∴
解得：B′E=
AE=
∴OE=
∴B′（， ﹣2=，， ， ， ． ）． ，）．
故答案为：（
点评： 本题主要考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，根据勾股定理列方程求出OD是解决问题的关键．
15．（2015•荆州）如图，将一张边长为6cm的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成底面是正六边形的棱柱，则这个六棱柱的侧面积为 36﹣12 cm2．
考点： 展开图折叠成几何体．
分析： 这个棱柱的侧面展开正好是一个长方形，长为6，宽为6减去两个六边形的高，再用长方形的面积公式计算即可求得答案．
解答： 解：∵将一张边长为6的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成一个底面是正六边形的棱柱，
∴这个正六边形的底面边长为1，高为，
∴侧面积为长为6，宽为6﹣2的长方形，
∴面积为：6×（6﹣2）=36﹣12．
故答案为：36﹣12．
点评： 此题主要考查了正方形的性质、矩形的性质以及剪纸问题的应用．此题难度不大，注意动手操作拼出图形，并能正确进行计算是解答本题的关键．
16．（2015•荆州）如图，OA在x轴上，OB在y轴上，OA=8，AB=10，点C在边OA上，AC=2，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y=（k≠0）的图象经过圆心P，则k= ﹣ ．
考点： 切线的性质；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征．
专题： 计算题．
分析： 作PD⊥OA于D，PE⊥AB于E，作CH⊥AB于H，如图，设⊙P的半径为r，根据切线的性质和切线长定理得到PD=PE=r，AD=AE，再利用勾股定理计算出OB=6，则可判断△OBC为等腰直角三角形，从而得到△PCD为等腰直角三角形，则PD=CD=r，
AE=AD=2+r，通过证明△ACH∽△ABO，利用相似比计算出CH=，接着利用勾股定理计算出AH=，所以BH=10﹣=，然后证明△BEH∽△BHC
，利用相似比得到即
=，解得r=，从而易得P点坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特
征求出k的值．
解答： 解：作PD⊥OA于D，PE⊥AB于E，作CH⊥AB于H，如图，设⊙P的半径为r，
∵⊙P与边AB，AO都相切，
∴PD=PE=r，AD=AE，
在Rt△OAB中，∵OA=8，AB=10，
∴OB==6，
∵AC=2，
∴OC=6，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴△PCD为等腰直角三角形，
∴PD=CD=r，
∴AE=AD=2+r，
∵∠CAH=∠BAO，
∴△ACH∽△ABO， ∴=，即=
=， ，解得CH=， =， ∴AH=
∴BH=10﹣=
∵PE∥CH，
∴△BEP∽△BHC， ∴=，即=，解得r=，
∴OD=OC﹣CD=6﹣=，
∴P（，﹣），
∴k=×（﹣）=﹣
故答案为﹣．
．
点评： 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线不确定切点，则过圆心作切线的垂线，则垂线段等于圆的半径．也考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质和反比例函数图象上点的坐标特征．
17．（2015•广西）﹣2015的相反数是．
考点： 相反数．
分析： 根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
解答： 解：﹣2015的相反数是2015，
故答案为：2015．
点评： 本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数，掌握相反数的定义是解答此题的关键．
18．（2015•烟台）如图，数轴上点A、B所表示的两个数的和的绝对值是．
考点： 数轴；绝对值；有理数的加法．
分析： 首先根据数轴得到表示点A、B的实数，然后求其和绝对值即可．
解答： 解：解：从数轴上可知：表示点A的数为﹣3，表示点B的数是2，
则﹣3+2=﹣1，
|﹣1|=1，
故答案为：1．
点评： 本题考查了数轴和绝对值，解题的关键是从数轴上得到点A、点B表示的数，然后求其和的绝对值．
19．（2015•铜仁市）|﹣6.18|=
考点： 绝对值．
分析： 一个数到原点的距离叫做该数的绝对值．一个负数的绝对值是它的相反数． 解答： 解：﹣6.18的绝对值是6.18．
故答案为：6.18．
点评： 此题考查绝对值问题，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
20．（2015•河北）若|a|=20150，则a= ±1 ．
考点： 绝对值；零指数幂．
分析： 先根据0次幂，得到|a|=1，再根据互为相反数的绝对值相等，即可解答． 解答： 解：∵|a|=20150，
∴|a|=1，
∴a=±1，
故答案为：±1．
点评： 本题考查了绝对值，解决本题的关键是熟记互为相反数的两个数绝对值相等．
21．（2015•湘潭）的倒数是
考点： 倒数．
分析： 根据倒数的定义，的倒数是2．
解答： 解：的倒数是2，
故答案为：2．
点评： 此题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
22．（2015•武汉）计算：﹣10+（+6）=
考点： 有理数的加法．
专题： 计算题．
分析： 原式利用异号两数相加的法则计算即可得到结果．
解答： 解：原式=﹣（10﹣6）=﹣4．
故答案为：﹣4．
点评： 此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23．（2015•上海）计算：|﹣2|+2=
考点： 有理数的加法；绝对值．
分析： 先计算|﹣2|，再加上2即可．
解答： 解：原式=2+2
=4．
故答案为4．
点评： 本题考查了有理数的加法，以及绝对值的求法，负数的绝对值等于它的相反数．
24．（2015•湖州）计算：2×（）=．
考点： 有理数的乘方；有理数的乘法．
分析： 根据有理数的乘方，即可解答． 32
解答： 解：23×（）2=8×=2，
故答案为：2．
点评： 本题考查了有理数的乘方，解决本题的关键是熟记有理数乘方的定义．
三．解答题（共6小题）
25．（2012秋•九江期末）解方程组
考点： 解二元一次方程组
专题： 计算题．
分析： 利用加减消元法求解即可．
解答： 解：
①×3得，9x﹣6y=3③，
②×2得，4x+6y=﹣14④，
③+④得，13x=﹣11，
解得x=﹣
把x=﹣
解得y=﹣， 代入①得，3×（﹣， ）﹣2y=1， ， ．
所以，方程组的解是．
点评： 本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．
26．（2015•荆州）某校八年级（1）班语文杨老师为了了解学生汉字听写能力情况，对班上一个组学生的汉字听写成绩按A，B，C，D四个等级进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图：
（1）求D等级所对扇形的圆心角，并将条形统计图补充完整；
（2）该组达到A等级的同学中只有1位男同学，杨老师打算从该组达到A等级的同学中随机选出2位同学在全班介绍经验，请用列表法或画树状图的方法，求出所选两位同学恰好是1位男同学和1位女同学的概率．
考点： 列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图
分析： （1）根据C等级的人数及所占的比例即可得出总人数，进而可得出D级学生的人数占全班总人数的百分数及扇形统计图中D级所在的扇形的圆心角；根据A、B等级的人数=总数×所占的百分比可补全图形．
（2）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
解答： 解：（1）总人数=5÷25%=20，
∴D级学生的人数占全班总人数的百分数为：×100%=15%，
扇形统计图中D级所在的扇形的圆心角为15%×360°=54°．
由题意得：B等级的人数=20×40%=8（人），A等级的人数=20×20%=4．
（2）根据题意画出树状图如下：
一共有12种情况，恰好是1位男同学和1位女同学有7种情况，
所以，P（恰好是1位男同学和1位女同学）=．
点评： 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
27．（2015•荆州）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线AB分别与x轴、y轴交于B和A，与反比例函数的图象交于C、D，CE⊥x轴于点E，tan∠ABO=，OB=4，OE=2．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）求△OCD的面积．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
分析： （1）根据已知条件求出A、B、C点坐标，用待定系数法求出直线AB和反比例的函数解析式；
（2）联立一次函数的解析式和反比例的函数解析式可得交点D的坐标，从而根据三角形面积公式求解．
解答： 解：（1）∵OB=4，OE=2，
∴BE=2+4=6．
∵CE⊥x轴于点E，tan∠ABO===．
∴OA=2，CE=3．
∴点A的坐标为（0，2）、点B的坐标为C（4，0）、点C的坐标为（﹣2，3）． 设直线AB的解析式为y=kx+b，则， 解得．
故直线AB的解析式为y=﹣x+2．
设反比例函数的解析式为y=（m≠0），
将点C的坐标代入，得3=
∴m=﹣6．
∴该反比例函数的解析式为y=﹣． ，
（2）联立反比例函数的解析式和直线AB的解析式可得，
可得交点D的坐标为（6，﹣1），
则△BOD的面积=4×1÷2=2，
△BOD的面积=4×3÷2=6，
故△OCD的面积为2+6=8．
点评： 本题是一次函数与反比例函数的综合题．主要考查待定系数法求函数解析
式．求A、B、C点的坐标需用正切定义或相似三角形的性质，起点稍高，部分学生感觉较难．
28．（2015•荆州）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．
（1）证明：PC=PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．
分析： （1）先证出△ABP≌△CBP，得PA=PC，由于PA=PE，得PC=PE；
（2）由△ABP≌△CBP，得∠BAP=∠BCP，进而得∠DAP=∠DCP，由PA=PC，得到∠DAP=∠E，∠DCP=∠E，最后∠CPF=∠EDF=90°得到结论；
（3）借助（1）和（2）的证明方法容易证明结论．
解答： （1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，
∠ABP=∠CBP=45°，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，
∵PA=PE，
∴PC=PE；
（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP=∠BCP，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PC，
∴∠DAP=∠E，
∴∠DCP=∠E，
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，
即∠CPF=∠EDF=90°；
（3）在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，
在△ABP和△CBP中，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，
∵PA=PE，
∴PC=PE，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PC，
∴∠DAP=∠E，
∴∠DCP=∠E
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，
即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，
∴△EPC是等边三角形，
∴PC=CE，
∴AP=CE；
点评： 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等
角的性质，熟记正方形的性质确定出∠ABP=∠CBP是解题的关键．
29．（2015•荆州）荆州素有“鱼米之乡”的美称，某渔业公司组织20辆汽车装运鲢鱼、草鱼、青鱼共120吨去外地销售，按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种鱼，且必须装满，根据下表提供的信息，解答以下问题：
鲢鱼 草鱼 青鱼
每辆汽车载鱼量（吨） 8 6 5
每吨鱼获利（万元） 0.25 0.3 0.2
（1）设装运鲢鱼的车辆为x辆，装运草鱼的车辆为y辆，求y与x之间的函数关系式；
（2）如果装运每种鱼的车辆都不少于2辆，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出最大利润．
考点： 一次函数的应用．
分析： （1）设装运鲢鱼的车辆为x辆，装运草鱼的车辆为y辆，则由（20﹣x﹣y）辆汽车装运青鱼，由20辆汽车的总运输量为120吨建立等式就可以求出结论；
（2）根据建立不等装运每种鱼的车辆都不少于2辆，列出不等式组求出x的范围，设此次销售所获利润为w元，
w=0.25x×8+0.3（﹣3x+20）×6+0.2（20﹣x+3x﹣20）×5=﹣1.4x+36，再利用一次函数的性质即可解答．
解答： 解：（1）设装运鲢鱼的车辆为x辆，装运草鱼的车辆为y辆，则由（20﹣x﹣y）辆汽车装运青鱼，由题意，得
8x+6y+5（20﹣x﹣y）=120，
∴y=﹣3x+20．
答：y与x的函数关系式为y=﹣3x+20；
（2），根据题意，得 ∴，
解得：2≤x≤6，
设此次销售所获利润为w元，
w=0.25x×8+0.3（﹣3x+20）×6+0.2（20﹣x+3x﹣20）×5=﹣1.4x+36
∵k=﹣1.4＜0，
∴w随x的增大而减小．
∴当x=2时，w取最大值，最大值为：﹣1.4×2+36=33.2（万元）．
∴装运鲢鱼的车辆为2辆，装运草鱼的车辆为14辆，装运青鱼的车辆为4辆时获利最大，最大利润为33.2万元．
点评： 本题考查了一次函数的解析式的运用，一次函数的性质的运用，一元一次不等式组的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
30．（2013•怀柔区一模）已知关于x的方程kx2+（3k+1）x+3=0．
（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2）若二次函数y=kx2+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，求k值；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M，直线y=﹣2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围．
考点： 二次函数综合题．
专题： 代数几何综合题．
分析： （1）分k=0时，方程为一元一次方程，有解，k≠0时，表示出根的判别式，再根据非负数的性质判断出△≥0，得到一定有实数根；
（2）令y=0，解关于x一元二次方程，求出二次函数图象与x轴的两个交点的横坐标都是整数求出k值为1；
（3）先根据（2）中的k值写出二次函数解析式并整理成顶点式形式，然后写出点P的坐标，然后写出直线OP的解析式，再根据平移的性质设平移后的抛物线顶点坐标为（h
，h），然后写出抛物线的顶点式形式为y=（x﹣h）+h，再分①抛物线经过点C时，然后把点C的坐标代入抛物线求出h的值，再根据函数图象写出h的取值范围；②直线与抛物线只有一个交点时，联立直线与抛物线解析式消掉未知数y，利用根的判别式△=0列式求出h的值，然后求出交点坐标，从而得解．X|k | B| 1 . c |O |m
解答： （1）证明：①当k=0时，方程为x+3=0，所以x=﹣3，方程有实数根，
2②当k≠0时，△=（3k+1）﹣4k•3，
=9k2+6k+1﹣12k，
=9k2﹣6k+1，
=（3k﹣1）2≥0，
所以，方程有实数根，
综上所述，无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2）令y=0，则kx2+（3k+1）x+3=0，
解关于x的一元二次方程，得x1=﹣3，x2=， 2∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，
∴k=1；
（3）由（2）得抛物线的解析式为y=x2+4x+3，
配方得y=（x+2）2﹣1，
∴抛物线的顶点M（﹣2，﹣1），
∴直线OD的解析式为y=x，
于是设平移后的抛物线的顶点坐标为（h，h），
∴平移后的抛物线解析式为y=（x﹣h）2+h，
①当抛物线经过点C时，令x=0，则y=9，
∴C（0，9），
∴h2+h=9，
解得h=
∴当
， ≤h＜时，平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点； ②当抛物线与直线CD只有一个公共点时， 由方程组，
消掉y得，x+（﹣2h+2）x+h+h﹣9=0，
∴△=（﹣2h+2）﹣4（h+h﹣9）=0，
解得h=4，
此时抛物线y=（x﹣4）2+2与射线CD唯一的公共点为（3，3），符合题意，
综上所述：平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点时，顶点横坐标的值或取值范围是h=4或≤h＜．
2222
点评： 本题是二次函数的综合题型，主要考查了根的判别式，二次函数与x轴的交点问题，二次函数与不等式的关系，（3）根据CD是射线，要分情况讨论．